Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Найти область, в которой поток является возмущенным в мо- менты времени и 1=юг>~ы если а) У<а; б) У=а; в) У>а, где а — скорость распространения малых возмущений по газу. 25.19 Из-за вязкости малые возмущения имеют тенденцию затухать. Показать это, рассматривая малые одномерные моно- хроматические колебания вязкого газа при р = р(р). 245 25. Механика сжимаемой жидкости 25.20 Плоская звуковая волна, распространяющаяся вдоль оси х, падает на границу раздела двух сред — плоскость х— О, параллельную фронту волны (нормзльное падение). Давление в падающей волне Рис. 25.1.
Р1о = Хо известно. Найти амплитуды давления р'„ в отраженной и рз в прошедшей волнах при заданных значениях плотностей ры рз и скоростей аы аз в обеих средах в равновесном состоянии. Отношения найденных амплитуд к амплитуде падающей волны р'„/р'о и р'/р',о называют коэффициентами отражения и преломления данной пары сред. Оценить величины амплитуд отраженной и прошедшей волн, если волна проходит а) из воздуха в воду, б) из воды в воздух. Скорость звука в воде 1400 м/с. 25.21 Плоская монохроматическая звуковая волна, распространяющаяся вдоль оси С и имеющая потенциал скорости ~ро = А е'~"с падает на границу раздела АВ двух сред, см.
рис. 25.2, так, что направление ее распространения — ось с — образует угол Рис. 25.2. 5 с нормалью к плоскости границы (косое падение). Плотности р и скорости звука а, се = 1, 2, в обеих средах в равновесном состоянии известны. Найти углы 01 и дз, определяющие направления распространения отраженной и преломленной (проходящей) волн. Показать, что при аз ) а1 проходящая волна существует не при любых углах падения д.
246 Глава 5. Механика жидкости н газа 25.22 Имеется мелкодисперснзя смесь двух сред, одна из которых несжимаемая жидкость, другам — совершенный гзз. Теплообмен и фазовые переходы между фракциями отсутствуют. Давление и скорость в обеих фракциях можно считать одинаковыми. Найти скорость звука в смеси в зависимости от мас~овой концентрации сжимаемой фракции. Показать, что скорость звука в смеси может оказаться меньше скорости звука в каждой из составляющих фракций. Вычислить скорость звука в среде, состоящей из а) малых капель воды в воздухе 1туман), если массовая концентрация воздуха о = 0.001, а плотности равны соответственно з з.
рводду~а = 0.00125 г/см', двояк = 1 г/см б) мелких частиц льда в воздухе при а = 0.01, р„д — — 0.8 г/смз. Движение с малыми возмущениями. Стационарное обтекание тонкого тела 25.23 В поступательном потоке газа помещено под малым углом атаки тонкое тело, слабо возмущающее этот поток. Вязкость газа и массовые силы не учитываются, движение газа установившееся, баротропное и потенциальное. а) Получить линеаризованное уравнение для потенциала скорости и линеаризованную форму интеграла Коши — Лагранжа.
б) Какое граничное условие должно выполняться на поверхности тела (обтекание предполагается беэотрывным)? в) Линеаризовать граничное условие на поверхности тела. г) Какой вид имеют уравнения для потенциала у, формула связывающая р' и у и граничные условия на поверхности тела для потока несжимаемой жидкости? Какие из этих соотношений отличаются от соответствующих соотношений для потока сжи- маемой жидкости? 25.24 Тонкое крыло бесконечного размаха (цилиндрическое, бесконечно длинное) обтекается под малым углом атаки стационарным потоком газа перпендикулярно образующей. Движение баротропное и потенциальное, вязкость и массовые силы не учитываются, обтекание безотрывное. 26.
Механика сжимаемой жидкости Рис. 25.3. а) Написать уравнения и граничные условия для определения потенциала скорости и давления. б) Пусть поток дозвуковой, по < ао, Мо < 1. Привести задачу об определении потенциала скорости к задаче об определении потенциала потока несжимаемой жидкости, обтекающей то же крыло. Найти связь между силами, действующими со стороны потока на крыло в случаях сжимаемого и несжимаемого потока. Чему равно сопротивление крыла? 25.25 Тонкое крыло обтекается сверхзвуковым потоком, пе ) ао, в условиях, указанных в задаче 25.24.
Найти потенциал и силу сопротивления крыла, если оно представляет собой плоскую пластинку. Распространение конечных возмущений в идеальной сжимаемой жидкости Задачи 25.26 — 25.31 демонстрируют следующие эффекты, характеризующие распространение возмущение конечной (не малой) амплитуды. Фронт возмущения давления, плотности и скорости движется по частицам среды с местной скоростью звука, пока движение остается непрерывным. Форма волны возмущения при распространении меняется. Во многих случаях фронт возмущения мгновенно или с течением времени превращается в ударную волну, т.
е. поверхность сильного разрыва, перемещающуюся по среде. Глава 5. Механика жидкости и газа В задачах 25.26 — 25.31 рассматриваются одномерные не- установившиеся движения с плоскими волнами т. е. предполагается, что параметры среды зависят только от времени 1 и одной декартовой координаты х, причем ия — — и, = О. 25.26 а) Написать уравнение неразрывности, уравнение движения и уравнение притока тепла для адиабатического движения идеальной сжимаемой жидкости с плоскими волнами.
б) Если производные от всех искомых функций по независимым переменным 1 и х входят в квазилинейное уравнение первого порядка только в комбинации д/д1+ с д/дх, где с — функция 1, х и искомых функций, то говорят, что уравнение имеет характеристическую форму. Линии в плоскости (1; х), задаваемые уравнением Их/й = с, называются характеристиками, д/д1+ сд/дх есть производная вдоль характеристики. Имеют ли уравнения п. а) характеристическую форму? в) Получить, составляя линейные комбинации исходных уравнений, систему уравнений в характеристической форме, эквивалентную исходной. г) Пусть движение баротропно, а массовые силы несущественны.
Найти величины, которые постоянны вдоль характеристик (инварианты Римана). 25.27 Чему равны скорости характеристик и инварианты Римана, см. задачу 25.26, для адиабатического баротропного движения совершенного газа? 25.28 Имеется адиабатическое одномерное движение идеального газа вдоль оси х, с известными и = й(х, 1), р = р(х, С), р = р(х, С), л = й(х, 1).
(25.1) В момент 1 = 1о в результате каких-то внешних возмущений в области хл < х < хв возникло возмущение потока такое, что и, р, р и л остались непрерывными. Здесь х = хл и х = хв— поверхности слабого разрыва при 1 = 1о, см. гл. 4. Предполагая, что при 1 > 1о движение непрерывно, нарисовать на плоскости (х; 1) области, где газ „не почувствовал" возмущения, т. е. где по*прежнему выполнены соотношения (25.
1). 25. Механика сжимаемой жидкости 249 25.29' Найти частные решения системы уравнений баротропного движения сжимаемой жидкости с плоскими волнами, в котором и, р и р зависят только от одной комбинации И(х, С) независимых переменных х и С. Такие движения называют волнами Римана. Вязкость, массовые силы и притоки тепла не учитывать. 25.30 В цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой, находится идеальный совершенный газ с параметрами р = ро, р = ро, и = О. В момент С = 0 поршень начинает выдвигаться из трубы со скоростью и(С), причем ЛС, Л=сопеС>0 приО<С<С1, (и(С)/ = ЛСс = /ис/ = сопяС при С > Сс. Возникающее движение газа адиабатическое, массовыми силами пренебречь.
Рис. 25.4. а) Написать уравнения для определения скорости и давления в характеристической форме, см. задачи 25.26 и 25,27. б) Найти скорость границы Г, отделяющей пришедший в движение газ от еще покоящегося. Показать, что в области, примыкающей к Г, движение представляет собой волну Римана, см. задачу 25.29.
в) Найти распределение скорости и давления в трубе. г) Найти максимальную скорость поршня, при которой он еще не отрывается от газа. д) Пусть поршень сразу начал двигаться со скоростью ис = сопяС при С > О. Найти о(х, С) и р(х, С) для зтого случая. 250 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.31 Рассмотрим явление, описанное в задаче 25.30, с той разницей, что поршень не выдвигается из трубы, а движется в сторону, заполненную газом. Показать, что в этом случае непрерывное решение существует лишь при 1 < 1о, где 1о зависит от ускорения поршня.
25,32 В цилиндрической трубе с площадью поперечного сечения 5 имеется поршень массы т, который может двигаться без трения. Поршень отделяет от вакуума газ, находящийся в начальный момент ~ = 0 в состоянии покоя с постоянными плотностью ро и давлением ро. Газ считается идеальным и совершенным, движение газа — адиабатическим, труба — неограниченной, массовые силы отсутствуют. а) Найти скорость движения поршня о„(1), считая п„(0) = О. Сравнить ее со скоростью истечения газа в вакуум (т = 0). б) Пусть у — показатель адиабаты. Исследовать предел при у -+ оо, который отвечает случаю несжимаемой жидкости. 25.33 В полубесконечной цилиндрической трубе с площадью поперечного сечения 5 поршень массы т, движущийся без трения, отделяет газ массы тд, заключенный между неподвижной стенкой х = 0 и поршнем х„(~) > О, от вакуума. Газ предполагается идеальным и совершенным, движение газа — адиабатическим.
Массовые силы отсутствуют. Рис. 25.5. а) В начальный момент плотность газа ро постоянна, а давление ро распределено таким образом, что при 1 ) 0 гзз движется с распределением скорости вида о = А(~)х, причем А(0) = О. Найти функцию ро(х) и коэффициент полезного действия установки и— : типз(оо)/(2Ео), где Ео — начальная энергия газа. 251 2 ь Механика сжимаемой жидкости б) Исследовать семейство решений аналогичной задачи со степенным начальным распределением плотности и тем же распределением о(з, 1), см. п. а).
Показать, что у — ~ 1 при о -+ 1. Движение с ударными волнами При пренебрежении вязкостью и теплопроводностью решение многих задач получается разрывным — на некоторых поверхностях скорость, давление, температура и плотность или их производные терпят разрывы. При этом скачки различных величин связаны соотношениями, следующими из законов сохранения и других условий (см. гл. 4). Поверхности разрыва скорости, давления, температуры и плотности, движущиеся по частицам среды, называют ударными волнами. Если учесть вязкость, теплопроводность и другие диссипативные механизмы, то вместо ударной волны получим узкую зону непрерывного изменения параметров среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
