Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 50
Текст из файла (страница 50)
28.22. Температурные деформации и напряжения 28.70 Прямоугольная пластина толщины 2а зажата с торцов между жесткими параллельными плоскостями и имеет свободные верхнюю и нижнюю грани. Рис. 28.23. 28. Линейная теория упругости 315 П,пастина неравномерно нагрета по толщине, так что профиль температуры в каждом сечении, перпендикулярном оси л, задан функцией Т = То(1 — уз/аз). Найти распределение сжимающих напряжений ры.
При Т = Т,п,ря во всех точках пластины деформации считать равными нулю. 28.71 Написать уравнение равновесия упругой среды н перемещениях при наличии температурных деформаций. Как упростится зто уравнение. если перемещения обладают: а) осевой симметрией при плоской деформации; б) сферической симметрией; в) осевой симметрией для плоского напряженного состояния.
28.72 В круглом тонком диске радиуса В и постоянной толщины температура меняется от центра к периферии по закону Т = Т(г). Все поверхности диска свободны от напряжений, толщина мала, так что напряженное состояние можно считать плоским. Определить напряжение в диске, вызванное неоднородностью поля температур. На внешней границе диска Т(К) = О. 28.73 В круглом упругом диске, см.
задачу 28.72, в центре имеется область радиуса и, где поддерживается постоянная температура Тп. На внешней границе диска, при и = Л, напряжения отсутствуют и температура равна нулю. Найти радиальные напряжения в диске. 28.74 Определить деформацию неравномерно нагретого упругого цилиндра с осесимметричным распределением температуры Т(г). Считать, что осевые смещения отсутствуют, т. е. имеет место плоское деформированное состояние.
На внешней границе цилиндра температура равна нулю. 28.75 Определить напряжения в длинной круглой трубе с внутренним а и внешним 6 радиусами при плоской деформации, если температура внутри равна То = сопв$, снаружи Т(6) = О, а ее внешняя и внутренняя поверхности свободны от напряжений. 28.76 Определить деформацию неравномерно нагретого упругого шара со сферически симметричным распределением температуры. На внешней границе шара считать Т(К) = О. 316 Глава 6. Теория упругости 28.77 Определить напряжения в упругом шаре радиуса 6, имеющем попость радиуса а, если температура Тд внутри полости постоянна, а температура снаружи равна нулю. Предварительно найти распределение температуры в среде. Внешняя поверхность шара и поверхность полости свободны от напряжений.
Устойчивость равновесия Существование нескольких решений задачи о равновесии требует выбора того, которое фактически осуществляется. Один из критериев — исследование устойчивости равновесия. Простейший, статический, способ этого исследования таков: к действующим силам добавляют малое возмущение. Положение равновесия устойчиво, если любое достаточно малое отклонение от этого положения требует совершения положительной работы указанными добавочными силами. Обычно сам факт существования нескольких решений, соответствующих одной и той же системе сил (бифуркация решений), служит одним из указателей неустойчивости хотя бы одного из этих решений.
Отыскание критической силы, приводящей к бифуркации решений, лежит в основе метода Эйлера исследования устойчивости равновесия. В задачах об устойчивости равновесия стержней используется метод, основанный на гипотезе плоских сечений, в соответствии с которой деформация стержня полностью определяется формой его изогнутой нейтральной оси; форма сечения характеризуется моментом инерции 1 сечения относительно оси изгиба. 28.78 Показать, что форма тонкого стержня, подверженного сжатию вдоль своей оси, определяется неоднозначно при достижении сжимающей силой некоторого критического значения (бифуркации решений). Рнс.
28.24. 28. Линейная теория упругости 817 Найти возможные формы стержня длины 1 при учете нелинейных членов — моментов, которые создает сила Р на нозможных малых прогибах 9. Найти критическое значение Р„р силы, при котором появляется бифуркация решений. Оба конца закреплены шарнирно, см. рис. 28.24. 28.79 Решить предыдущую задачу для стержня, жестко заделанного на одном конце и свободного на другом, см. рис. 28.25.
28.80 Исследовать устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня, см. задачу 28.79. Можно использовать возмушение в виде малой поперечной силы Я. 28.81 Балка длины 1 свободно оперта, см. задачу 28.39, и имеет первоначально непх большой пРогиб 9о(х) = 9овш —. Рис. 28.25. На нее действует система поперечных сил, распределенных по длине балки и пропорциональных величине прогиба д = ап. Такая сила выРис. 28.26.
зывается, например, дождевой водой, накапливающейся в емкости, образованной прогнувшейся крышей. Эта задача называется задачей „о заполняемой емкости". Найти предельное значение коэффициента нагрузки и, при котором балка длины 1 остается в устойчивом состоянии. х 28.82 Найти суммарный про- Р Х гиб в середине пролета свободно опертой балки длины 1, к ко- 1/2 1/2 торой приложена сосредоточен- у ная нагрузка Р = ач? как показано на рис. 28.27.
Предполагается, что балка имеет начальный прогиб 5е н середине пролета. При каких условиях балка сохраняет устойчивое равновесие? 318 Глава 6. Теория упругости Динамические задачи изотермической линейной теории упругости В следующих задачах рассматриваются одномерные нестационарные двплеения, в которых все искомые функции зависят от одной пространственной переменной и времени. Решение для каждой из рассматриваемых функций у(х, ~) в силу линейности задачи можно искать в виде суммы гармонических волн асов(йх х ~Л) = а йеей~~~ О с разными ь' и м.
Здесы = ~/ — Т, и — действительное число. При действительных и отношение ь~/й = с есть скорость перемещения вдоль оси х плоскости Йх — ьп = сопв1 и называется фазовой сноросепью. Подстановка, указанного решения в уравнение движения приводит к зависимости ю = ьг(й), которая называется дисперсионным уравнением и позволяет найти фазовую скорость с = с(н). Наличие зависимости с от й (или от м) называют дисперсией волн. Величина дм(И называется групповой сноросгпью. В отсутствие дисперсии (с = сопй) решение имеет вид бегущей волны у = Дх*с~). Когда задача приводится к волновому уравнению дчр г дг — — с — =О, дР дх' его общее решение имеет вид у(х, 1) = у1(х — с1) + (з(х + с1), где ~1 и Л вЂ” произвольные дважды дифференцируемые функции. Для малых возмущений в теории упругости обычно пользуются постановкой задач в перемещениях (уравнения Ламе), определению подлежат и;(х,1), г = 1, 2, 3. Если в волне меняется только компонента перемещения в направлении движения волны ю = и(х,~), и„= ю, = О, то волна называется чисто продольной; если же и = О, юю, — — юя,,(х,~), то волна называется чисто поперечной 28.
Линейная теория упругости 319 28.83 В неограниченной изотропной упругой среде имеются возмущения, зависящие только от х, 1 (плоские волны). Найти компоненты перемещений в;(х, ~), ~ = 1, 2, 3, и скорости распространения волн. Показать, что в поперечной волне не происходит изменения объема, йч ю = О, а в продольной го$ в = О. 28.84 Произвольный вектор перемещения может быть представлен в виде суммы двух векторов ю = в~ + юз таких, что гоГ ю~ —— О и Йч вз = О. Это позволяет любую волну представить в виде суммы волн сжатия и волн искажения формы. Написать уравнения, описывающие распространение зтих волн (уравнения для ю~ и юз) и найти их скорости, считая что ип и ыз равны нулю вне некоторой конечной области пространства.
28.85 Найти скорость продольных волн, распространяющихся в тонком упругом стержне, боковая поверхность которого свободна от напряжений. Сравнить ее со скоростью продольных волн в безграничной среде, см. задачу 28.83. 28.86 Найти собственные продольные колебания упругого стержня длины 1, жестко заделанного на одном конце и свободного на другом.
28.87 Написать уравнение для изгибных волн в круглом стержне сечения 5. Показать, что зти волны обладают дисперсией. Найти фазовую и групповую скорости. 28.88 Плоская бегущая продольная волна с фронтом, перпен-. дикулярным направлению ~, падает под углом на жесткую неподвижную границу х = О упругого полупространства,т ) О и отражается. Задан вектор перемещения в падаюшей волне юо —— ЬЫ+ с~~) 4', где ~ = х совао+у вшао',4о(совао, вшао) — единичный вектор р е, = лгг2и)/р- — р * р д й а) Найти амплитуды и направления распространения отраженных волн.
б) В каком случае отражается лишь одна продольная волна? в) Какие ограничения следует наложить на условия задачи, если падающая волна -- поперечная? 820 Глава 6. Теория упругости 28.89 Написать уравнения, которым удовлетворяют упругие плоские волны ы = ы(х, 1), распространяющиеся в трансверсально изотропной среде, см. задачу 28.20, в направлении х, перпендикулярном ее оси симметрии а. 28.90 Внутри безграничной упругой среды имеется сферическая полость радиуса Н.
В начальный момент времени давление в полости изменяется от нуля до ро — — сопв$. Определить радиальные перемещения среды, вызванные этим изменением давления. Считать, что в начальный момент перемещения и скорости среды отсутствовали. 28.91 Исследовать волны, У бегущие по свободной грани- це упругого полупространства с х (волны Рэлея). Упругая среда заполняет область у ( О, массовые силы отсутствуют, граРис. 28.28.
ница свободна от напряжений, волна бежит вдоль направления х, перемещения имеют вид шз — — О, Найти скорость волны, затухающей при у -+ — оо. 28.92 Исследовать упругие У волны, бегущие вдоль бесконечной полосы ширины 26— Ь вдоль оси х. В направлении оси х перемещения отсутствуют, юз = О, а компоненты ю1 и юз не зависят от а. Верхняя и Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
