Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Задачи 32.1 С помощью нагружения, описанного в задаче 31.3, в трубчатом образце создается состояние только с одной ненулевой компонентой тензора напряжений в цилиндрической системе координат — р, . Затем деформация кручения поддерживается постоянной. Считая, что материал образца описывается вязко- упругой моделью Максвелла, показать, что напряжение релаксирует (убывает) по экспоненциальному закону с показателем Цт. Постоянная т называется поэтому характерным временем релаксации при чистом сдвиге.
Будет ли происходить релаксация напряжений в случае, если материал образца описывается: а) вязкоупругой моделью Фойхта; б) моделью пластического течения: 1) идеальной, 2) с упрочнением? 32.2 С помощью нагружения, описанного в задаче 31.3, в трубчатом образце создается состояние только с одной ненулевой компонентой р„тензора напряжений в цилиндрической системе координат. Затем деформация удлинения поддерживается постоянной. а) Считая, что материал образца описывается вязкоупругой моделью Максвелла, показать, что напряжение релаксирует по экпоненциальному закону. Обратите внимание, что характерное время релаксации при растяжении отличается от характерного времени релаксации при кручении, б) Найти закон изменения во времени площади поперечного сечения образца.
345 32. Вязкоупругость и вязкопластичпость 32.3 С помощью нагружения, описанного в задаче 31.3, в трубчатом образце создается состояние только с одной ненулевой компонентой р, тензора напряжений в цилиндрической системе координат. Нагрузка поддерживается постоянной. Найти закон изменения деформации я, во времени, если материал образца описывается вязкоупругой моделью а) Фойхта; б) Максвелла.
32.4 Материал трубчатого образца описывается вязкоупругой моделью Максвелла. Нагружение начинается в момент ~ = О и проводится так, см. задачу 31.3, что отлична от нуля только одна компонента р, = и тензора напряжений в цилиндрической системе координат. Она изменяется по закону и = А~, где А = сопв1 ) О. Ноказать, что из компонент тензора деформаций в цилиндрической системе координат отлична от нуля только одна компонента я, = н. Найти закон ее изменения во времени.
Для различных значений А построить диаграммы и с (они описываются параметрически — зависимостями п(1), е(~)). В чем состоит принципиальное отличие от случая, когда материал образца — упруго- пластический? 32.5 В начальный момент в трубчатом образце создана деформация г, = ее, а остальные компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат равны нулю.
Образец при этом нагружен только крутящим моментом, см. задачу 31.3, который начинает быстро убывать, пока не обратится в нуль. В дальнейшем никакие силы к образцу не прикладываются. Нарисовать графики изменения деформации е, от времени,' если материал образца описывается а) моделью пластического течения; б) вязкоупругой моделью Максвелла; в) вязкоупругой моделью Фойхта. 346 Глана Т. Неупругие деформируемые среды 32.6 Показать, что определяющие соотношения жесткоидеальнопластической среды с критерием текучести Мизеса (ассоциированный закон) эквивалентны соотношениям ~/2й о, Л>О, если еб ~ О ~/е~~е"' „И) рб любые, удовлетворяющие если е;, = О. условию рб р; < 2й, (л) (л) з Здесь е; — компоненты тензора скоростей деформаций.
На основе этой модели сконструировать определяющие соотношения несжимаемой жесткоеязкопластической среды, которые: 1) сохраняли бы ту же область жесткого поведения; 2) учитывали бы добавочные напряжения, возникающие в процессе деформирования из-за вязкости. 3 32.7 В бесконечном кана- ле между двумя параллельными стенками происходит прямолинейное плоское течение в напра- 1 влении оси хм см. рис.
32Л, с. расходом Я на единицу длины оси хз. Поведение среды описывается жестковязкопластиче- Рис. 32.1 скими определяющими соотношениями, см. предыдущую задачу. На стенке канала выполняется условие прилипания. а) Показать, что единственная ненулевая компонента скорости зависит только от тз. В области, где скорость деформации отлична от нуля, выразить дивиатор тензора напряжений через поле скорости и показать, чго давление 1 Р = — рль 3 в этом слое не зависит от хз и линейно зависит от х1. Ир — = — А = сопя(.
дл1 б) Показать, что плоскость симметрии хз = О находится внутри слоя среды, движущегося как жесткое целое — не деформируясь. 32. Вязкоупругос гь в вязкопластнчнасть 347 в) Показать, что на границах недеформирующегося слоя р1з(хм и) = -/с, р1г(хм -6) = Й, где а — постоянная в критерии текучести Мизеса, см. задачу 32.2, и пе1 пе1 — (Ь) = — (-й) = б. плг г) Показать, что проекция на ось х1 средней плотности силы, действующей слева на поперечное сечение недеформирующегося слоя, линейно зависит от хы т.
е. 6 1 — — / — ры(ям яз) Ихз = — В = сопБФ. Ыя1 26 l -Ь Выразить величину В через толщину недеформирующегося слоя. В рамках рассматриваемой модели напряжения в слое, где не происходит деформирование, должны удовлетворять условию р, ' р,, < 2Й . При этом они должны уравновешивать приложен- Й) ('~) 2 ные на его границах силы: линейно распределенное давление, см. п. а), и касательную силу, распределенную равномерно с плотностью к, см.
и. в). Известно, что одновременно удовлетворить этим условиям можно только если коэффициент падения давления в деформирующихся слоях А и коэффициент падения средней плотности силы в недеформирующемся слое В равны. Таким образом, вместе с постоянной А найден и коэффициент падения давления В, хотя он выражен через неизвестную пока толщину недеформирующегося слоя 26. д) Найти распределение скорости по поперечному сечению канала и связь толщины недеформирующегося слоя с заданным расходом.
Обратите внимание, что для жестковязкопластической среды в отличие, например, от вязкой жидкости, организация сколь угодно малого расхода требует создания конечного перепада давления на единицу длины (постоянная А). Это стандартная ситуация для сред, имеющих в пространстве напряжений область жесткого поведения: деформирование таких сред не начинается, пока нагрузки „малы". Глава 8. Специальная теория относительности 33. Пространство Минковского.
Преобразования Лоренца Специальная теория относительности основана на двух экспериментально подтверждаемых постулатах: постулате об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета и постулате об одинаковости величины скорости света во всех системах отсчета. Для того, чтобы эти постулаты выполнялись, переход от одной системы отсчета к другой должен описываться преобразованием не только пространственных координат, но и временной, см. задачи 33.1 и 33.8. Поэтому события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой и линейные размеры движущихся тел отличаются от размеров тех же тел в покое, см. задачи 33.8 — 33.11. Специальная теория относительности, в частности, дает формулы пересчета и других физических величин при изменении системы отсчета.
Для обычной механики эффекты теории относительности проявляются в членах порядка и~/сз. В электродинамике в формулах преобразования электромагнитного поля имеются члены порядка и/с, см. задачу 35.9. Согласно представлениям теории относительности пространство и время образуют четырехмерное риманово пространство с метрикой ~Ь~=д; дх'дх', ~, /=1,2,3,4. Пространство Минковского, лежащее в основе специальной теории относительности, характеризуется тем, что существуют такие инерциальные системы координат (лоренцевы), в которых всюду выполнены равенства 2 дп=дгз=дзз= — 1 дчч=с, д„=О природ, причем х1, хз, хз — пространственные координаты, а х4 = ~— время. Отметим для сравнения, что, согласно дорелятивистским 33. Пространство Минковского.
349 представлениям, существуют две независимых метрики — одна для времени, другая — для пространства. В предлагаемых ниже задачах всюду используются лоренцевы системы координат, если не оговорено противное. Преобразования координат, дающие переход от одной лоренцевой системы координат к другой, называются преобразованиями иуоренца. Физические основания для нахождения вида этих преобразований, их свойства, а также основные понятия релятивистской динамики и электродинамики обсуждаются в задачах этого параграфа.
В задачах, связанных с теорией относительности, как принято для удобства в этой науке, латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3. Задачи х = амх — аггс1, с! = — аггх+ аггсг, / г где 1 а|1 — — агг —— 1 — и /сг ачг = аг! = с 1 — и/с Это преобразование называется частным преобр зованием Лоренца, поскольку преобразует только одну пространственую переменную и время. 33.1 Пусть линейное однородное преобразование переменных х и ! в х' и !', где Их и а!х' выражают элементы длины, а й и Й' — времени, обладает следующими свойствами: а) сигнал, распространяющийся по оси х со скоростью света ~с, с = сопв$, в системе отсчета 1х; !) сохраняет свою скорость в системе 1х'; !'), т. е.
прямые х = ~с!+сопя! при преобразовании переходят в прямые х' = ~с!'+ сопя!; б) матрица преобразования зависит от скорости и одной системы координат относительно другой и одна и та же для любой пары систем координат при заданном и. Показать, что это преобразование имеет вид 350 Глава 8. Специальная теория относительности 33.2 Показать, что частное преобразование Лоренца, представляющее собой преобразование, найденное в задаче 33.1, дополненное равенствами / / д=д и я=я, относится к классу преобразований (общих преобразований Лоренца), для которых имеет место равенство (йх) Яу) (ля) с (й~ ) ~йх ) — (йд ) — (йх ) 33.3 Найти преобразование двух переменных х, 1 в х', г', обладающее свойством сз(,И) 2 (Их) 2 — сз(а') 2 (йх/) 2, воспользовавшись аналогией с ортогональными преобразованиями, Которая возникает при введении переменных Ч1 = х, ~з = Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
