Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (1119114), страница 15
Текст из файла (страница 15)
9. Тензор напряжений 8.14 Поток называется плоскопараллельным, если компоненты скорости е и пя не зависят от декартовой координаты з и п, = О. Дан плоскопарзллельный поток с полем скорости х — у х,у пг = А, пя — — 2А —, и, = О, А = сопяФ, г4 ~ Я г4~ где х, у, х — декартовы координаты, г = ~/хз+ уз. Доказать, что это поле является полем скорости несжимаемой среды. 8.15 В некотором плоскопараллельном потоке выполнено и = — А —, А = сопв$, г = /хз-1-уз. у ,.г ' Найти во всем потоке компоненту пю если известно, что жид- кость несжимаема и е„— + О при у — + оо для всех х.
Показать, что течение потенциально всюду, кроме оси г = О; что потенциал яв- ляется гармонической функцией, а траектории — окружности. 8.16 Показать, что, если движение несжимаемой среды в одно- связной ограниченной области потенциально, т. е. в = 8га41 ~р, то поле скоростей и однозначно определяется значением нормальной составляющей скорости о„1г на границах Г рассматриваемой области, причем зависимость в от п„1г линейна.
Таким образом, поле скоростей в этом случае целиком определяется кинематикой и не зависит от действия внешних сил. О. Тензор напряжений При описании сил, действующих на поверхности, вводят плотность поверхностных сил — вектор напряжений р„как предел отношения поверхностной силы ЬР, действующей на площадке с нормалью а, к ее площади Ьо, когда Ьа стремится к нулю ЬР р„= 1пп а -4о Ьо Рис. 9.1, Глава 2.
Общие законы и уравнения Тензором напряжений Коши называют тензор р с компонентами рб такой, что вектор напряжений р„, с компонентами р'„, для площадки с нормалью в в рассматриваемой точке может быть вычислен по формуле р„=р пп, т. е. р'„=р' и . Ф пз (9.1) Существование такого тензора следует из закона сохранения количества движения. При лагранжевом описании среды часто вместо вектора напряжений р„используют вектор номинальных напряжений и„„связанный с р„формулой И„,йго = рвиа, (9. 2) где Иао и На, ппо и в — площади рассматриваемой индивидуальной элементарной площадки и нормали к ней до и после деформации. Таким образом, пг„, есть предел, при стягивании площадки в точку, отношения силы, действующей на площадке, к площади, которую она имела до деформации. Вводят также пгензор напряжений Пиалы — Кирхгой)а с компонентами но, определяемый соотношениями нщ = и поу, б (9.3) где по — компоненты вектора нормали к площадке в начальном состоянии.
Компоненты тензоров напряжений Коши и Пиолы— Кирхгоффа в лагранжевой системе координат связаны законом 1,, 1.„,. — л" е; = — р зеы (9.4) Ро Р дпл еь = еь + —, = (бь + ~ьв')е,, д~" (9.Б) где в — вектор перемещения. Если лагранжевы координаты суть просто начальные коор- динаты х, точек в пространственной декартовой системе (х;), то верны формулы н,ь(х) = — — р;.(х) и р,.Я = — . я',ь(х). ро дхь р дх, р дх, Ро дхь где ро и р — плотности, е, и еь — базисные векторы лагранжевой системы координат в начальном и деформированном состояниях, причем 9. Тензор напряжений Из закона сохранения момента количества движения при отсутствии внутренних моментов и моментных взаимодействий выводится симметрия тензора напряжений Коши Тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа в общем случае несимме- тричен.
Задачи 0.1 Ло горизонтальной шероховатой плоскости движется с постоянной скоростью брус. Вес бруса ранен 1 кгс, козффициент кулонова трения о плоскость равен 0.3, площадь основания бруса 0.02 мз. Нанти вектор напряжений на части плоскости, находящейся в данный момент под брусом. Рнс. 9.2. 0.2 Пусть р' — векторы напряжений на площадках, перпендикулярных осям х' декартовой системы координат. а) Найти выражения векторов р' через компоненты тензора напряжений Коши ро. б) Каков физический смысл компоненты рщ тензора напряжений в декартовой системе координат? в) Показать, что в произвольной системе координат векторы р*' напряжений на координатных площадках я* = сопн1 имеют вид р*' = рн е, / /д", суммирования по г нет. г) Выразить физические компоненты векторов р*' 1компоненты в единичном базисе е,/~ел ~) в цилиндрической системе координат через компоненты тензора напряжений рб.
Глава 2. Общие законы и уравнения 9.3 а) Вывести из закона сохранения количества движения формулу Коши (9.1), которая определяет тензор напряжений. б) Какие ограничения на распределение плотности внешних сил и на поле ускорений необходимы для получения формулы (9. 1)? 9.4 Из закона сохранения количества движения вывести формулу (9.3), определяющую тензор напряжений Пиолы — Кирх- гоффа. 9.5 а) Вывести формулы, связывающие компоненты тензора напряжений Коши с компонентами тензора Пиолы — Кирхгофа.
б) Каков механический смысл компонент х"', если начальная лагранжева система координат декартова? Э.б Из закона сохранения момента количества движения (см. соотношения (7.3), (7.8), а также 3 12) при условии, что внутренние моменты количества движения Й и моменты распределенных пар Ь, Я несущественны, вывести свойство симметрии тензора напряжений. 9.7 В некоторой точке тела в декартовой ортогональной системе координат тензор напряжений задан своими компонента- ми (в паскалях): 100 100 160 (ро) = 100 0 — 150 160 -150 -60 Для площадки с нормалью пг = 1/2, пг = 1/2, пз = 1/~/2, найти компоненты вектора р„, а также величины касательного р„, и нормального р„„напряжений.
Найти угол д между р„и и. 9.8 В точке М в декартовой системе координат компоненты тензора напряжений заданы матрицей (ро) = 0 5 0 Определить вектор напряжений р„на площадке с нормалью и = -ег — -ег+ -ез. 1 2 2 3 3 3 9. Тензор напряжений 9.9 Векторы напряжений р„и р„, действуют в точке М на площадках с нормалями в и пг. Показать, что если тензор напряжений симметричен, то выполнено р„„, = р„,„. 9.10 1лавной системой координат для тензора р называют декартову ортогональную систему координат, в которой Рб — — О при гфг. Его компоненты Рп = Рг Ргг = Рг, Рзз = Рз в этой системе называют главными компонентами, а оси главной системы — главными осями тензора р, см.
задачу 2.14. а) Показать, что на площадках, перпендикулярных главным осям тензора напряжений, векторы напряжений направлены по нормали. б) Пусть главные оси и главные компоненты тензора напряжений известны. Найти площадки, на которых величина нормального напряжения р„„экстремальна. Найти соответствующие значения величин (рн„)ья и (р„„)„,;„. 9.11 Поверхностью напряжений для некоторой точки М сплошной среды называется тензорная поверхность тензора напряжений р — такое геометрическое место точек, декартовы координаты х' которых удовлетворяют условию р; х'ху = сопв1, где р; — компоненты тензора р в точке М в системе (х').
Определить форму поверхности напряжений для точки среды, где компоненты тензора напряжений в ортогональной декартовой системе координат следующие: а) Ры = Ргг = Рзз = р, р;, = О при г ~,г' — всестороннее растяжение при р > О или сжатие при р < О; б) ры = р, остальные р; = Π— одноосное растяжение при р > О или сжатие при р < О; в) ргг = рг1 = т, остальные рб = Π— простой сдвиг; г) Ры = А Ргг = В Рзз = С, Рб = О при г ~,г' — напряженное состояние самого общего вида в главных осях тензора напряжений. Исследовать вид поверхности напряжений в зависимости от знаков А, В и С. 4 звс гзсв Главя 2.
Общие законы и уравнения 98 9.12 а) Показать, что нор- маль лг к поверхности напря- л .Р. жений, см. задачу 9.11, в точке л'" . поверхности с радиусом-вектором и параллельна вектору напряжений на площадке с нормалью п = и/~г), см. рис. 9.3. Рис. 9.3. б) Воспользовавшись геометри- ческими свойствами поверхности напряжений, показать, что при произвольном напряженном состоянии в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярных направления лп пг, ггз, таких, что Р, )! лп Р„, () лг, Рц (! лз.
в) Выписать компоненты р в базисе е = л . г) Показать, что если р„'й л для всех в, то тензорная поверхность есть сфера. Тензор р в этом случае называют шаровым. 9.18 В декартовой системе координат компоненты тензора напряжений в точке М таковы: Рп =12, Ргг=ргз=4, Ргз=8 Ргг=рзз=б. а) Определить главные компоненты н главные оси тензора напряжений. б) Разложить тензор напряжений на сумму шарового тензора и девиатора, см. задачу 2.12. 9.14 Симметричный тензор напряжений в некоторой точке в декартовой ортогональной системе координат имеет компонен- ты Рп = Ргг = Рзз = 9, Ргг = Ргз = Ргз = 1.
Здесь значения р;, отнесены к некоторому характерному значению напряжения ро и приведены в безразмерном виде. Определить главные компоненты тензора, возможные направления главных осей и написать преобразование, с помощью которого выполняется переход к главным осям. 9. Тензор напряжений 9.15 Компоненты тензора напряжений р в декартовой ортогональной системе координат (в') заданы формулами д, Зд1 р11 — — А(1 — яп — яп — ), 2 2 д . Зд1 Раз — — А(1+ в1п — Яп — ), 2 2У' Рнс.
9.4. д Зд р1з = рз1 — — Аяп — сов —, р1з = рз1 = рзз = рзг = рзз = 9 2 2 где 'У г = (и1)з+ (из)з, д = агс1н —, С = сопв~. С д А = сов-, у2яг 2 Это формулы для асимптотических, нри малых г и И ф я, выражений компонент тензора напряжений вблизи конца щели, растягиваемой симметричной нормальной нагрузкой, приложенной на ее берегах, в случае плоского напря- 9.16 а) Записать через главные компоненты тензора напряжений его следующие инварианты 11 = р'.,'ч 1з = 2Кр',,')' — р'.,:р',;), 1з = бе1 Ыь!! ,У1 = р".ч Уг = р.11рз.~ Уз = р.р'.ьр.й б) Показать, что для девиатора любого тензора инвариант 1з неположителен.
9.17 Получить формулы, выражающие величины нормального и касательного напряжений на площадке с нормалью и в точке М через главные компоненты тензора напряжений в этоп точке. Считать известными проекции вектора и на главные оси тензора напряжений. женного состояния. Найти главные значения р1, рз, рз тензора р и ориентацию его главных осей в пространстве, в частности, получить формулу для угла наклона сг главного направления, соответствующего наибольшему из р,, к оси т1. 100 Глава 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
