Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 48
Текст из файла (страница 48)
28.22 Показать, что при равновесии изотропной упругой среды в отсутствиие массовых гил функция 0 = 41«<п является гармонической, а вектор перемещений н< удовлетворяет бигармоническому уравнению. Проверить, что это верно и при действии однородных массовых сил г' = сопя1.
28.23 Показать, что при равновесии изотропной упругой среды в отсутствие массовых сил компоненты напряжений р<у являются бигармоническими функциями. 28.24 Решение уравнений равновесия упругой среды в перемещениях 1уравнений Ламе) при отсутствии массовых сил можно искать в виде суммы слагаемых одно иэ которых является гармонической векторной функцией Ь<в< — — О, а втоРое — потенциальным вектоРом <Яз — — бган <Р (представление Папковича — Нейбера). Показать, что в этом случае задача сводится к отысканию четырех гармонических функций.
Простейшие задачи на растяжение и сдвиг при равновесии В предлагаемых ниже задачах с позиции линейной теории упругости рассматриваются образцы, у которых длина много больше поперечных размеров, так что на основании принципа Сев;Веиаьа при нахождении напряженно-деформированного состояния во всех областях, кроме окрестности концов, способ заделки одного из концов можно считать несущественным, а распределение нагрузки на другом конце заменить любой, статически эквивалентной.
11 з . язяв 302 Плавя 6. '1еорпя упругости 28.26 Определить деформацию вертикально стоящего стержня длины 1, находящегося в устойчивом равновесии-в поле силы тяжести д, рис. 28.2. 28.26 Определить удлинение е и изменение объема ЬГ стержня первоначальной длины 1 и веса Р, висящего вертикально в поле силы тяжести. 28.27 На стальном тросе диаметром 2 мм подвешен груз в 100 кгс. Какую максимаяьную длину может иметь трос, чтобы он не оборвался? Предел прочности стали считать равным 3500 кгс/см~, удельный вес — 7.85 гс/смз.
28.28 Какую максимальную растягиваюшую силу можно приложить к стальному призматическому стержню сечения 5 х 5 см, если предельно допустимое растягивающее напряжение равно 1400 кг%м1, а предельно допустимое касательное напряжение 600 кгс/ем~? 28.29 Найти выражение для удлинения Д цилиндрического стержня длины 1, прикрепленного одним концом к валу, врашаюшемуся с постоянной угловой скоростью ы около вертикальной оси. Вычислить зто ~т- 9 Рис. 28.3. удлинение для медного стержня длины 1 м, если ы = 30 1/с. Удельный вес меди 8.87 г%мз, Е = 1.05 10е кгс/ем~. Весом стержня пренебречь. 28.30 Образец прямоугольного поперечного сечения постоянной толщины а = 1 имеет длину 1 и продольное сечение в форме трапеции с основаниями Рис.
28.4. 28. Линейная теория упругости 303 6 и бе. Одно основание закреплено, к другому приложена сила Р. Найти компоненты напряжений р и и выражение для удлинения образца б, если считать угол наклона сторон трапеции 8 малым, о = $80, о = (6 — бе)/1 « 1, так что аз можно пренебречь. Собственным весом образца пренебречь. 28.31 Стержень слабо переменной по длине формы висит в вертикальной плоскости, находясь под действием силы тяжести и силы Р, равномерно распределенной по нижнему сечению Яе.
При какой форме стержня (указать функцию Я(т)) растягивающее усилие р в каждом горизонтальном сечении одинаково? Из-за малого изменения формы при удовлетворении граничных условий стежень считать призматическим. Рис. 28.5. Рис. 28.6. 28.33 Пластина прямоугольной формы находится в состоянии двухосного растяжения в своей плоскости однородными напряжениями р~ и рз на ее торцах. Передняя и задняя плоскости, ограничивающие пластину, свободны от напря- Рис. 28.7.
28.32 Найти форму лопатки турбины й(я), вращающейся вокруг оси с угловой скоростью ы, при которой напряжение в каждом прямоугольном сечении, перпендикулярном оси и, одинаково. Изменение формы невелико, так что при решении можно граничные условия удволетворять приближенно. 304 Глава 6. Теория упругости жений. Найти компоненты деформации г; и относительное изменение объема. Вычислить максимальное касательное напряжение в пластине. Изгиб стержней Чистым изгибом называют деформацию стержня при действии на него пары сил с моментом, перпендикулярным его оси. Строгая формулировка приведена в задаче 28.34. Точное решение в линейной теории упругости показывает, что существует некоторое волокно, которое не испытывает деформации растяжения — сжатия, а только искривляется. Его можно назвать нейтральной осью. Кривизна этой линии определяется изгибающим моментом, который постоянен вдоль стержня.
Плоские поперечные сечения стержня после деформации остаются плоскими и ортогональнымн изогнутой нейтральной оси. Обычно изгиб вызывается не моментом, а силами, действующими поперек стержня. Стержень, нагруженный силами, направление которых ортогонально его оси, называют балкой. При небольших прогибах н достаточно длинных и тонких балках в задачах на изгиб в качестве гипотезы принимается, что при наличии поперечных сил в балке, как и при чистом изгибе, 1) существует нейтрильнал ось, не испытывающая деформаций растяжения-сжатия; 2) плоские поперечные сечения балки и после деформации остаются плоскими и ортогональными изогнутой нейтральной оси. Это утверждение называют гипотезой плоских сечений.
Основа.нный на этих предположениях приближенный метод расчета балок рассматривается в теории сопротивления мате риалов. Конечно, при этом используется также принцип Сен-Венана. Расчет балок на изгиб основан на подсчете изгибающего момента в каждом сечении. Это делается путем рассмотрения равновесия части балки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения. Нормальное напряжение в поперечных сечениях находят, как и в случае чистого изгиба, по вычисленным значениям изгибающего момента,, который теперь будет пере- 28. Линейная теория упругости 305 менным вдоль оси балки. Этот приближенный метод следует использовать при решении задач 28.36 — 28.42.
Во всех этих задачах считается, что балка имеет вертикальную плоскость симметрии, совпадающую с плоскостью чертежа, силы приложены в этой плоскости и изгиб происходит в этой плоскости. В ряде задач для нахождения решения необходимо из условия равновесия определить реакции в местах закрепления балки. 28.34 Призматический стержень постоянного по длине поперечного сечения, один конец которого жестко закреплен, имеет свободные от нагрузки боковые поверхности. Ось стержня направлена по осн г и проходит через центры тяжести сечений. На втором конце стержня приложена пара сил с.
моментом М, параплельным оси г. Других сил нет. Такое деформированное состояние называется чистпыж изгиболь Рнс. 28.8. Найти напряжения и деформации в стержне. Написать уравнение нейтральной оси стержня (волокна, не испытывающего деформации растяжения-сжатия). Показать, что плоские поперечные сечения стержня остаются после деформации плоскими и ортогональными изогнутой нейтральной оси. 28.35 Считая, что при изгибе верна гипотеза плоских течений, рассмотреть геометрию деформируемого элемента стержня, найти распределение продольных напряжений и деформаций. Написать уравнение изогнутой нейтральной оси.
28.36 Балка, жестко закрепленная (защемленная) на одном конце, и не имеющая опоры на другом, называется консолью, см. рис. 28.9. Консольная балка длины 1 изгибается силой Р, приложенной на ее свободном конце перпендикулярно оси. Материал балки (модуль Юнга Е) и форма сечения заданы. В предполо- Глана 6. Теория упругости 306 женин гипотезы плоских сечений найти в каждом сечении напряжение ры, написать уравнение нейтральной оси, вычислить максимальный прогиб и. Рис. 28.9. 28.37 Показать, что при нагрузке, непрерывно распределенной вдоль балки, дифференциальное уравнение для прогиба ц(х) нейтральной оси в каждом сечении при равновесии можно записать в виде с' и д(х) 1,4 Ег' где 1 — — момент инерции сечения балки относительно оси изгиба г; д(я) — интенсивность распределения поперечной нагрузки вдоль балки.
Нагрузка расположена в вертикальной плоскости симметрии балки — плоскости л = О. 28.38 Горизонтальная балка длины 1, жестко заделанная на концах, находится под действием собственного веса. В предположении гипотезы п.яоских сечений найти форму оси балки ц(х), максимальный прогиб ц, и напряжение ры в каждом сечении. -М, Рис. 28.10. Вес единицы длины балки равен д, модуль Юнга — Е. Учесть, что при жесткой заделке на концах возникают заранее не известные реакции В и моменты Мо.
28. Линейная теория упругости 307 28.39 Балка называется свободно опертой, если оба ее конца закреплены шарнирами, допускающими поворот около точки закрепления, а один из этих шарниров может к тому же скользить в осевом направлении, см. рис 28.11. Решить для такой балки предыдущую задачу. Рис. 28.11.
28.40 Решить задачи 28.38 и 28.39 для балки, заделанной на одном конце и свободно опертой на другом. Найти место и величину максимального прогиба. Рис. 28.12. 28.41 Свободно опертая, см. задачу 28.39, балка длины 1 прямоугольного сечения и толщины 6 неравномерно нагрета по своей толщине. Профиль температуры линейный, Т~ — на верхней грани, Тя — на нижней, причем Тз > Ты Найти изогнутую форму балки и максимальный прогиб, если коэффициент теплового удлинения материала равен а, а модуль Юнга Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
