Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 54
Текст из файла (страница 54)
в) Нарисовать диаграмму и е в случае, когда критерий текучести имеет вид — р, р1; =и +а Х, где й =сопв$; а =сопй. г Обратите внимание, что вид диаграммы не зависит от того, с какой скоростью проводится нагружение. 31.12 Медный трубчатый образец нагружался только крутящим моментом, см. задачу 31.3, начиная с недеформированного состояния. На рис. 31.2 приведена несколько в идеализированная диаграмма (сг; е), где и = р, и е = е,,, Рис.
31.2. полученная в результате эксСчитая, что поведение материала можно описать 15 10 0 перимента 31, Теория пластического течения 339 соотношениями модели пластического течения с критерием текучести Мизеса и изотропным упрочнением, найти упругий модуль сдвига, начальный предел текучести при чистом сдвиге и закон упрочнения — зависимость предела текучести от параметра упрочнения. Для получения численных значений параметров использовать диаграмму, показанную на рис.
31.2. 31.13 Простым нагружением называется процесс, при котором все компоненты девиатора тензора напряжений изменяются пропорционально монотонно возрастающему параметру т: р; = тв;, в, = сопеФ. И) о о Показать, что для упругопластического материала с критерием текучести Мизеса и изотропным упрочнением при любом простом нагружении, начинающемся с недеформированного состояния, справедливы следующие утверждения: а) шаровые составляющие тензоров напряжений и деформаций связаны упругим законом 1 .
ряя~ 3К б) „направляющие тензоры" девиаторов тензора деформаций и тензора напряжений совпадают, т. е. И) И) рб )гЮ И) Г(г) (4 Е1 Здесь р1 — интенсивность тензора напряжений, е1 — интенсивность тензора деформаций; в) существует взаимно однозначная связь интенсивностей тензоров напряжений и деформаций е1 = Е(р~), одинаковая для всех простых нагружений. Найти эту связь, считая известными постоянные и функции, задающие свойства материала. 31.14 Соотношения, укаэанные в задаче 31.13, дают взаимно однозначную связь напряжений и деформаций. Их можно принять за определяющие соотношения некоторой модели сплошной среды. Эта модель называется деформационной теорией пластичности; она была предложена независимо от теории течения.
Для простых нагружений, как следует из утверждения, 340 1'лава 7. Неупругие деформируемые среды сформулированного в задаче 31.13, обе модели дают совпадающие результаты. Совпадут ли результаты расчета деформации по этим двум теориям, если: а) вслед за простым нагружением происходит изменение напряжений при их постоянной интенсивности? б) вслед за простым нагружением происходит разгрузка до нулевых напряженийу 31.15 С помощью нагружения, описанного в задаче 31.3, в трубчатом образце создается состояние только с одной ненулевой компонентой тензора напряжений в цилиндрической системе координат — р, = о.
Изменение'напряжения со временем показано на рисунке 31.3. Рис. 31.3. Считая, что материал образца подчиняется соотношениям теории пластического течения с изотропным упрочнением, нарисовать график изменения деформации. 31.16 Упругопластическая среда, подчиняющая~я критерию текучести Мизеса, движется в условиях плоской деформации в декартовой плоскости (лм хз). Считал начальное состояние не- напряженным, показать, что: 1) во все время движения выполнено р~з = рзз = 0; 2) если среда несжимаема, то выполнено рзз = ~ — ~— 2 и критерий текучести Мизеса принимает вид (ры — ргг) + 4р~~з = 4Й й = о,/Л. 3!. Теория нластиче< ко~ о течения 341 31.17 Бесконечно длиннал труба, имеющая внутренний радиус а и внешний радиус в, нагружается нзнутри давлением р, монотонно возрастающим от нуля.
Материал трубы считать упругоидеальноцластическим. подчиняющимся критерию текучести Мизеса и несжимаемым — - в законе Бука К = оо. а) Найти распределение напряжений и перемещений в трубе при условии, что происходит лишь упругое деформирование, см. задачу 28.63. б) При какой величине давления чисто упругое деформирование станет невозможным? В каком месте трубы начнется развитие пластической деформации? в) Найти распределение напряжений в пластической зоне, т.
е. в той части трубы, где происходит пластическое деформирование. г) На поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, принимается условие непрерывности всех компонент тензора напряжений. Из-за осевой симметрии задачи разделяющая поверхность может быть только цилиндрической. Считая известным ее радиус, найти распределение напряжений в упругой зоне. д) Используя условие непрерывности всех компонент тензора напряжений на цилиндрической поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, вывести уравнение, определяющее ее радиус.
е) Показать, что в некотором диапазоне давлений ро ( р ( р„ зто уравнение имеет единственное решение для радиуса в промежутке от внутреннего до внешнего радиуса трубы, а при других значениях давления не имеет решений. Найти величины ро, р,. Обратите внимание, что при р > р, поставленная задача о трубе под действием внутреннего давления вообще не имеет решения. Эта ситуация стандартна для идеально пластического тела: напряжения в нем ограничены, и такими ограниченными напряжениями нельзя уравновесить достаточно „большую" нагрузку.
В пространстве нагрузок имеется поверхность, отделяющая такие „большие" нагрузки от допустимых — „малых". Ее точки называются предельными наерузкали. В рассматриваемом случае внутреннее давление р„является предельной нагрузкой для трубы. 342 Глава 7. Неупругие деформируемые среды 31.18 Бесконечный в на- правлении оси зз лист изги- С бается в плоскости (зм яз) в условиях плоской деформации. Изгиб происходит под х, действием сил, распределенных по его краям с плотностью, не зависящей от зз, см. Рис. 31.4. рис. 31.4. На единице длины края результирующая сила равна нулю, а результирующий момент имеет только одну отличную от нуля компоненту — момент относительно оси яз величины Мз = М на единице длины края. Материал листа упругоидеальнопластический с критерием текучести Треска. Дальнейшие вопросы относятся к области, достаточно удаленной от краев листа.
Из-за того, что лист тонкий, а « а, компоненты рзз и раз тензора напряжений в этой области считаются нулевыми — их величины пренебрежимо малы по сравнению с величинами ры рзз, и р~з = раз = О, т. к. деформация плоская. а) Найти распределение напряжений и перемещений в сечении листа при условии, что происходит лишь упругое деформирование. При какой величине приложенного момента чисто упругое деформирование станет невозможным? В каком месте сечения начнется развитие пластической деформации? б) Найти распределение напряжений в пластической зоне. в) Считая, что на поверхности, разделяющей упругую и пластическую зону, все компоненты тензора напряжений непрерывны, найти положение границы упругой и пластической зон и распределение напряжений в упругой зоне. Нарисовать график распределения компоненты ры по толщине листа. г) Найти предельную нагрузку — наибольшее значение приложенного момента, которое еще может быть уравновешено напряжениями, не выходящими за поверхность текучести.
д) Считая, что на поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, скорость непрерывна, найти распределение скорости в пластической зоне, примыкающей к верхней поверхности листа. 343 32. Вязкоупруго< ть я вязкопластичность 32. Вязкоупругость и вяэкопластичность Вязкость — — это свойство среды по-разному сопротивляться деформированию в зависимости от его скорости. В твердых телах вязкость приводит к повышению напряжений при быстром деформировании. Другое проявление вязкости — явление полэучести — наличие ненулевой скорости деформирования при постоянных напряжениях. Простейшая модель деформируемого твердого тела, учитывающая вязкость, задается определяющими соотношениями вязкоупругого тела Фо<)хта р( ) = 2рг(.) + 2<)г;,', р~ь — — ЗКг~ь.
Сдвиговые напряжения р; складываются из упру~их 2рг;, и (4 И) вязких 2цг," (как в вязкой жидкости), постоянная <) — коэффи- (4 циент вязкости. Шаровая часть напряжений — чисто упругая. Память — это свойство среды реагировать не только на имеющиеся в данный момент условия, но и на условия, в которых она находилась в прошлом. Пластические тела обладают этим свойством; например, достигнутое упрочнение остается при разгрузке неизменным сколь угодно долго. Многие среды имеют память другого типа — затухающую, при которой условия в прошлом сказываются на состоянии среды тем слабее, чем к более удаленному прошлому они относятся. Простейшая модель среды с затухающей памятью задается определяющими соотношениями вязкоупругого тела Максвелла (4 ~Р' + ге= Рь. .(г) 1 ,(г) Р;, „ 1 2р~б т ' ЗК Сдвиговые деформации г, складываются из упругих р, /(2р) (г) (г) (г) и вязких, скорость которых равна р," ~(2)<т), как в вязкой жидкости с коэффициентом вязкости <) = )<г.
Объемная часть деформации — чисто упругая. Модель вязкопластического материала рассматривается в задачах 32.6 и 32.7. 344 Глава 7. Неупругие деформвруемые среды Во всех задачах этого параграфа подразумевается, что процесс нагружения квазистатический — можно пренебречь ускорением в уравнениях движения. Компоненты векторов и тензоров относятся к декартовой системе координат, если не оговорено противное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
