Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 17
Текст из файла (страница 17)
100 Глава 2. Общие законы и уравнения 10.12 Из общих уравнений движения сплошной среды получить уравнения движения идеальной жидкости — уравнения Эйлера. По определению в идеальной жидкости тензор напряжений имеет вид рб = — рдгз. 10.13 Получить уравнения Эйлера, применив закон сохранения количества движения к индивидуальному объему Ъ' идеальной жидкости. 10.14 Для баротропного движения, т. е. когда плотность р есть функция только давления р, в поле потенциальных массовых сил преобразовать уравнения Эйлера к виду Громеки — Лэмба дю Ю2 — + игам — + 2[аз х о) = игам У вЂ” игам Р, дг 2 где а1 = — го$ и — вектор вихря, сг — — потенциал массовых сил, 1 р называют функцией давления, ро — некоторая константа.
10.15 Пусть движение идеальной жидкости установившееся, внешние массовые силы имеют потенциал (Р = игаса У). Показать, что в этом случае уравнения движения Эйлера имеют интеграл н2 — +Р— У=С 2 называемый интегралом Бернулли, где С = сопв1 вдоль линии Е, 4т если е есть линия тока или вихревая линия; Р(р,.с) = 1 ~ р(р ~) — функция давления, разная для разных линий тока или вихря, если движение не баротропно, см.
задачу 10.14. Написать интеграл Бернулли для движения несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. 10.16 Пусть движение идеальной жидкости потенциально, т. е. о = йга11~р; внешние массовые силы имеют потенциал, .гг = игам сГ; движение баротропно, т. е. плотность р зависит 107 10. Уравнения движения и равновесия только от давления р. Показать, что уравнения Эйлера имеют интеграл Коши — Лагранжа — + — + Р— 11 =.г-(г), д~р ю дг 2 где Р— функция давления, У'(г) — произвольная функция.
10.1Т В произвольной ортогональной системе координат доказать формулы для компонент ускорения в переменных Эйлера 1 до в ь йддй 1 ь 2 йддьь а' = — + ва —. + о'в д" —" — -(о ) д" —., дг дху дх" 2 дх' ' по 1 суммирования нет. Векторы базиса системы наблюдателя е; от времени не зависят. 10.18 Написать уравнения Эйлера в цилиндрической и сферической системах координат. 10.19 В линейно-вязкой иэотропной жидкости тензоры напря- жений р и скоростей деформаций е связаны законом рб = — рд, + Л,Це)дб+ 2ре;;, где р — давление; д; — компоненты метрического тензора; 1г(е) = еыд — первый инвариант тензора скоростей деформ маций; Л и р — коэффициенты вязкости.
Считая, что Л = сопвс, р = сопа$, получить уравнения движения линейно-вязкой жидкости в форме уравнений Навье-Стокса 0и р — = ре' — айаг) р + (Л + р) игад с11 у н + рЬп. с1г 1 0 . 20 В линейно-упругой изотроп ной среде с малыми относительными перемещениями тенэоры напряжений р и малых деформаций я подчиняются закону Гука р;, = Лг1~(н)дб+ 2р,е;,, где А(6) = сыды, Л~ и рг — коэффициенты (параметры Ламе). Считая, что Л~ = сопвг, рг = сопв1, получить уравнения движе- ния линейно-упругой среды в форме уравнений Даме д гв р — = ре" + (Лг + рг) яга4 Йч иг+ ргЬгв, дгг где иг — вектор перемещения. 108 1лава '2.
Общие законы и уравнения 10.21 Из общих уравнений движения сплошной среды получить уравнение изменения кинетической энергии Е„„„ индивидуального объема Р сплошной среды — „теорему живых сил": лЕ ? ~(е) ? ~0) ° 2 '"" = — + —. Е„„„= / р — ИЪ; пг <й ш "" ",l 2 $' ,~А(е) г — = / р(Р в) Л'+ (р„п) ИЕ. к Е Здесь М')/й, ИАВ)/й — соответственно работа внешних и внутренних сил в единицу времени.
Чему равна плотность работы внутренних сил (предел отношения работы внутренних сил к массе частицы, когда частица стягивается в точку) для: а) произвольной сплошной среды? б) идеальной несжимаемой жидкости? 10.22 В точке М неограниченного пространства, заполненного покоящейся жидкостью, происходит взрыв — мгновенно выделяется и передается жидкости энергия Ее. Определить возникшее движение жидкости. Жидкость считать идеальной и не- сжимаемой; силой тяжести и веРис.
10.2, личиной давления на бесконечно больших расстояниях от места взрыва пренебречь. Считать, что вся энергия Еп расходуется на создание кинетической энергии жидкости и что в результате растекания жидкости от точки М возникает расширяющаяся полость — каверна с центром в М, внутри которой давление равно нулю. а) Поставить задачу математически — написать полную систему уравнений для определения и и р, граничные и начальные условия в удобной системе координат.
б) Найти радиус каверны и распределение и и р в момент 1. в) Чему равно максимальное значение давления в момент 1? Где оно достигается? 109 1 1. Применение интегральных законов г) Используя теорию размерностей, в частности П-теорему, см. главу 10. показать. что задача автомодельна, сводится к определению функций от одной комбинации г и 1 вида г?'1". Сохраняется ли автомодельность, если давление в бесконечности р, ф О? д) Рассмотреть задачу при р ф О. е) Возможны ли аналогичные постановки задач, если взрыв происходит не в точке, а на прямой илн на плоскости? 11.
Применение законов сохранения массы, количества движения, моментов количества движения в интегральной форме для определения сил и моментов, действующих на тела, движущиеся в жидкости (метод контрольных поверхностей) При изучении движения тел относительно жидкости часто интересуются не детальным распределением скорости и давления в жидкости, а лишь интегральными характеристиками движения, например, суммарными силой и моментом, действующими на тело со стороны жидкости. Ответ в ряде случаев можно получить, не обращаясь к дифференциальным уравнениям, а используя интегральную форму соответствующих законов, записанных для некоторого объема, выбранного удобным образом и называемого контрольным.
Его граница называется контрольной поверхностью. Для установившегося движения законы (7.1) — (7.3) сохранения массы, количества движения, момента количества движения для жидкости в объеме 1' можно записать в виде ре„йт = О, р,.„~ = ~ре~е~. ~р„н,, (11.2) р(г х в+ Й)е„ИЕ= р(г х 1е+ Ь) ИР+ (»' х р„+Я„)йет, (11.3) Глава 2. Общие законы н уравнения 110 о р — + — — У=С, 2 р (11.4) где У вЂ” потенциал массовых сил, С = сопв1 вдоль линии то- ка.
Интеграл Бернулли (11. 4) имеет место прн установившем~я движении идеальной несжимаемой жидкости в поле потенциаль- ных массовых сил, см. задачу 10.15. Задачи 11.1 а) Показать, что законы сохранения массы, количества движения, момента количества движения для установившихся движений записываются в виде (11.1) — (11.3). б) Написать в аналогичном виде закон сохранения энергии. где Š— граница объема У; о„— нормальная составляющая скорости среды на Е.
Входящие в эти соотношения интегралы по объему есть главный вектор и главный момент внешних массовых сил и пар, значения которых для любого объема Ъ' обычно известно. Например, если массовые силы — это силы тяжести, то ) рай~ есть просто вес жидкости в объеме Ъ'. Контрольный объем г' выбирается так, чтобы поверхность интересующих нас тел была частью его границы, и чтобы на остальной части его границы параметры среды были в достаточной степени известны. Силы и моменты, действующие на тела, представляются интегралами от' плотностей поверхностных сил и моментов по поверхности этих тел, поэтому они могут быть определены из (11.2) и (11.3), если интегралы по остальной части границы Е, входящие в (11.2) и (11.3), известны.
Такой метод нахождения величины суммарного воздействия жидкости на тела называется методом контрольных объемов или методом контрольных поверхностей. При решении ряда задач этого параграфа нужно использовать, кроме соотношений (11. 1) — (11.3), интеграл Бернулли, который для несжимаемой жидкости записывается в виде 11. Применение интегральных законов 111 11.2 Показать, что для любой замкнутой поверхности Е верны равенства г х ров йт = О, ропйт = О, где и — единичный вектор нормали к Е, а ро = сопя|. 11.3 В трубе, по которой течет жидкость, находятся неподвижные тела А и В. Пусть Е~ и Ез — поперечные сечения трубы далеко впереди и позади тел А и В; символом Т обозначим стенки трубы между сечениями Е~ и Ез, см.
рис. 11.1. Рнс. 11.1. Течение установившееся, обтекание тел безотрывное, массовых сил и пар, а также массовых притоков энергии нет. Все параметры потока в сечениях Е~ и Ез известны. а) Найти главные вектор сил 1я и момент М сил и пар, действующих со стороны жидкости на тела А и В и стенки трубы Т, а также приток энергии Иг от жидкости к А, В и Т. б) Как изменятся формулы для В, М и И', полученные в пункте а), если учесть силу тяжести? в) Упростить формулы для В, М и И~, полученные в пункте а), считал, что в сечениях Е~ и Ез.
1) моментные напряжения, внутренний момент количества движения жидкости и приток немеханических видов энергии отсутствуют; 2) напряжения сводятся к давлению, р„= — рв; 3) скорость е, плотность р и давление р постоянны по сечению. г) Верны ли полученные в пункте а) формулы для 1я, М и И' при наличии разрывов характеристик движения в жидкости? Глава 2. Общие законы н уравнения 11.4 а) На плоскую неограниченную твердую неподвижную стенку натекает и растекается по ней струя невесомой (1" = О) идеальной (р„= — рв) жидкости. Далеко от области встречи струи со стенкой площадь поперечного сечения струи равна 5, давление, скорость и плотность жидкости в струе постоянны по ее сечению и равны ро, нш ро, скорость во составляет со стенкой острый угол а.
Давление в окружающей среде равно ро. Жидкость несжимаемая. Определить дополнительную суммарную силу В, действующую на стенку при наличии струи. Имеется в виду, что В есть разность между силой, действующей на стенку при наличии струи, и силой, действующей на нее за счет внешнего давления ро при отсутствии струи. б) Рассмотреть зту задачу в случае плоской струи толщиной 1.
Кроме величины равнодействующей (на единицу ширины стенки), найти ее точку приложения О, а также скорости и толщины струй, растекающихся по стенке, на больших расстояниях от места встречи струи со стенкой. Рис. 11.2. в) Подсчитать скорость вертикальной водяной струи с поперечным сечением площади 0.01 мз, необходимую для того, чтобы удержать платформу со стоящим на ней клоуном. Вес клоуна с платформой равен 81 кгс. 11.5 а) Осесимметричная струя идеальной несжимаемой жидкости натекает на препятствие в виде соосного с ней конуса, см. рис..
11.3 а). Угол раствора конуса равен 2а. Далеко впереди 113 11. Применение интегральных законов конуса площадь поперечного сечения струи равна 5, скорость и давление одинаковы во всех точках сечения и равны в и р. Далеко от вершины конуса вниз по течению скорость и давление также выравниваются по сечению. Движение установившееся, давление в окружающей среде равно ро — сопв$, сила тяжести несущественна. Вычислить дополнительную, см. задачу 11г4 а), силу, действующую на конус со стороны струи.
Рис. 11.3. б) Найти силу воздействия струи на препятствие в виде полусферы, см. рис. 11.3 6). 11.6 По гладкой (без трения) горизонтальной поверхности движется тележка, на которои стоит закрытыи сосуд с налитой в него жидкостью, см. рис. 11.4. Общая масса жидкости, сосуда и тележки равна гп. Давление над свободной поверхностью жидкости в сосуде ры давление в окружающей среде ро ( ры В задней вертикальной стенке Рис. 11.4. ~осуда имеется отверстие, через которое выливается струя сечением Яо. Пренебрегая изменением массы т и считая жидкость идеальной и несжимаемой, вычислить ускорение, с которым движется тележка под действием вытекающей струи. Силу тяжести при вычислении скорости игтечения струи не учитывать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
