Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 49
Текст из файла (страница 49)
28.42 Найти выражение для касательных напряжений р~з в консольной балке прямоугольного сечения длины 1 и толщины Ь при ее изгибе под действием собственного веса, см. рис. 28.13. Выяснить, где касательное напряжение ры максимально. Рис. 28.13. 308 Глава 6. '1'еория упругости 28.43 Балка прямоугольного поперечного сечения, состоит из двух слоев различных материалов, соединенных так, что она работает как единое целое сбиметаллическая композитная балка), см. рис. 28.14. Ее ширина 6, толщина слоя из материала с модулем упругости Ес равна Ьы второй слой имеет толщину 6з и модуль упругости Ез.
Балка находится в состоянии чистого изгиба моментом М, действующим в вертикальной плоскости. Рис. 28.14. Найти распределение напряжений ры и положение нейтральной осн, т. е. ее расстояние а от' верхней грани балки. Кручение стержней Деформированное состояние, вызванное парами сил с моментами ла, направленными вдоль оси стержня, называют кручеииелс, а момент М вЂ” крутпяи1и.сс сио.нентоль Если моменты приложены только на торцах стержня, то перемещение имеет компоненты исс — — — схху, исз = ссхх, исз = Дх,у), постоянный множитель о есть угол закручивания, отнесенный к единице длины стержня.
Если стержень имеет круговое сечение, то в поперечных сечениях действуют только сдвиговые напряжения, Дх, у) = сопв$, плоские поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются вокруг оси стержня как твердые диски. ЗО8 28. Линейная теория упругости 28.44 Для стержня кругового сечения радиуса й, находящегося под действием крутящего момента М, найти зависимость угла закручивания на единицу длины стержня о от величины крутящего момента М. 28.45 Найти максимальное касательное напряжение в круглом стержне радиуса Н под действием крутящего момента М.
Вычислить максимальные растягивающие напряжения и найти площадки, на которых они действуют. 28.46 Сплошной стержень кругового сечения радиуса Л нагружен на торцах растягивающей силой Р и крутящим моментом л4. Рис. 28.15. Найти максимальные растягивающее, сжимающее и касательное напряжения в стержне. 28.47 На стержень кругового поперечного сечения радиуса В и длины 1, защемленный на торце А, действует равномерно распределенный по длине крутящий момент интенсивности д.
Рис, 28.16. Найти величину угла закручивания ~р конца стержня В. Интенсивность момента есть величина момента, приходящегося на единицу длины участка его приложения. 810 Глава 6. Теория упругости 28.48 Сплошной вал кругового сечения состоит из двух частей длины а и 6, радиусов Л, и Л~ соответственно. Вал заделан на концах А и В и в переходном сечении нагружен крутящим моментом Мп. Найти реактивные моменты Мл и Мн, возникающие в сечениях заделки.
Найти угол поворота у сечения, в котором приложен крутя|ций момент. Рис. 28.17. 28.49 Полый и сплошной валы, сделанные из одного материала, имеют одинаковый внешний радиус Л. Внутренний радиус полого вала равен О.ОЛ. Сравнить их веса и максимальные касательные напряжения, предполагая, что оба вала нагружены одним и тем же крутящим моментом. 28.50 Вал представляет собой стержень, на который надета жестко скрепленная с ним труба из другого материала. Радиус стержня — Л„внешний радиус трубы — Лм Модули сдвига материалов трубы и стержня — С~ и С, соответственно. Найти максимальные касательные напряжения т в каждом из материалов и угол закручивания на единицу длины вала о, находящегося под действием крутящего момента М.
Рис. 28.18. У дУ дУ Р1з = Рзз = дп' дх ' и У удовлетворяет уравнению Пуассона. Найти для нее граничные условия на контуре С' сечения вала. 28.51 Вая произвольного поперечного сечения находится в равновесии под действием крутящих моментов М в торцевых сечениях. Показать, что можно ввести функцию напряжения У так ю, что 811 2в. Линейнав теория упру1чнти Плоское напряженное и плоское деформированное состояния Задача теории упругости называется плоской, если одновременно выполнены равенства Рц = Рп(х У) Р12 — Р12(х~ У) Р1з = Ргз = О; вн — вп(х; У) ~ в12 — в!2 (г ~ У) ~ в13 — вгз — О~ При этом массовые силы должны быть перпендикулярны оси г и, так же как граничные условия, не должны зависеть от х.
28.52 Плоским деформированным состоянием называется такое состояние, в котором кроме приведенных выше равенств выполнено еще взз = О. Нани~ать выражения компонент тензора напряжений и их связь между собой в этом случае. 28.53 Плоским напряженным называется состояние, в котором кроме условий, необходимых для плоской задачи, выполнено рзз = О. Найти компоненты деформации и их связь между собой. Показать, что при отсутствии объемной деформации плоское напряженное ~остояние совпадает с плоским деформированным.
Написать двумерное уравнение движения в перемещениях. 28.54 При решении задач в напряжениях кроме уравнений равновесия должны быть выполнены уравнения совместности деформаций. Показать, что для плоской задачи уравнения совместности сводятся к одному уравнению для р в, о, Д = 1, 2, заменяющему уравнения Ьельтрами — Мичелла.
Написать его. 28.55 При равновесии в отсутствие массовых сил для плоского напряженного состояния можно ввести функцию напряжений, Эри уг(х, у) такую, что, см. задачу 10.10, дгу д 2' У д'~~ д'~р Ргг = —,, Ргг = —. дх' ' дхду' а) Получить уравнение, которому удовлетворяет функция 1р в силу уравнений совместности.
б) Показать, что аналогично можно ввести функцию напряжений и при наличии постоянной объемной силы, например, силы тяжести Е„= — у. 812 Глава б. Теория упругости 28.56 Решение бигармонического двумерного уравнения для функции напряжений Эри ЬЬ<р = 0 можно искать в виде однородных полиномов различных степеней с коэффициентами, согласованными с граничными условиями.
Для прямоугольной пластины со сторонами, параллельными осям х и у, функция <р может иметь вид <р = — х + <<ху+ — у . г с 2 2 Решение какой задачи она описывает? 28.5< Пусть Функция напряжений <р, удовлетворяющая бигармоническому уравнению, имеет вид <р = ах + ох~у + сху + <1у~. Рис. 28.19.
Решение какой задачи она описывает для прямоугольной пластины ширины 2й и длины 21 со сторонами, параллельными осям х и у, в случаях а) а=у=с=О, <?фО; б) а=Ь=<1=0, сфО? 28.58 Выразить р„, рдл, р„<< при плоской деформации через функцию напряжений <р(г, д) в полярных координатах. Написать уравнение, которому удовлетноряет функция <р. 28.59 Найти общий вид функции напряжений Эри для плоских напряжений, обладающих круговой симметрией, <р = <р(г). Написать общие выражения для компонент р„„рлл, р,л. Разные задачи равновесия упругих тел 28.60 В неограниченной упругой среде имеется сферическая полость радиуса т<, заполненная газом под давлением ро.
На бесконечности среда свободна от напряжений. Определить компоненты тензоров напряжений и деформаций. 28, Линейная теория упругости 313 28.61 Определить деформацию полого шара, имеющего наружный и внутренний радиусы йз и Йы внутри которого действует давление рм а снаружи — рз (задача Ломе). 28.62 Неограниченная упругая среда подвергается всестороннему равномерному сжатию давлением р.
В среде имеется полость радиуса а с давлением в ней, равным нулю (пустота), см. рис. 28.20. Найти распределение напряжений. Показать, что максимальное напряжение достигается на границе полости и превышает давление на бесконечности (концентрация напряжений на отверстии). Рис. 28.20. 28.63 Определить напряжения в круглой цилиндрической трубе с внутренним Н1 и внешним Йз радиусами, внутри которой действует давление ры а снаружи рз. Считать, что труба достаточно длинная и ее концы закреплены так, что перемещения вдоль трубы отсутствуют, т. е. что имеется плоское деформированное состояние (задача Ламе для трубы). Как изменятся формулы для напряжений, если материал, из которого сделана труба, несжимаемый, см.
задачу 28.6? 28.65 Определить деформацию сплошного шара радиуса Л под влиянием собственного гравитационного поля, считая внешнюю границу шара свободной от напряжений. Показать, что существуют области, где вещество шара сжато, и области, где оно растянуто по радиусу. Указать границу между этими областями. 28.64 В безграничной пластине (плоская задача) вырезано круговое отверстие радиуса а, внутри которого давление равно нулю. Пластина на бесконечности находится в состоянии равномерного всестороннего растяжения усилиями интенсивности р.
Найти распределение напряжений в пластине. Показать, что максимальное напряжение в пластине превышает давление р на бесконечности (концентрация напряжений на отверстии). Сравнить с результатами задачи 28.62. 314 Глава 6. Теория упругости 28.66 Найти напряжения в диске радиуса а, вращающемся с постоянной скоростью а около оси а, перпендикулярной его плоскости. Поверхность диска свободна от напряжений, толщина постоянна и мала, так что можно принять всюду р„= О. 28.67 Найти напряжения и деформации в упругой полуплоскости, к границе которой приложена сосредоточеннал сила г", действующая под углом о к границе, рис. 28.21.
Других сил на границе нет. Использовать функцию напряжений в полярных координатах, см. задачу 28.58. Рис. 28.21. 28.68 Рещить предыдущую задачу в декартовых координатах, используя преобразование Фурье уравнений равновесия и граничных условий. 28.69 Найти распределение на-- пряжений в неограниченной пластине с круглым отверстием радиуса й, подвергающейся на бесконечности равномерному растяжению в направлении оси х усилием интенсивности Т. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
