Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Распределение параметров в этой зоне называют стпрун~пурай ударной волны. За счет действия диссипативных механизмов энтропия частиц, проходящих через ударную волну, возрастает. При построении решений с разрывами следует учитывать условия, следующие из а) законов сохранения массы, количества движения и энергии; б) второго закона термодинамики; в) требований эволюционности поверхности разрыва; г) требований существования структуры разрыва; д) требований устойчивости поверхности разрыва, см. й 26.
Поверхность разрыва Еа называют эволюционной, если линеаризованнал задача о ее взаимодействии с малыми возмущениями, фронт которых параллелен поверхности разрыва, имеет единственное решение. Амплитуды волн, приходящих на Еа, 252 Глава б. Механика жидкости н газа считаются в этой задаче известными. '1ребуется найти амплитуды волн, уходящих от Еи и изменение скорости самой Еи. Для разрешимости этой задачи необходимо, чтобы где Ху есть число уходящих волн, Ф вЂ” число соотношений, связывающих параметры по разные стороны поверхности разрыва (условий на поверхности разрыва).
В идеальном газе, рассматриваемом в этом параграфе, скорости малых возмущений равны скоростям характеристик сь. Возмущения (волны), распространяющиеся впереди Еа (отметим их знаком „вЂ” "), уходят от нее, если их скорости с больше скорости В поверхности Еи, волны, распространяющиеся позади Ея (отметим их знаком „+"), уходят (отстают) от нее, если их скорости с+ меньше В. Пусть впереди и сзади Ез имеется и и и+ семейств характеристик соответственно. Условия эволюционности Ея записываются в виде с„« ... с„< Р < с„, « ...
с 125. 2) + + + + с„,«...с„+ +,<В<с„,,„+„«...с, для всех возможных к. Это условие означает, что (к — 1) и (Ж вЂ” й) волн уходят от Ез соответственно впереди и позади нее так, что Жу = (й — 1) + (1У вЂ” к) = Ж вЂ” 1. 25.34 а) Доказать, что решением задачи 25.31 в случае, если поршень начинает вдвигаться в газ сразу со скоростью и = сопв1, ивляется следующее: по газу распространяется со скоростью В ударная волна, впереди которой гаэ покоится, а позади получается поступательный поток со скоростью и = и и давлением ры Использовать условия на ударной волне в совершенном газе, полученные в задаче 18.10.
Найти Р и ры б) Проверить выполнение условий возрастания энтропии на ударной волне и эволюционности волны. в) Доказать, что аналогичное решение в случае поршня, выдвигаюшегося из газа с постоянной скоростью, не удовлетворяет условиям, перечисленным в п. 6). 253 25. Механика сжимаемой жидкости 25.35 а) Записать в эйлеровой форме в сферических координатах (г, В,у) уравнения сферически-симметричного адиабатнческого движения идеального совершенного газа при отсутствии массовых сил.
б) Рассмотреть в качестве лагранжевой координаты массу газа о заключенного в момент времени 1 внутри сферы радиуса г, где р — плотность газа; проверить, что Нт/Ж = О. Вывести уравнения движения в лагранжевой форме в переменных т и 1. в) Составить уравнение энергии в лагранжевой форме. г) Записать в лагранжевой форме условия на сильном сферическом разрыве. Показать, что условие непрерывности потока массы есть следствие непрерывности функции г(т, г). 25.38 В результате взрыва покоящемуся газу, заполняющему все пространство с постоянной начальной плотностью ро, в некоторой точке мгновенно передается энергия Еа. От центра взрыва распространяется сферическая ударная волна радиуса г = В(~), В(0) = О. Газ считается идеальным и совершенным, движение гаэ после взрыва — адиабатическим.
Массовые силы отсутствуют. Начальное давление в газе считается пренебрежимо малым („сильный точечный взрыв"). а) Используя теорию размерности, см. Ц 38, 39, и условия сферической симметрии, установить общий вид: — закона движения газа г(т,1), где т — масса газа внутри сферы радиуса г; — закона движения ударной волны Н(~), или т = М(~); — функции р/рт = /(т), связанной с распределением энтропии. Принять, что все функции зависят параметрически от размерных величин Ее, ро и безразмерного показателя адиабаты у.
б) Вводя энергию газа в шаре радиуса г 254 Глава б. Механика жидко< чн и газа выразить производные дЕ/д1 и дЕ/дт через параметры движения и состояния газа, используя уравнение энергии, см. задачу 25.35 в). Показать, что на ударной волне Е(М,1) = Ев, а также, что в каждой точке имеет место „интеграл энергии" / р 1 10я т — + = — рг п1.
1 2 (7 — 1)р) 3 в) На основании интеграла энергии, см. п. 6), составить в безразмерной форме уравнение для закона движения газа г(т,1), проинтегрировать его в параметрическом виде, используя в качестве параметра величину и = ог/г. Определить неизвестные постоянные, используя условия на ударной волне и соотношение Е(М,1) = Ев. Показать, что пРи 7 ) 7 в РезУльтате взРыва вблизи центра образуется расширяющаяся полость.
г) Проверить, что при 7 = 7 решение задачи о сильном точечном взрыве имеет степенной вид, и выписать его явно. 25.37 Плоский поршень начинает двигаться вдоль перпендикулярной ему оси х с постоянной скоростью ою создавая ударную волну в газе с переменной начальной плотностью рв(х), причем полная масса газа в расчете на единицу площади поршня конечна и равна М. Газ считается идеальным и совершенным, движение — адиабатическим. Массовые силы отсутствуют.
Начальные давление и скорость газа равны нулю. Пусть в области за ударной волной закон движения газа имеет вид х х = н(т)(С+1~) — 1, и(0) = сю т = рнх, пп н„й где 1 — положительная постоянная, т — масса слоя газа в расчете на единицу площади поршня, заключенного в момент времени 1 между плоскостью с координатой х = сопИ и поршнем; т играет роль лагранжевой координаты. Проверить, что дт/й = О. а) Найти общий вид распределений давления р и плотности р. б) Используя условия на ударной волне, связанные с сохранением массы, импульса н энергии, определить подходящие функции п(т), рв(х) и закон движения ударной волны вида 1 = 1а(т). 25.
Механика сжимаемой жидкости 255 в) Найти распределение плотности энергии в области за ударной волной. Исследовать предел прн 1 — ~ оо, обратив внимание на эффект неограниченного ускорения ударной волны и роста скачка температуры за счет убывания функции ро1я). Вычислить полную энергию, сообщаемую газу. 25.38 а) Плоский однородный слой газа, цвнжущнйся поступательно в вакууме с постоянной скоростью но, перпендикулярной его границам, ударяется о параллельную ему абсолютно твердую неподвижную стенку. Газ считается ицеальным и совершенным. движение газа — адиабатическим. Массовые силы отсутствуют. Зная показатель алиабаты у, найти скорость последующего движения границы слоя. б) Решить аналогичную задачу об ударе упругой пластины о твердую стенку в рамках линейной теории упругости.
Материал пластины иэотропный, процесс — изотермический. Сравнить результаты п. а) и б). 25.3Э Тело в виде бесконечного клина с углом при вершине 20 обтекается стационарным сверхзвуковым потоком идеаль- Ю. и, ного совершенного газа, как по- чч казано на рис. 25.6. Скорость, и давление и плотность набегаю-— щего потока равны соответст- О' венно во, рп и ро', по 2 7ро Мо = — > 1 по Ро В Показать, что если 0 < д „, то решение имеет следующий вил: Рис. 25.6. перед клином находится присоединенная к его но~ику О 1вершине) ударная волна АОВ, до ударной волны поток невозмущен, в ударной волне скорость скачком меняется так, чтобы стать параллельной поверхности клина.
В области между ударной волной и клином имеется поступательный поток со скоростью пь Найти связь между углом наклона у ударной волны к скорости но и углом клина 6, величину н~ и предельный угол д,„. Объяснить, почему такое решение неверно, если Мо < 1. 256 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.40 Под структурой ударной волны, распространяющейся в идеальном газе, понимается непрерывное решение одномерной задачи о переходе безграничного стационарного (в системе отсчета, связанной с ударной волной) сверхзвукового потока вязкого теплопроводного газа в дозвуковой. Рассмотреть структуру прямого скачка уплотнения, при котором скорость потока перпендикулярна поверхности скачка.
Для совершенного газа найти распределения скорости и, давления р и плотности р в зависимости от значений декартовой координаты х, предполагая, что при х + — оо заданы соответствуюшие пределы о -+ оп ) О, р — ~ ры р — + рп, а также, что пределы первых производных о, р и р при х -+ ~оо равны нулю. Коэффициенты вязкости Л и д, теплоемкости ср и теплопроводности х постоянны и удовлетворяют соотношениям Л = — 2д/3, сри = Зх/4. Для воздуха срд - О, 72х.
Оценить толщину ударного слоя для воздуха при нормальных условиях в набегающем потоке. Детонация и медленное горение В следующих задачах рассматриваются поверхности разрыва, на которых происходит выделение химической энергии, например происходит горение и выделяется тепло. Воспламенение, происходящее из-за, повышения температуры газа при прохождении по нему ударной волны, называют дерпонацией.
Если газ воспламеняется в результате прогрева, обусловленного теплопроводностью, и пламя перемешается по газу с дозвуковой скоростью, процесс называют медленным горением. Далее через Ъ' обозначен удельный объем газа, т. е. $' = 1/р. 25.41 Рассмотреть движущуюся относительно идеального нетеплопроводного газа поверхность разрыва — ударную или детонационную волну. а) Пусть величины давления и удельного объема перед и за, разрывом равны соответственно ры $'1 и рз, ~'з. Выразить через эти величины плотность потока массы сквозь разрыв, используя только законы сохранения массы и импульса — соотношения (7. 11), (7. 12) при т = О, В = О. Считая рп и Ъ~ фиксирован- 257 25.
Механика сжимаемой жидкости ными, найти связь между рэ и Уз, возникающую, если плотность потока массы приравнять некоторой постоянной. б) Считая известным выражение внутренней энергии через р и У, найти уравнение, связывающее рз и Уз, при заданных р~ и Ум получающееся путем исключения скоростей газа из законов сохранения массы, импульса и энергии — уравнений (7. 11), (7. 12) и (7. 14) при т = О, В = О, д„', = О, д„*, = О, И' = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
