Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 46
Текст из файла (страница 46)
288 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.77 Показать, что в газах, у которых — >О, — >О, плоская изолированная волна (так принято называть невозмущенное течение, рассматриваемое в задаче 26.74) будет устойчивой по отношению к возмущениям, не искажающим ее форму (т. е. зависяшим только от х и 1), если коэффициент отражения звуковых возмущений от ударной волны ограничен. 26.78 Будут ли устойчивыми течение и ударная волна в совершенном газе в условиях задач 26.74, 26.75 и 26.76? 26.79 Пусть ~(1) — смещение ударной волны от невозмущенного положения (х = Ж), причем Д~е) = О. Условия задачи 26.75 предполагаются выполненными. 1) Определить отрезок времени, в течение которого все образовавшиеся при 1 = 1е звуковые волны С+ и С один раз провзаимодействуют с ударной волной, причем волны С вЂ” предварительно отразившись от поршня, и отрезок времени, в течение которого произойдет их п-е отражение от ударной волны. 2) Выразить ДД1о) через начальные возмущения.
Параметр 6 определяется в задаче 26.75. 3) Сравнить каждбе из относительных смещений С(1з) — С(1з) и ~(1з) — 011) со смещением Д1з) — Д11). Связь между 1з, 1з и 11 следует из рис. 26.6, на котором волны С+ и С изображены пунктиром. Получить критерии неустойчивости положе- Рнс. 26.6. ния ударной волны. 4) Выразить ~(1), где 6"1е < 1 < 6"+'1е, через Ц111е) и Д1/13"). Получить критерий устойчивости ударной волны в широком смысле — ограничения на параметры невозмущенного течения, при выполнении которых Д1)~/(в1е) при 1 > 1о будет малой ве- личиной, стремящейся к определенному пределу при 1 — + оо.
26. Газовая динамика 289 26.80 Пусть имеют место условия задачи 26.76 и ДС) — смещение ударной волны от невозмущенного положения х = РС, причем ~(Со) = О. Выразить ДС), где СЗ"Со < С < С?"+'Со, через ДС1Со) и Ь(С//С"), параметр С? определяется в задаче 26.75. Получить критерии устойчивости (неустойчивости) положения ударной волны. 26.81 Выполняются ли полученные в задачах 26.79, 26.80 критерии устойчивости положения ударной волны для совершенного газа? 26.82 Если при условиях задачи 26.74 положение ударной волны устойчиво, то — <, где ~ = 1пп Ь(С), р' = тах|р'(х, Со)|. Вр' И'Со р — ро Ф-+со Для совершенного газа получить в явном виде функцию В(М, т) и оценить ее сверху при 7 = 9/7, 7/5, 5/3.
26.83 Для='совершенного газа оценить сверху абсолютную величину ~В(М, 7) ~ при 7 = 9/7, 7/5, 5/3, где Н вЂ” параметр, от величины которого зависит устойчивость положения ударной волны при рассматриваемых в задаче 26.78 условиях. 26.84 Пусть имеют место условия задачи 26.76 и х~(С) — смещение контактного разрыва от его невозмущенного положения х = иС, пРичем ха~(Со) = О. ВыРазить ха~(С), гДе СЗ"Со < С < Сз"+'Со, через хь~(/ССо) и хь~(С/С?"), параметр С? определяется в задаче 26.75. Какое заключение можно сделать об устойчивости положения контактного разрыва? 26.85 При условиях задачи 26.76 смещение ха~(С) контактного разрыва и смещение ~(С) ударной волны от невозмущенного положения при С > (1+ М)Со связаны соотношением х~(С) — х~(С,) = А4ДаС), где С„= (1+ М)Со, а = 1/(1+ М).
1) Получить формулу, выражающую М через параметры невозмущенного течения. 2) Показать, что для совершенного газа (М! < 1. Глава 6. Теория упругости 27. Модель упругого тела В упругой среде деформации при постоянной температуре однозначно определяются напряжениями. Это можно записать в одной пз форм и;,.
= е„(рьнТ) или рм = рм1д,,Т). (27.1) Здесь е;, - — компоненты тензора, деформации, ры — компоненты тензора напряжений, Т вЂ” температура. 1!роцессы деформирования считаются тсрмодпнпмически обратимыми. В частном случае, когда зависимость (27.1) между и; и ры прн Т = сопи( лннейна, соотношение ры = Аыос,, называют законом Гука. Вместо уравнений состояния в форме (27.1) можно пользоваться их записью с помощью термодинамических потенциалов упругой среды. Уравнения первого и второго законов термодинамики в лагранжевых переменных в текущем состоянии имеют вид НУ = — ро Йе,, + Йч', Т Йл = дд', Р где (7, е, дд' — соответственно внутренняя энергия, энтропия, приток тепла к частице, рассчитанные на единицу массы.
Исключая из этих соотношений внешний приток тепла дд', получим соотношение, связывающее только внутренние параметры среды и называемые тождеством Гиббса, (27.2) 291 27. Линейнаа теория упру~ огеи Если внутренняя энергия 11 задана как функция параметров состояния г;. и в, то равенство 127. 2) равносильно системе уравнений состояния 127.3) в которой первая группа представляет другую запись уравнений состояния 127.1). Таким образом. внуьчргнняя энергия, заданная как функция г„и в, служит термодинамическим потенциалом, см. задачу 6.57.
Наряду с внутренней энергией в теории упругости часто используется другой термодинамический готециал -- свободная энергия 1единицы массы) У' = 17 — в7', заданная как функция параметров состояния г„и Т. '1ождество Гиббса 127.2), записанное через функцию У, имеет внд дУ = — р деб — в аТ 1,3 Р и позволяет получить другую форму уравнений состояния 127 Я) 7) ' От Система дифференциальных уравнений теории упругости в лагранжевых координатах содержит: — уров пенис нер взрыв ногти Р ~/д = Ро ~/до., д = де1 )(д;,й, где ро и р — плотность среды в начальном и текущем состоянии, 'йд,Д вЂ” матрица компонент метрического тенэора; — уравнения движения ра' = ~7ро + РЕ', где а' — компоненты ускорения, г" — компоненты массовых сил; Глава 6. '1еорня упругости — уравнения первого и второго законов термодинамики, одно из которых может быть заменено тождеством Гиббса (27.2), сШ = — р" дг; -1 Т дв, Т дв = ду', Р Линейная теория упругости В линейной теории упругости предполагают малость градиентов перемещений и, следовательно, компонент деформации.
В этом случае 1 го —— -(~7;в + 17.ю,), 2 (27.5) и нет различия в использовании лагранжевых и эйлеровых пере- менных, начальной и текущей лагранжевых систем координат. — уравнения состояния (27.3) или (27.4) при заданной внутренней энергии (7 = Цг;,, в) нли при заданной свободной энергии У'= У(г;,, Т); — выражения компонент тензора деформаций через компоненты вектора перемещений 1И = -117,ю + и,ю;+ ~7;юь ~7 и)). 2 Приток тепла ду', если он происходит эа счет теплопроводности, может быть представлен в соответствии с законом теплопроводности Фурье выражением 1 ду' = — дга пагад Тд(, Р где и — коэффициент теплопроводности материала. Очевидно, прн изотермическом деформированни, когда Т = сопя1, удобнее пользоваться функцией У, при адиабатическом, когда в = сопв(, — функцией (7.
В качестве граничных условий для системы уравнений теории упругости обычно задают на всей поверхности тела либо 1) вектор перемещений, либо 2) вектор напряжений, либо 3) на части поверхности задают перемещения, а на остальной — напряжения. 27.
Линейная теория упругости 293 Функции У(е;, в) и У(е;, Т) при малых деформациях и малых изменениях температуры можно представить разложением по е1, (Т вЂ” Тв), (в — во) до квадратичных членов включительно; при этом уравнения состояния (27.3) или (27.4) получаются линейными. Для инотаропной упругой среды это разложение естественно представить через скалярные инварианты тензора деформаций Р(7 = 2 Л А + И 7г — а 71(в — во) — 2 о (в — ве) + а (в — во) ! г г г 1 / г / РУ = — ЛУ~ +рог — а 71(Т вЂ” ТО) — — 6(Т вЂ” ТО) + Й(Т вЂ” ТО), г 1 г где ,71 = е,',,Уг = е;уем.
Закон Гука для изотропноео материала при Т = сопв$ имеет вид 1с р, = Леь д; + 2ре;,, 1', г', lс = 1, 2, 3. Коэффициенты Л и р называются коэффициентами Ламе. В линейной теории упругости граничные условия для системы дифференциальных уравнений выставляются на начальной недеформированной границе. На основании принципа Сен-Венана можно заменять граничные условия на статически эквивалентные. Вследствие линейности задач применим метод супер- позиции решений.
Доказана единственность решения статических и динамических задач, что позволяет использовать полу- обратный метод (частичного угадывания решения). Используя закон Гука (при Т = сопв1) и выражения (27.5) для е,, можно получить уравнен я движения в перемещениях (уравнения Ламе) д го р — = (Л + р) угад д1ч го+ рого + рР. н1г Когда граничные условия заданы через напряжения, задачу о равновесии упругого тела можно решать в напряжениях.
При этом используют уравнения равновесия ~рут+рГ1 =б Глава б. Теории упругости 294 и уравнения Бельтрами-Мичелла, которые получаются из уравнений совместности деформаций с учетом закона Гука и уравнений равновесия. 11ри гч = сопев и Т = сопят уравнения Бельтрами — Мичелла имеют вид ~Лро+ ~ЪАЬ) =0; А~Ы =рь, 2(Л+ р) ЗЛ+ 2р и для каждой компоненты напряжений 11р;, =0. Здесь Ь вЂ” оператор Лапласа, ЬЬ вЂ” бигармонический оператор.
Опыт на простое растяжение, когда имеется лишь одна отлнчнал от нуля компонента напряжения рп, демонстрирует для изотропного тела закон Гука в его простейшей форме рп = Ееп. Коэффициент пропорциональности Е называют модулем Юноа. Удлинение образца еп в направлении действующей силы сопровождается сжатием езз, езз в поперечных направлениях. Отношение поперечной деформации к продольной — езз/еп называют коэффициантпом Пуассона и.
Коэффициенты Е и и выражаются через Л и р. Относительное изменение объема В при деформации в линейном приближении равно первому инварианту тензора деформации д~(е). Коэффициенты Е и и служат характеристиками упругих свойств среды и считаются постоянными для каждого однородного материала. Значения Е и и для различных материалов можно найти в справочниках. Другие, принятые в употреблении упругие характеристики сред, введены ниже в задачах: — модуль объемного сжатия К, см. задачу 28.5, модуль сдвига 0 = р, см. задачу 28.3, — коэффициент теплового расширения а, см.
задачу 28.10. 27. Линейная теория упругости 295 Линейные анизотропные среды Для анизотропных сред закон Гука р;, = А; ыяы содержит, вообще говоря, 81 константу А, М. Однако вследствие симметрии тензоров напряжения и деформации среди них различны только 36. Дальнейшее уменыпение числа незавитсимых упругих констант до 21 происходит вследствие наличия термодинамических гоотношений (27.
4). Егли же материал обладает симметрией, то их число может быть еще меньше. Свойства симметрии среды можно описывать специального вида векторами и тензорами. Наиболее часто встречающимися в прикладных задачах механики являются ортотропная и трап< версально изотропная среды. Ортотропным называется материал, обладающий тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (ромбическая система симметрии). Для описания свойств симметрии такой среды можно использовать симметричный тензор второго ранга Н;, главные оси которого перпендикулярны плоскостям симметрии материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
