Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 52
Текст из файла (страница 52)
30.5 Пусть (х~) — пространственные декартовы координаты. В одномерном случае при и! = и!!(х!,!)е~, используя уравнения задачи 30.3, вывести уравнения для продольной, и!~ ф О, и!з = и!з = О, и поперечной, вз ~ О, и!! = и!э = О, волн, предполагая, что массовые силы отсутствуют. Найти дисперсионные ! ю !-ьт!1 соотношения ь! = ь! (й) для волн вида и!' = Ке(А' ед"!! " ), где ь!,, й — вещественные числа, Аэ — комплексные. Рассмотреть суперпозицию двух волн равной амплитуды АУ с предельно близкими Й!, й". Показать, что скорость медленно меняющейся амплитуды суммарной волны есть !йэ/!!к (групповая скорость). Вычислить групповую скорость для продольных и поперечных волн, сравнить с фазовой ь!/й. Глава б. Теория упругости 328 30.6 Бесконечная плита, занимающая область пространства (х' Е [ — Ь: ЬЦ, подвержена на границе постоянным нагрузкам р„и Я„.
Определить ее статическое деформированное состояние. используя уравнения задачи 30.3, в случаях а) р„= О, Я„= ~9ез' б) р„= хрег, Я = — рЬез, соответственно при хл = ~Ь. Координаты [х') — декартовы. Предполагается, что поле перемещений имеет вид гв = и'[х')е,, причем цгг[О) = О. Исследовать решение при 1 = ~/и/~л <( Ь.
ЗО.У Решения задач классической линейной теории упругости с квадратичной зависимостью гя' от декартовых переменных, очевидно, удовлетворяют также и уравнениям линейной моментной теории, задала 30.3. При этом поле тензора р в обеих теориях одинаково. Вычислить вектор Ф и тензор Я и определить подходящие граничные условия для Я„, проверяя уравновешенность нагрузки: а) при растяжении бруса кругового сечения радиуса В под действием собственного веса л РУ [[ г 1г) + [ г+ г)) г Р9хУ з Р9хх 2Е где обозначено 9 — ускорение силы тяжести, Ь вЂ” длина бруса, Е и о — модуль Юнга и коэффициент Пуассона; б) при изгибе балки кругового сечения радиуса й и длины Ь МУх г М г г г 3 ОМУг ол = — —, ля = — [х +сГ(у — г )], ю Е1 ' 2Е1 Е1 где М вЂ” величина изгибающего момента, 1 = гг1л4/4 — момент инерции поперечного сечения балки относительно оси изгиба г; в) при кручении стержня кругового сечения радиуса Н и длины Ь гц = — оху, ол =охх, и =О, 1 г з 2М где о =, М вЂ” крутящий момент.
,ихН4 ' 30. Моментная теория упругости и осреднение 329 30.8 В рамках классической линейной теории упругости решить статическую одномерную задачу с полем перемещений в = в~(х~)еы в~(0) = О, где х' Е [О; 1] — декартова координата, заданы граничные условия р„(0) = — рвы р„(Ь) = рвы Массовые силы отсутствуют, среда изотропна, коэффициенты Ламе Л(х') н р(х') — переменны.
Определить эффективный модуль упругости р" /(сы)ь, где угловые скобки означают осреднение по координате х' на отрезке [О; Ц. Показать, что если функции А и р — периодические с периодом 1 и Ь = п1, и — целое число, то осреднение по отрезку [О; 1] можно заменить осреднением по [О; 1]. Исследовать структуру решения для в'(х') при е = 1/Ь -+ О, доказать, что член порядка с есть периодическая функция с периодом 1. 30.9 Пусть распространение поперечной волны в классиче- ской линейной упругой среде описывается уравнением р(х) — ~- = — (,и(х) †), где р и р — периодические функции с периодом 1. Предположим, что решение имеет вид, ср.
с задачей 30.8, в = (в) + с%1 (~) — ( — ) + е'Жз (~) — '-т'- + 0(е~), где (в) — среднее по периоду 1; е = 1/1, — малый параметр; Х~ и Юз — периодические функции ~ = х/1 с периодом 1 такие, что (Х1) = (Жз) = 0; 1, — характерный размер изменения ампли- туды волны. Найти функции (в)(х,1) и Ж1(ф). Для определения Х1 член порядка и приравнять нулю и осреднить член порядка единицы. Показать, что (в) удовлетворяет уравнениям класси- ческой теории упругости для некоторой однородной среды. 30.10 В рамках классической теории упругости рассмотреть нормальное падение поперечной монохроматической волны в = Ве ~~А ед ' ~' 1], е( 1е где в, к1 — вещественны, А1 — комплексное число, при х = 0 на поверхность разрыва кусочнопостоянных функций р(х), р(х), входящих в уравнение "дР дх(~ дх)' 330 Глава б.
Теория упругости Вычислить амплитуды проходящей и отраженной волн, предполагая выполненными условия контактного разрыва: отсутствие на его поверхности скачков дю/д~ и ддв/дл. Сравнить с результатом задачи об упругом соударении материальных точек. 30.11 Пусть на бесконечную систему первоначально покоя- шихся свободных материальных точек, расположенных на одной прямой, с массами ты тэ, ...
и конечной суммарной массой М со стороны то~ налетает материальная точка с массой то и скоростью во, направленной вдоль той же прямой, в результате чего по данной системе распространяется волна упругих столкновений, см. задачу 30.10. Пусть и — номер первой движущейся в некоторый момент времени материальной точки, точки с массами т„+ь, Й > 1, еще покоятся, и Е„ — ее кинетическая энергия. Рассмотреть энергию Е = 1пп Е„, переданную по цепочке в результате прохождения волны столкновений. Используя неравенство Коши — Буняковского, показать, что наилучшая передача энергии Е по цепочке отвечает случаю равенства скоростей всех точек после прохождения волны столкновений.
Такая цепочка далее движется как твердое тело, не рассыпаясь, выводя избыток энергии на нулевую массу. Найти подходящее распределение масс т„, п = 1,2,..., считая то и М заданными, а удары упругими. В одномерной постановке описать процесс соударений в рамках механики сплошной среды, представив его как движение плоской поверхности разрыва с переменной поверхностной плотностью и = р,1 в среде без напряжений, где р, — начальная плотность, 1 — постоянный параметр размерности длины, характеризующий расстояние между точками. Найти распределение р~ при наилучшей передаче энергии. 30.12 В рамках задачи 30.10 построить точное решение задачи о прохождении сквозь слоистую упругую среду волны с перемещением вида щ = Ле[г'(х) е'("' ~*)], где Е(х) — комплексная периодическая функция с периодом 1, равным периоду кусочнопостоянных функций р(л) и д(я), принимающих при х Е [ — 1/2; 0) значения р~, п~ и при х б [О; 1/2) — значения рз, дз соответственно.
Исследовать дисперсионное соотношение / (х, ю) = О в случае постоянства скорости звука с = ~/р/р, определить „зоны непро- 39, М<>ментная теория упруг<нтн я нгргднгни<. 331 эрачности", когда Й при заданном действительном в становится комплексным. При малых ]й~ (длинные волны) записать дисперсионное соотношение в виде вз = сиз(1 — ояз) + 0(йе), найти с и с<, сравнить его с результатом задачи ЗО.Б, обратив внимание на знак — с<, противоположный знаку соответствующего коэффициента в моментной теории упругости. 30.13 Для одномерной дискретной динамической системы, состоящей из одинаковых материальных точек массы т, соединенных пружинками жесткости <3, уравнение движения н-ой точки имеет вид тв'„(<) = — <3(2в„— ю„ь< — в„-<).
Определить дисперсионное соотношение в(я) для волн вида ю„= 33е[Ае<1 ' "мб], где в и Й вЂ” вещественны, А — комплексное число, а — некоторый линейный размер, ограничивающий снизу длину волны. Перейти к длинноволновому приближению, ]на] « 1, с учетом дисперсии, ставя в соответствие в соотношении вз - езк~(1 — с<йз) дю дю величинам в и я. производные — г — и 3 —. Результат сравнить дг дх' с уравнениями задачи 30.5. 30.14 Вывести уравнения движения бесконечной одномерной цепочки, состоящей из материальных точек с чередующимися массами т и М > т, соединенных пружинками одинаковой жесткости 13, см.
задачу 30.13. Пусть тз„— — т, тз„+< = М, п Е 2, и вао юз„+< — перемещения точек. Найти решение вида Л Г 1 <1<« — 2иья)<1 <1 ( 1 <1<<<-(зи+<у<я<] — ], юзя.~.< = Показать, что существуют две ветви дисперсионной кривой <н(й), в, й — вещественны, отвечающие „акустической" и „оптической" модам колебаний, разделенные запрегценной полосой частот я=<2<< (— установить вид этих ветвей для малых ]йа]. Для более высокочастотной оптической моды вывести в длинноволновом приближении, как в задаче 30.13, уравнение второго порядка в частных производных. Показать, что оно не является волновым.
Глава 7. Неупругие деформируемые среды 31. Теория пластического течения При обычных температурах и умеренных нагрузках, не слишком быстро меняющихся и не очень длительных, поведение большинства деформируемых твердых тел упругое. Выход за рамки таких условий, как правило, вызывает неупругий отклик. Пластичность, вязкость и (затухающая) память — три основных вида неупругих свойств.
Их общая особенность — отсутствие конечной связи напряжений и деформаций. В дальнейшем эти свойства рассматриваются в случае малых деформаций и в пренебрежении тепловыми эффектами. Это возможно, например, если достаточно высокая теплопроводность успевает выравнивать температуру тела и поддерживать ее постоянной за счет теплообмена с внешней средой. Часто используемый термин нагруженае имеет два смысла: 1) процесс приложения внешних сил к телу, 2) процесс изменения напряжений в точке, или во всем теле, когда напряжения однородны, т. е. не зависят от координат точки.
Пластичность — это свойство среды приобретать остаточные, не исчезающие при снятии напряжений, деформации, зависящие от способа нагружения, но не зависящие от скорости, с которой оно проводится. Теория пластического течения выделяет в пространстве напряжений максимальную область, при изменении напряжений внутри которой тело ведет себя упруго или в предельном случае — жестко, т. е. не деформируясь. Если эта область остается неизменной, то говорят, что имеет место идеальная пластичность, если она изменяется вместе с остаточными деформациями, то говорят, что происходит упроннение. Далее для простоты рассматривается один параметр т, описывающий упрочнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
