Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Совокупность основных единиц измерения составляет систему единиц иззеерения. В механике обычно в качестве основных используют единицы длины (символ Е), массы (М) и времени (Т), либо единицы длины (Ь), силы (К) и времени (Т). Системы таких основных единиц могут быть символически представлены как системы ЕМТ или АКТ. В международной системе единиц СИ кроме единиц измерения длины, массы и времени основными ~читают единицы измерения силы тока, силы света и абсолютной температуры. Для фиксированного набора первичных характеристик можно говорить о всевозможных системах их единиц измерения, отличающихся друг от друга лишь величиной основных единиц измерения.
Такую совокупность систем единиц измерения, напри- 38. Основы теории размерности Збэ мер, типа ЙМТ или Б1бТ, будем именовать в дальнейшем классом систем единиц измерения или классом систем и обозначать символами (йМТ"1 или (АКТ). В общем случае, при наличии в первичных характеристик, символами единиц измерения которых являются Аы Ая, ..., А„класс таких систем записывается в виде (Аы Аз,...,А,). Соотношение !38.1) может кроме первичных включать и вторичные величины, т.
е. характеристики, которые вводятся „по определению" с помощью формул, выражающих их через первичные или ранее введенные вторичные величины. Эти же формулы используются и для определения численных значений вторичных величин. Для обозначения единицы измерения вторичной величины 6 используется обычно символ [6]. И соответствии с определяющей вторичную величину формулой для любого класса'систем единиц измерения легко получается связь между символом единицы измерения вторичной величины и символами основных единиц измерения. Такая символическая формула называется формулой размерности или размерностью данной величины. В предположении о независимости определяющей вторичную величину формулы и отношения любых двух численных значений этой величины от выбора системы единиц в классе систем легко показать, что формула размерности должна быть степенным одночленом, т.
е., например, в классе систем (ЕМТ'1, иметь вид [6) = й МЗТо. Здесь о, )з и т — показатели размерности. В общем случае класса систем (Аы Аз,..., А,) формула размерности любой вторичной вечичины 6, представляется в виде [6;~ = А,оА,"...А,". Формула размерности показывает как меняется численнное значение вторичной величины при переходе от какой-то фиксированной системы в выбранном классе систем единиц измерения к любой другой. Если, например, в классе систем (Аы Аз,..., А,! совершается переход от некоторой системы 1 к системе 11 с основными единицами в иы из, ..., и, рзз меньшими по вели- Глава 10.
Анализ размерно< той и моделирование 370 чине, чем в системе 1, то связь между исходными значениями Ь, 1 и новыми значениями Ь11, очевидно, имеет вид Ь1 = Ь и "н '...и"". г 1 2 ''' е Величины, численные значения которых могут меняться при переходе к другой системе единиц данного класса систем единиц измерения, называются размерными. Если же этого не происходит, то такие величины называют безразмерными. В этом случае, очевидно, все показатели размерности равны нулю, т. е. огч = %2: ° °: <<<я = О.
Если в некоторой совокупности размерных величин размерность любой из них не может быть выражена через размерность остальных, то такие размерные величины называются размер- но-незааисимыми. Легко показать, что число размерно-независимых величин не может превышать число основных единиц в используемом классе систем единиц измерения. Естественное предположение о независимости вида любого изучаемого, отражающего определенную физическую закономерность соотношения а = Дам аз,..., а„) от выбора систем единиц в классе систем единиц налагает определенные требования на характер этой зависимости, требует от нее обладания определенной структурой. Выявить характер этой структуры позволяет центральная теорема теории размерностей, так называемая П вЂ теоре.
Существо П вЂ” теоремы состоит в том, что если исследуется соотношение а = Дам...,ажаььы..., а„), (38.1) вид которого не зависит от выбора системы единиц измерения в классе систем 1Аы Азг..., А,), причем аргументы его независимы между собой, а й из них размерно независимы в этом классе систем единиц (например, агрументы ам аз, ..., аь)г то это соотношение может быть представлено в виде соотношения между безразмерными параметрами П, П„представляющими собой комбинации определяемой величины а и определяющих параметров аь+ы..., а„с параметрами ам... гам т.
е. в виде п = р(п„п„..., и„,). 138.2) 38. Основы теории размерности ;.»ти безразмерные параметры определяются следующим образом. Пусть в классе систем единиц 1А2, А2,..., А,) размерности искомой величины и аргументов а».»„..., а„в (38.1) выражаются через размерности величин а2, аз, ..., а» с помощью формул [а) = [а»]Р1 [а2]Р'... [о»]Р», [а»+2] = [а2]Р" [а )и" ..
[а»]Р»11 (38.3) [а ] = [а2]Р'" '[а2]Р' " ..[а»]Р"" " Тогда величины П и П; в формуле (38.2) имеют вид а Р! Р2 Р» ! 2 '''~/с а»+! Р11 Р21 Р»1 а аэ ...а» (38.4) аа П„» = Р1, — » Р2, -» Р», — » а! ' аз' ...а»' Сокращение в формуле (38.2) количества аргументов по сравнению с (38.1) на Й единиц может существенно упростить анализ изучаемого явления, а в одном частном случае, когда Й = и, даже позволяет с точностью до безразмерной константы С найти вид исходного соотношения (38.1). Действительно, в этом случае имеем П=С, откуда следует, что а = Са 'аР' аР» а! аз ... а» .
Можно показать, что в классе систем (А», Аэ,..., А,) сокращение количества аргументов в (38.1) ограничено условием й < ж Однако, как заметил Хантли, в ряде случаев возможно искусственное увеличение числа первичных величин, т. е. числа я, например, за счет введения различной единицы длины при измерении длин в двух различных направлениях. Если возникающий при этом дополнительный размерный параметр, показывающий 372 Глава 10.
Анализ размерив<тей и моделирование во сколько раз эти единицы отличаются друг от друга, оказывается для изучаемого явления несущественным, то его можно не включать в число определяюших параметров. Увеличение на единицу числа размерно-независимых аргументов, т. е. величины и, приводит к уменьшению числа (и — Й) безразмерных аргументов в соотношении (38.2). Такой прием называется дачее методом Хантли. П вЂ” теорема позволяет сформулировать понятие о подобии изучаемых явлений разного масштаба (натурного и модельного).
Два разномасштабных явления одной физической природы можно считать подобными, если они отличаются друг от друга лишь численными значениями размерных определяющих параметров, а безразмерные определяющие параметры, т. е. комбинации П;, из них составленные, являюшиеся аргументами соотношения (38.2), соответственно одинаковы. В этом случае, т. е. при выполнении условий П",=Пю П2=П2, ..., П"„=П'„ (38.5) называемых критериями подобия, где индексы „н" и „м" относятся соответственно к натурному и модельному явлениям, из П-теоремы следует, что П" = П", откуда получается связь между размерными характеристиками этих явлений '1 2 (38.6) В случае замены изучения натурного явления экспериментальным изучением его в другом масштабе, т.
е. при моделировании явления, критерии подобия (38.5) позволяют указать условия проведения опытов в лабораторных условиях. Полученные в этих опытах данные испытаний модели пересчитываются на натурные значения по формуле (38.6). Последовательность действий при использовании анализа размерностей применительно к конкретным задачам обычно состоит в следующем.
На основе математической постановки задачи или, при отсутствии таковой, исходя из имеющихся опытных данных или физических представлений об изучаемой среде и явлении, выпи- ЗХ. Основы теории размерности 373 сывается по возможности полный набор определяющих параметров ам аз,..., а„и указывается общий вид зависимости от них искомого (определяемого) параметра, т. е.
формула (38.1) а = Дам..., аы аь+м..., а„). Выбирается класс систем единиц измерения (Аы Аз,..., А,). Указываются в этом классе си~тем формулы размерности определяемого и определяющих параметров. Размерность определяемого параметра должна выражаться через размерности определяющих параметров. Если это не так, то система определяющих параметров недостаточна и должна быть дополнена. Из числа аргументов соотношения (38.1) выбирается максимально возможное количество параметров ам аз, ..., аы обладающих независимыми размерностями.
Оно не может быть большим л. По формулам (38.3) записываются выражения размерности остальных аргументов и искомого параметра через размерности параметров ам аг,..., аы Для искомого параметра а и аргументов аь+ы ал+з, ..., а„ составляются безразмерные комбинации П и П; по формулам (38.4) . Согласно П-теореме можно записать соотношение (38.2). При моделировании явления устанавливаются критерии подобия, т.
е. соотношения (38.8), а данные испытаний модели пересчитываются на натурные параметры по формуле (38.6). Подробное описание указанной последовательности действий при использовании анализа размерностей для отыскания вида конкретных зависимостей, а также при моделировании, приведено в решениях задач 39.1 — 39.3, 39.20. Методика использования приема Хантли достаточно полно представлена в решении задачи 39.3. В ряде случаев при наличии математической постановки задачи анализ размерностей позволяет уменьшить количество независимых переменных в решаемой системе уравнений, например, позволяет систему уравнений в частных производных свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Глана 10. Анализ размерностей и моделирование 374 Примером такой задачи, решение которой относится к классу так называемых автомодельных решений, является классическая задача о сильном точечном взрыве, поставленная и решенная в конечном виде как со сферическими, так и с цилиндрическими и плоскими волнами, в 1945 г. Л.И.Седовым. Отдельные фрагменты этой задачи представлены в упражнениях 39,24 и 39.25. 39. Примеры приложений теории размерности Задачи 39.1 Получить формулу Ь для весового расхода С в единицу времени идеальной тяжелой жидкости, приходящегося на единицу длины ребра вертикального водослива с острым гребнем и со свободной струей.
Высота уровня Рис. 39.1. жидкости в водоеме над ребром водослива на далеких от него расстояниях равна Ь, см. рис. 39.1. 39.2 Найти весовой расход С идеальной жидкости в единицу времени через водослив с острой кромкой, представляющий собой симметрично расположенный по отношению к вертикали угловой вырез в вертикальной стенке, см. рис. 39.2. Величина угла равна о. Вершина выреза находится на глубине 6 по отношению к уровню жидкости далеко от водослива. Рис. 39.2. 375 39. Примеры приложений теории размерности 39.3 Пренебрегая сопротивлением воздуха и взаимодействием между частицами струи жидкости. выбрасываемой со скоростью о под углом се к горизонту, получить приближенные формулы для дальнобойности Е и наибольшей высоты подъема Н струи, см. рис. 39.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
