Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 45
Текст из файла (страница 45)
когда — >О, —, >О". 26.52 Проверить, что полная энтальпия 1. на линии тока, пересекающей ударную волну. непрерывна. 26.53 Показать. что 1) если перед фронтом ударной волны величины рр, ар. )нр) как функции точки на ее поверхности постоянны, то за ее фронтом ггэ1 и х н = Т ь'а; 2) написать это соотношение в проекции на единичные векторы иь т, нг, где эг — нормальный, г — касательный к поверхности ударной волны вектор, а нг = эг х г, причем т лежит в плоскости, проходящей через векторы ээ и нр. 26.54 Пусть на фронте ударной волны величины рр, лр и (нр! как функции точки на ее поверхности, постоянны.
Опираясь на полученные в задачах 26.8, 26.53 результаты, 1) показать, что за фронтом ударной волны для производной от энтропии а по лкэбому касательному к поверхности ударной волны направлению 1 имеет место формула д, ~1гр 1)г д,д ( ~в 1) рарргр д1 ТРг " ' д1' где в и т — те же, что и в задаче 26.53, и обозначено пар = — ээрвэп Р~ рар = рр сов А 2) указать достаточные условия, при которых течение за фронтом ударной волны будет вихревым, и условия 1с примерами), при которых за фронтом ударной волны энтропия постоянна.
26.55 Вывести формулы — — — — = — Т+à —, с, — =Т вЂ” — К Здесь индекс 1 означает, что производная вычисляется при по- стоянной энтвльпии. 283 26. 1'азован,1инамики 26.56 Как ллзм< няются параметры торможения р., !'. на ударной волне. если (др/дл)и > О? 26.57 Каким термодинамическим свойством должен обладать газ. чтобы температура торможения на ударной волне не изменялась? Обладает ли таким свойством совершенный газ? 26.58 Как ведет себя критическая скорость звука ал на линии тока.
пересекаюшей ударную полну в совершенном газе'. 26.59 Для совершенного газа: 1) получить формулы, даюплие изменение каждого из параметров торлюжения р„!'„на ударнои волне через скачок знтропин; 2) показать, чсо на ударной волне выполняются равенства, ~'*2 ! /сз рлл Одномерные стационарные течения 26.60 Известно, что на рассматриваемом участке тонкой трубки тока течение непрерывно и давление в частицах газа уменьшается со временем, причем во входном сечении течение дозвуковое, а в выходном — сверхзвуковое.
Как изменяется форма трубки тока между входным и выходным сечениями? 26.61 Для газов, у которых — >О, —, >О, полагал параметры р. и и задавчыми и форму соп.па — извест- Рис. 26.5. ной, установить: 1) качественный вид графика д(р) — зависимости расхода газа от давления в фиксированном сечении сопла Лаваля, рис. 26.5; 2) чем будут отличаться графики лЛ(р), построенные для двух разных сечений? 284 Глава 5. Механика жидкости и газа 3) максимально возможный расход газа через сопло; 4) какие давления и соответствующие им участки 1точки) графика д(р) могут, в принципе, реализоваться в сечениях, расположенных в сужающейся и в расширяющейся части сопла при непрерывных течениях; 5) какими данными достаточно располагать, чтобы определить а) максимальный расход газа через сопло? б) значения внешнего давления, при которых реализуются непрерывные дозвуковые и сверхзвуковые режимы истечения, в частности, расчетный сверхзвуковой режим истечения? 26.62 Опираясь на результаты, полученные в задаче 26.61, построить для рассматриваемых в этой задаче газов качественный вид функции р(х), характеризуюп1ий изменение давления между входным и выходным сечениями в сопле Лаваля, см.
рис. 26.4, при непрерывных режимах истечения. Расход газа д рассматривать в качестве параметра. 26.63 Два идеальных (невязких) газа не смешиваясь протекают через горловину сопла Лаваля, образуя двухслойное течение. Каким может быть течение (дозвуковым, звуковым, сверхзвуковым) каждого из газов в горловине, если градиент давления отличен от нуля? Малые возмущения. Устойчивость ударных волн 26.64 В системе уравнений (26.17) перейти к независимым переменным у, 1, где (у ) — — система координат, в которой невозмущенный газ покоится. Показать, что р' и Йев', как функции у", 1 должны удовлетворять волновому уравнению, а энтропийно-вихревые возмущения вморожены в среду. 26.65 Пусть возмущенное течение является одномерным течением с плоскими волнами, ортогональными скорости в1и,0,01 невозмущенного поступательного потока.
285 26. Газовая динамика Проверить, что в этом случае: 1) система уравнений для возмущений (26.17') имеет инвари- анты и'+ — р' = У+(6+), и' — — р'= У (6 ), я' = я'(6~), а а Ь+ = х — (и+а)1, Ь = х — (и — а)1, Ь = х — я1, где 6+, 6, бо — произвольные константы; 2) возмущения, которые переносятся звуковыми волнами С+ и С, определяются приведенными ниже соотношениями и явля- ются частными решениями системы (26.17') Ъ', У+(6+) и+ — — — р+ —— , в+ — — О, а 2 Ъ', У (б) 2 3) Возмущения и', р', в' в каждой точке определяются суперпозицией возмущений, переносимых энтронийной волной и звуковыми волнами С+ и С, т.
е. / / / / / Р и =и++и, р =р++р 26.66 Получить из формул (26.6) линеаризированные условия для возмущений на плоской ударной волне, полагая, что невозмущенное и возмущенное течения являются одномерными течениями с плоскими волнами и перед фронтом волны выполнены условия / / по = иое, оо = иое, а за ее фронтом — условия в= ив, н'=и'е.
Считать, что в невозмушенном потоке вектор и направлен вдоль оси х,т.е. н=е. 26.67 Представить полученные в задаче 26.66 условия для возмущений в виде соотношений между инвариантами системы уравнений (26. 17'), полагая возмущения перед фронтом волны равными нулю. 11олучить формулу для коэффициента К отражения звуковых возмущений от плоской ударной волны. 286 !'хааа 5.
Мгханика жпдаоггп н ~ аза 26.68 Пусть невозмущенное и возмущенное те и ппя газа являются одномерными течениями с плоскими волнами. ортогональными оси х, и в областях 1 (л > и1) и 2 (л < и1), разделенных контактным разрывом (т = и1), характеристики невозмущенного течения постоянны. Получитас 1) условия, которым должны удовлетворять инварианты сш;темы уравнений (26.17') на контактном разрыве: 2) формулу для коэффициента Я отражения звукового позмуш< ния, приходящего на контактный разрыв из области 1. 3) Как изменится величина звукового возмущения при отражении от контактного разрыва в случае. когда,Е ус О,,Е.'+ = О, либо когда .Е' = О,,Е~+ ~ О? 26.60 Для говерп|енного газа представить полученную в за; даче 26.67 формулу для коэффициента К отражения звуковых возмущений от ударной волны в виде К = К(М). где М = ш/п.
26.70 Пусть Ес'(«) = шахМ /ЕЕ(М, «)!, где К(М, «) — коэффициент отражения звуковых возмущений от ударной волны в совершенном газе, см. задачу 26.69; «= (у — 1)/(7+1). Получить в явном виде функцию ЕС (.«) для значений «б (О, 1/4]. 26.71 Опираясь на решение задачи 26.70, получить числовую оценку сверху для )Ел (М, 7) ( при 7 = 9/7; 7/5; 5/3.
26.72 Для совершенного газа вычислить на ударной волне Мш М и К(Мг 7) при 7 = 5/3, р/ро = 5 и при у = 7/5, р/ро — — 4.5. 26.73 Показать, что возмущение плотности р'(х, 1) зависит не только от значений р+ и р' на приходящих в точку (х: 1) звуковых волнах С+ и С, но и от значения а' на приходящей в эту точку энтропийной волне, см. задачу 26.65.
26.74 Характеристики невозмущенного течения газа перед фронтом (т > Р1, Р > 0) плоской ударной волны и за ее фронтом (я < Рс) постоянны. Начальные (при 1 = 0) возмущения характеристик течения малы и заданы в областях 0 < т < 1м — 1з < я < О, а вне их равны нулю (либо заданы на всей оси я и асимптотически затухают при я — > ~со). Предполагал возмущенное течение 26. Газовая динамика адпабатичегким, а возмущения при 1 - 0 зависящими т<глько от ,г и 1.
в линеаризированной п<н:твновке 1) получить ограничения на параметры невозмуш<нного течения. при которых условия на ударной волне корректны. Показать. что если условия на ударной волне корректны. то 2) решение рассматриваемой смешанной задачи единственно; 3) ударная волна будет устойчпвоп.
26.75 Параметры невозмушенного течения газа между жестким поршнем (х = и1. и > О) и ударной волной (г = Р1) и перед ее фронтом (х > Р1) по<'тоянны. На ударной волне юо > ао, <а < а. Начальные (при 1 = 1о) возл<ущения характери<.тик течения малы и заданы н области «1а:,- х < Р1о. а в области х > Р1о равны нулю. Предполагая возмущенное течение адиабатическим. а возмущения при 1 > 1о завп<.яшвмп только от х и 1, в линеаризированной постановке 1) определить Д такое. что звуковая волна С+.
отразившись при 1 = 1< > 1о от ударной волны, затем от поршня, вновь придет на ударную волну при 1 = 131<; 2) сравнить значения и', р'. л', Р' на ударной волне при 1 = ~И< с их значениями при 1 = 1< (на жестком поршне, по определению, справедливо равенство и' = О); 3) получить критерии устойчивости (неустойчивости) ударной волны и исследуемого течения.
26.76 Параметры невозмущенного течения газа между контактным разрывом (х = и1) и ударной волной (х = Р1) и в областях х < и1, х > Р1 постоянны. На ударной волне ша > ао, и«а. Начальные (при 1 = 1о) возмущения характеристик течения малы и заданы в области и1о < х < Р1о, а в областях х < и1а, х > Р1а равны нулю. Предполагая возмущенное течение адиабатическим, а возмущения при 1 > 1о зависящими только от х и 1, в линеаризированной постановке 1) сравнить значения параметров и', р', л', Р' на ударной волне пРи 1 = 131< с их значениЯми пРи 1 = 1< > 1а, коэффициент <3 определен в задаче 26.75; 2) получить критерии устойчивости (неустойчивости) ударной волны и исследуемого течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
