Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Область упругого (в предельном слу- 333 31. Теория пластического течения чае — жесткого) поведения в пространстве напряжений задает- ся при фиксированном т условием ДР,Л) < О, тахЯРг — Рг~, !Рг — Рз!,!Рз — РгЦ = 2т и Мизеса (Рг — Рг)'+ (Рг — Рз)'+ (Рз — Рг) = 2о.', где Ры рг, рз — главные значения тензора напряжений, г, и а, постоянные или функции параметра упрочнения Х. В моделях упругопластических тел полная деформация состоит из упругой и пластической составляющих Яб =в, +Я р (31.1) В дальнейшем считается, что упругая деформация определяется законом Рука 1 ы, 1 2 в'"1л) = — р, 1~), в'ьь = —.Рьь, где К = Л+ — р, (31.2) 3К 3 индексом Н отмечен девиатор тензора, см.
задачу 28.13. В частности, при р = оо, К = оо получается модель жесткопластического тела: упругие деформации отсутствуют, в;, = в, . — р. !2 зак гэ68 причем эта область обладает свойствами: 1) область выпукла; 2) нулевые напряжения лежат внутри нее, 1(0, Х) < О; 3) с ростом Л область остается неизменной или расширяется, справедливо неравенство д~/дх > О. Упрочнение, при котором область упругого поведения испытывает подобное растяжение, называется изотропнььн. Напряжения в теории пластического течения удовлетворяют условию Др",Л) < О. Пластические деформации могут изменяться лишь если напряжения лежат на поверхности 1(Р", Л) = О, называемой поверхностью текучести — в случае идеальной пластичности, и поверхностью погружения — в случае пластичности с упрочнением.
Равенство Др'1, т) = О называется критерием текучести. Широко используются критерии текучести Треска Глава 7. Неупругие деформируемые среды 334 Пластические деформации в теории пластического течения находятся при помощи нор.паленого закона, его называют также ассоциированным, т. е.
связанным с критерием текучести, Л вЂ”, Л>0, при Др",Л)=0, д~ О, при Др'~, у) ( О. (31.3) Х=Р гб (31.4) а величины т, и а, в критериях текучести Треска и Мизеса— неубывающие функции параметра упрочнения у. Соотношения (31. 1), (31. 2) и (31. 3) при заданных функции у' и законе изменения у, составляют систему оиределяюецих сооеаношений для упругопластического тела в теории пластического течения. Во всех задачах этого параграфа подразумевается, что процесс нагружения квазистатический — в уравнениях движения можно пренебречь ускорением. Если не оговорено противное, компоненты векторов и тензоров относятся к декартовой системе координат. Задачи 31.1 Показать, что критерий текучести Треска имеет следующий физический смысл: величина касательной составляющей усилия по некоторой площадке достигает значения г,.
Здесь Л следует рассматривать как единый символ, в остальных случаях точка обозначает дифференцирование по времени. По этому закону пластическое течение может происходить, г," ~ О, только если напряжения лежат на поверхности текучести. Когда напряжения сходят внутрь этой поверхности, говорят, что происходит разгрузка, пластические деформации перестают изменяться.
Поэтому при нулевых напряжениях сохраняется остаточная (пластическая) деформация. При изотропном упрочнении изменение параметра у обычно описывается соотношением 335 31. Теория пластического течения 31.2 Показать, что: а) значения функций, определяющих критерии текучести Мизеса и Треска, не зависят от шаровой составляющей тензора напряжений; б) их можно выразить через второй и третий инварианты девиатора тензора напряжений ,(л) Р(л)Р(з) ,(з) г = Р;,' Р," з =Р11 Ргьры ) в) критерий Мизеса можно представить в виде ~з а в представление критерия текучести Треска входят оба инва- (з) (4 рианта девиатора тензора напряжений 1г и,)з 31.3 Исследование механических свойств материалов часто 6«а<<1 Рис.
31.1. проводится на длинных тонкостенных трубчатых образцах. Образец находится в равновесии под действием сил, приложенных на торцах. На каждом торце суммарная приложенная сила— растягивающая вдоль оси (пусть ее величина Е), а суммарный момент — крутящий относительно оси образца (пусть его величина М).
Можно считать, что во всех точках образца, достаточно удаленных от торцов, матрицы физических компонент тензора напряжений в цилиндрической системе координат (г, ~Р, я) одинаковы. Найти их. Обратите внимание, что напряжения не зависят от материала образца. Именно зто и позволяет исследовать его свойства, например, измерять деформации и выяснять, как они зависят от созданных (известных) напряжений. 336 Глава 7. Неупругие деформируемые среды 31.4 а) С помощью нагружения, описанного в задаче 31.3, в трубчатом образце создается состояние толькос одной ненулевой компонентой тензора напряжений в цилиндрической системе координат р, . Как нужно для этого выбрать растягивающую силу и крутящий момент? При таком нагружении значение р,, с которого начинается пластическое течение, называется пределом текучести при чистом сдвиге. б) Как нужно выбрать растягивающую силу и крутящий момент, чтобы единственной ненулевой компонентой напряжений оказалась р„? При таком нагружении значение р„, с которого начинается пластическое течение, называется пределом текучести при чистом растяжении.
в) Показать, что величина т, в критерии текучести Треска— предел текучести при чистом сдвиге, а о, — в критерии текучести Мизеса — предел текучести при чистом растяжении. 31.5 В экспериментах со стальным образцом обнаружено, что предел текучести при чистом сдвиге, см. задачу 31.4, равен 23 кН/см~. Найти предел текучести при чистом растяжении, считая, что сталь подчиняется: а) критерию текучести Треска; б) критерию текучести Мизеса.
31.6 В упругопластической среде с упрочнением происходит пластическое течение: ф ф- О. Выразить множитель Л в ассоциированном законе через скорость изменения напряжений реь Обратите внимание, что для идеальнопластической среды этого сделать нельзя. Почему? 31.7 В данном состоянии для упругопластической среды выполнен критерий текучести Др;, д) = О и напряжения изменяются со скоростью реь Показать, что: а) при — р, < О пластические деформации не изменяются, дРО т. е. йб = О, и имеет место неравенство д~ , д~ . — ро'+ Х < О' й др;, " дд такой процесс называется разгрузкой; 337 31.
Теория пластического течения б) при — -р; = О пластические деформации не изменяются, др;; т. е. г~ = О, и имеет место равенство ф/й = О, такой процесс называется нейтральным нагружением; в) при р;, > О пластические деформации изменяются, т. е. др '»' г,"" ф О, и имеет место равенство ф/й = О, такой процесс называется антиень м нагружением. Что можно сказать об аналогичных процессах в идеально- пластической среде? 31.8 Значения функции Г", задающей критерий текучести, не зависят от шаровой составляющей тензора напряжений.
Показать, что если выполнен ассоциированный закон, то пластические деформации удовлетворяют условию несжимаемости г„„= О. 'р 31.9 Для изотропной среды функция ~(р1 ), задающая критерий текучести, зависит лишь от главных значений тензора напряжений рз(р';) рз(рд) и рз(р;'): ЯРО) = р(РОРО), Рг(рд) Рз(РО)). а) Показать, что в этом случае главные оси тензора скоростей пластических деформаций совпадают с главными осями тензора напряжений, а, его главные значения равны дг' гР=Л вЂ”, д1л1 где Л вЂ” множитель, входящий в ассоциированный закон. б) Показать, что если в начальный момент тензоры деформаций и напряжений имеют общие главные оси, а затем главные оси тензора деформаций остаются фиксированными, то с ними совпадают, а следовательно, не изменяются, и главные оси тензора напряжений.
в) Каковы главные значения тензора скоростей пластических деформаций для среды с критерием текучести Треска, если напряжения удовлетворяют ему, причем главные значения тензора напряжений равны рм рз. Рз и р~ > рз > рз7 Глава 7. Неупругие деформируемые среды 338 31,10 Для упругопластической среды с критерием текучести Мизеса, дифференцируя по времени равенство с~у =с;~+е;. р. и используя закон Гука и ассоциированный закон. получить уравнения Прандгпля -Рейеса 1 -и1 ' 1з1 31.11 Материал трубчатого образца описывается соотношениями модели пластического течения с критерием текучести Мизеса и изотропным упрочнением.
Нагружение начинается с недеформированного состояния и проводится так, что отлична от нуля только одна компонента р, = о тензора напряжений в цилиндрической системе координат, см. задачи 31.3 и 31.4. а) Показать, что среди компонент тензора деформаций только одна — е,,,:— е — отлична от нуля. б) Если рассматриваемый процесс происходит без разгрузок, то деформацию е можно выразить как функцию напряжения и и наоборот. Найти связь и и е, считая известными постоянные и функции, задающие свойства материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
