Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 43
Текст из файла (страница 43)
16) — критическое давле- ние рь г(р„, в) = ~„ (26.15) (26.16) а (ры в) 2(рыв)+ ' = $. 2 Удельный объем г'„и температура Т, торможения, а также критические температура Ть и удельный объем $ы определяются из уравнений состояния. Максимальной скоростью о „называется параметр, однозначно определяемый соотношением оспах = 2(г~ — 1(0, в)). Линеаризированная постановка задач для малых возмущений Когда изучают движение газа, вызванное малыми возмущениями, или устойчивость того или иного течения газа по отношению к малым возмущениям, то каждую из характеристик возмущенного течения Ф(х~,1) представляют в виде ~ = 4~+ Ф', где ф — соответствующая характеристика невозмущенного течения, а ф' — ее возмущение, предполагаемое малым. Если характеристики невозмущенного течения известны, то задача сводится к отысканию возмущений — функций ~'(х~,1).
Подставляя ф(х",1) в систему уравнений для возмущенного движения и в условия на границах, когда таковые имеются, получают систему уравнений и граничные условия для функций ~'(х",1). Задачу для малых возмущений рассматривают обычно в линеаризированной постановке, т. е. полагая 4~'(х",1), а также ее производные по х" и 1 малыми, в уравнениях и граничных условиях для возмущений сохраняют лишь члены первого порядка малости, причем граничные условия для возмущений на поверхностях, которые могут смещаться под действием возмущений, переносят на невозмущенную поверхность.
Если невозмущенное течение янляется поступательным потоком, а возмущенное течение — адиабатическим, то в линеаризированной постановке возмущения и', р', в' должны удовлетворять !9 Зак 2368 270 Глава 6. А!еханпка жидкости и газа системе уравнений (26. 17), а в тех случаях, когда они зависят только от (х,1) и о' = (и',0,0) — системе (26.17') дн' — + д! др — + д! да' — + д! ; дн' дх' ; др' г' —. дх' д / Ю' дх~ + Р'С р' = О, ез де' +абдт,.— О, (26.17) ди' Н— дх др Ю— дх да' и— д +11 — =О, др' дх ез дц' + — — =О, $' дх ди' — + д8 др' — + д! да — + д! (26.
17') Исследование устойчивости ударных волн В настоя цем параграфе преглагается ряд задач на исследование устойчивости плоских ударных волн в различных условиях. Это смещанные задачи для системы уравнений (26.17'). Характеристики С+ и С си- стем ы уравнений (26 .
17'), как ли2 нии в плоскости (х; 1) и как по- С верхности в потоке газа, будем называть звуковыми волнами С+ и С2 С (или волнами С+, С ), а Се С 2 Се С характеристики — энтропийными \ ! х волнами. Принятые названия для волн, Рис. 26.2. взаимодействующих с поверх- ностью Е, проиллюстрированы на рис. 26.2. где Š— — контактный разрыв; волны приходящие — С, и Сз~; уходящие — С!~ и Сз: волна падающая — С, (Сз~), отраженная — С!~ (Сз ), преломленная — Сз (С!~). 26. Газовая динамика 271 '1тоГ>ы выделить случаи, когда смешанная задала с условиями на поверхносги л будет из-за нх специфики некорректной, можно опереться на следующее определение.
Если линеаризированные условия на поверхности Е, как система линейных алгебраических уравнений относительно возмущений, переносимых уходящими от л волнами, являются совместными и определенными, то нх назынают корректными, а в противном случае — некорректными. Критерии корректности условий на ударной волне предлагается установить в задаче 26.74. Пусть условия на Е корректны и волна С+ — падающая, а волна С по отношению к ней — отраженная. Тогда из условий, которые должны выполняться на Е, можно получить соотноше- У (1) = Кпд'+(1) + Цл), (26.18) где Ц1) линейно зависит от других приходящих на Е возмуще- ний. Инварианты У и У и возмуцгения и>+, р>+, Ъ+, и', р', Р", переносимые, соответственно, волнами С+ и С, связаны соотношениями.
см. задачу 26.65, / I )/ )1 (26.18') и+ р+ Ъ" ,У+ Параметр Елг. в (26. 18) называется козу>у>ииие>лтвлл отражения звукового возмущения от поверхности Е. Если на Е приходит только волна С+, т. е. Ь = О. то согласно (26.18) и (26.18'), отношение величины возмущения в отраженнои волне к ее значению в падающей волне будет равно ~Еь(. В рамках линеаризированной постановки ударная волна и исследуемое течение рассматриваются как иеусп>ойчивые, если условия на ударной волне некорректны.
Если возмущения определяются единственным образом н растут со временем, то ударная волна и исследуемое течение неустойчивы. В тех случаях, когда возмущения на ударной волне при 1, большем некоторого 1>, равны нулю нли асимптотически затухают при 1 — + оо, условимся называть ударную волну и исследуемое течение устойчивы>ии, а если возмущения р', и, рв, ив или некоторые пз них, а также О', в' на ударной волне не затухают, но остаются малыми — иеип>ральив устойчивыми. В>удем говорить, что ударная волна устойчива в широком смысле. если устойчиво ее положение.
Глава б. Механика жидкости и газа Ограничения на параметры невозмущенного течения, при выполнении которых ударная волна и исследуемое течение устойчивы (неустойчивы), называют критериями устойчивости (неустойчивости). Задачи Слабые и сильные разрывы.
У'дарная адиабата. Ударные волны 26.1 Получить динамические условия совместности на поверхностях слабого разрыва в невязком газе при адиабатических движениях и, использовав кинематические условия с26.4), систему уравнений относительно параметров А, р,о. Найти нетривиальные решения этой системы (типы поверхностей слабого разрыва, которые могут образоваться при рассматриваемых условиях) и соответствующие им ограничения на [о1ч и], [го1и]. 26.2 В газе образовалась поверхность тангенциального (или контактного) разрыва, на которой [р] ф. О. Показать, что на ней [Т]фО и [в]фО. 26.3 Могут ли на поверхности тангенциального (или контактного) разрыва одновременно выполняться соотношения [Т]=0 и [р]фО? 26.4 Полагая состояние (Ъо,вв) фиксированным, вычислить частные производные функции Гюгонио Н(Ъ; в; Ъш во) по Ъ' и в первого порядка.
Доказать справедливость формулы д"+'Н и — 1 д"р Ъв — Ъ' д"+'р Какой порядок касания могут иметь ударная адиабата и изоэнтропа в = во в точке (1о' рв)1 Напомним, что Н Я, в:, Ъо, во) — = в(Ъ; в) — во — 0.5(р+ ро) (Ъо — 1'), и для ударных волн Н(Ъв, во, 'Ъш вв) = О. 273 26. Газовая динамика 26.5 Полагая Ъе и ре фиксированными, найти первую отличную от нуля в точке (Ъо, ро) производную от я по г', вычисленную вдоль ударной адиабаты, в случаях, когда в точке (Ъе, ро) Ц (дгр/дРг) ~ О 2) (дгр/д1 г) О (дз /д1.з) ~ О В каждом из этих случаев написать первый отличный от нуля член разложения функции я в ряд по степеням (г" — $о) на ударной адиабате в точке (Ъо, ре). 26.6 Полагая (др/дя)о > О, изобразить на (р-$') диаграмме относительное расположение изоэнтропы л = ло и ударной адиабаты вблизи точки (К~, ро) в случае, когда в этой точке 1) (дгр/д1 г), > О.
2) (дгр/дг"), < О; 3) (дг р/дог) О (дзр/Я/3) > О. 4) (д~р/д1'~), = О, (дзр/Яlз), < О 26.7 В каждом из рассмотренных в предыдущей задаче случаев выяснить, могут ли в согласии со вторым законом термодинамики образоваться ударные волны сжатия ($' < ге) и ударные волны разрежения (Ъ' > 1о) небольшой интенсивности с состоянием (ко, ре) перед фронтом волны. 26.9 Вычислить предельные при (1; р) — ~ (К~, ре) значения (,и-г/,11 (,1г .г/,~Р.г) на ударной адиабате, где гг = (р — ре)/(Ъ' — го). 26.10 Найти первые отличные от нуля члены разложения функций (звг — аг) и (жег — аег) в ряд по степеням (г' — 1о) на ударной адиабате в точке (Ъе, ре) в случае, когда в этой точке 2) г = О' з 1) — ~ О; 26.8 Показать, что если при фиксированном состоянии (Ъо, Ро) плотность потока массы 1' чеРез УДаРнУю волнУ возРастает (убывает), то скачок энтропии на ударной волне тоже возрастает (убывает).
274 Глава б. Механика жидкости и газа 26Л1 Проверить справедливость утверждения: во всех рассматриваемых в задаче 26.6 случаях для ударных волн небольшой интенсивности неравенство в > во и неравенства юо > ао, г г гог < аг выполняются одновременно. 26.12 Для газов, у которых (дгр/дУг)л > О, (др/дв)г > О, полагал состояние (Уо, во) перед фронтом ударной волны фиксированным, показать, что функция Гюгонио Н(У, в, 1о, во) обладает следующим свойством: Н > О при У = Уо и в > во и при У > Уо и в > во, Н < О при У = Уо и в < во и при У < Уо и в < во, Указать области (У,в), которым могут принадлежать точки ударной адиабаты Н = О.
Сформулировать вытекающие из второго закона термодинамики ограничения на возможный характер изменения р и У в ударных волнах. 26.13 Показать, что при фиксированных Уо и ро а) для производной функции Гюгонио Н(У,р, Уо, ро) по направлению пРЯмой Р— Ро = гг(У вЂ” оо), гг = сопв$, пРоходЯщей чеРез точку (Уо, ро) и точку, в которой вычисляется производная, имеют место формулы б) для газов, у которых (дгр(дУг) > О ~м (др/дв)г > О, при каждом гг, удовлетворяющем неравенству (д ~дУ) г Рис. 26.3.
на рассматриваемой в п. а) прямой кроме точки (Уо:ро) есть еще только одна точка (Ун, рн), где она пересекается с ударной адиабатой, причем зта точка расположена на интервале 1,М, см. рис. 2б.З. 26, Разовая динамика 275 26.14 Опираясь на полученные в задачах 26.12, 26.13 результаты, показать, что в газах, у которых (д'р/дУ~), > О и (др/де)к > О, на ударных волнах любой интенсивности должны, в соответствии со вторым законом термодинамики, выполняться неравенства юоз > пзе. шз ( из.
26.15 Для газов, у которых (д'р/ОЪ'~), > О и (др/дв)г > О, доказать, что при ре > О и Го > $'и на ударной адиабате не может быть особых точек, т. е. производные (дН/ОЪ')„и (дН/др)к не могут одновременно обращаться в нуль на ударной адиабате. Ударные волны в совершенном газе 26.16 1) Получить уравнение ударной адиабаты для совершенного газа. 2) Определить предельное при р — ~ оо относительное сжатие в ударной волне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
