Т.П. Лукашенко - Конспект лекций по математическому анализу (1118361)
Текст из файла
.ð.ìÕËÁÛÅÎËÏëÏÎÓÅËÔ ÌÅËÉÊ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÁÎÁÌÉÚÕ÷ÅÓÎÁ 1999 ÇÏÄÁëÏÎÓÅËÔ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÌÉ ÓÔÕÄÅÎÔÙ ÇÒÕÙ 202:ðÅÒÞÉËÏ× áÌÅËÓÅÊ É ñÒÏÛÅ×ÉÞ ÷ÁÓÉÌØ.ìÅËÉÑ I9.II.99ìÅËÉÑ 1íÅÒÁ öÏÒÄÁÎÁïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1.1. âÒÕÓ ×Rn| ÜÔÏÖÕÔËÉ.åÓÌÉ ×ÓÅ Ik | ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ, ÔÏÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÂÒÕÓ.=nQk=1Ik , ÇÄÅ Ik | ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÏÍÅ- | ÏÔËÒÙÔÙÊ ÂÒÕÓ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ Ik | ÏÔÒÅÚËÉ, ÔÏ | | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï () ÜÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÂÒÕÓ. îÅ | ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï () ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÂÒÕÓ.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1 ) åÓÌÉ | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï É ~x0 2 ) ~x0 + ~ek 2 ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÈ ) Ik | ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (ÅÓÌÉ ~x0k 2 Ik , ÔÏ ÅÓÔØ É ~x0k + 2 Ik ).
åÓÌÉ ×ÓÅ Ik |ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ, Á ~x0 2 ) 9BÆk (~x0k ) Ik ; k = 1 : : : n. ÷ÚÑ× Æ = 1min, ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ BÆ (~x0 ) .6k6n2) åÓÌÉ | ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ) Rn n | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï É 8~x0 2 Rn n ÔÏÞËÁ ~x0 + ~ek 2 Rn n ÄÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÈ . ðÕÓÔØ ~x0 : ~x0k 2= Ik , Á ~x0i 2 Ii ÒÉ i 6=k ) ~x0k + 2 Ik ÄÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÈ ) Rn Ik | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÔÏ ÅÓÔØ Ik |ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË ) ÜÔÏ ÏÔÒÅÚÏË. ðÕÓÔØ | ÚÁÍËÎÕÔÙÊÂÒÕÓ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Rn n | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.
åÓÌÉ ~x0 2= ) 9k; 1 6 k 6 n : ~x0k 2= Ik .ÁË ËÁË Ik | ÏÔÒÅÚÏË, ÔÏìÅÍÍÁ 1.1. îÅÕÓÔÏÊ ÂÒÕÓÕÓÔÏÊ ÂÒÕÓ9Æ > 0: BÆ (~x0k ) Rn Ik ) BÆ (~x0 ) Rn n :(1)ìÅÍÍÁ 1.2. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ 2-È ÂÒÕÓÏ× | ÂÒÕÓ. òÁÚÎÏÓÔØ 2-È ÂÒÕÓÏ× ÅÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÂÏÌÅÅ ÞÅÍ2n ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÂÒÕÓÏ×.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.ÔÏ\P=nYk=11 ) åÓÌÉ =nQk=1Ik ; P =nQk=1Jk , ÇÄÅ Ik É Jk | ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÒÏÍÅÖÕÔËÉ,(Ik \ Jk ) | ÂÒÕÓ.(2)2) äÏËÁÖÅÍ Ï ÉÎÄÕËÉÉ.
ðÒÉ n = 1 ÒÁÚÎÏÓÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÒÏÍÅÖÕÔËÏ× I n J |ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ 2-È ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÒÏÍÅÖÕÔËÏ×. ðÕÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏÄÌÑ n = m. äÏËÁÖÅÍ ÅÇÏ ÄÌÑ n = m + 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍnP =nYk=1Ik nnYk=1Jk = (I1 n J1 ) mY+1k=2Ik[I1 (mY+1k=2Ik nmY+1k=2Jk )(3)åÓÌÉ ~x 2 n P ) 9k; 1 6 k 6 n : xk 2= JkåÓÌÉ k = 1 )~x 2 (I1 n J1 ) mY+1k=2Ik :(4)åÓÌÉ k 6= 1 )mY+1~x 2 I1 (k=2Ik nmY+1k=2Jk )(5)) × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å (??) ÉÍÅÅÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ . ÷ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ 2ìÅËÉÑ I9.II.99I R | ÜÔÏ ÄÌÉÎÁ I (ÔÏ ÅÓÔØ ÅÓÌÉ I | ÜÔÏ[a; b℄; (a; b); [a; b); (a; b℄, ÔÏ I = b a).ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ËÁË I ÉÌÉ jI j.nnQQíÅÒÁ ÂÒÕÓÁ =Ik × R | ÜÔÏ = Ik .ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1.2.
íÅÒÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÁk=1k=1I ÅÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÒÏÍÅÖÕÔËÏ× Ik ; k =mP1 : : : m, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ (ÉÌÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ËÏÎÁÍÉ) ) I =Ik .ìÅÍÍÁ 1.3. åÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏËk=1räÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ fai gi=0 | ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÎÏ× Ik ; k = 1 : : : m.
åÓÌÉ r = 0 ) I = 0 É Ik = 0; k = 1 : : : m ) ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ. åÓÌÉr > 0 ) a0 É ar | ËÏÎÙ I; I = ar a0 . ÏÞËÉ ai É ai+1 ; 0 6 i < r, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÎÁÍÉÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ Ik )I = arao =r 1Xi=0(ai + 1 ai ) =mXk=1Ik :(6) × Rn ÅÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ (ÅÒÅÓÅËÁÀmPÝÉÈÓÑ ÇÒÁÎÉÁÍÉ) ÂÒÕÓÏ× Pk ; k = 1 : : : m ) =PkìÅÍÍÁ 1.4.
åÓÌÉ ÂÒÕÓk=1äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.ðÕÓÔØ =nQl=1Il ; P =nQl=1Ilk ; k = 1 : : : m. éÍÅÅÍ, ÞÔÏ Il =mSk=1Ilk ; l = 1 : : : n(ÇÄÅ É Pk 6= ;). ðÕÓÔØ fali g | ËÏÎÙ ×ÓÅÈ Ilk (É, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, Il ), ÕÏÒÑÄÏÞÉÍ ÉÈ × ÏÒÑÄËÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ É ÕÓÔØ Jlp | ÒÏÍÅÖÕÔÏË, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ali ÉÌÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (ali ; ali+1 ), ÇÄÅSPali 2 Il ) Il = Jlp É Ilk Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑÍÉ Jlp . éÍÅÅÍ (1) Il = (1) Jlpp(1) Ilk(ÉÚ ìÅÍÍÙ ??) É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ =nYl=1(1) Il =áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ: Pk =n XY(l=1 plPQn J pl Pkl=1 l =XnY(p1 :::pn ) l=1Jlpl =P=(1) Jlp .pp : Jl Ilk(1) Jlpl ) =nQl=1mXXnY(p1 :::pn ) l=1Jlpl ÔÏ ÅÓÔØ JlplXnYn plk=1 QJ Pk l=1l=1 l3péÍÅÅÍ:(1) Jlpl =XnY(p1 :::pn ) l=1Jlpl(7) Il )Jlpl =mXk=1Pk(8)ìÅËÉÑ II10.II.99ìÅËÉÑ 2 | ÂÒÕÓ ) 8" > 0 00 É 0 > "; 00 < + ".ìÅÍÍÁ 2.1.
ðÕÓÔØ9 ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÂÒÕÓ 0 É ÏÔËÒÙÔÙÊ ÂÒÕÓ 00 : 0 nQåÓÌÉ = 0 ) × ËÁÞÅÓÔ×Å 0 ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ;. åÓÌÉ > 0; =Ik ,ÇÄÅk=1Ik ÉÍÅÅÔ ËÏÎÙ ak < bk . ðÏÌÏÖÉÍäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.nY0 = [ak + Æ; bkÆ℄; 0 ; Æ > 0; 0k=1! :(1)Æ!+0ÉnY00 = (akÆ; bk + Æ) ) 00 ; Æ > 0; 00k=1! ;(2)Æ!+0ÇÄÅ ak 6 bk .ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2.1. ðÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÂÒÕÓÏ×.ìÅÍÍÁ 2.2. ìÀÂÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÂßÅÄÉ-ÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÂÒÕÓÏ×.åÓÌÉ ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÏÄÉÎ ÂÒÕÓ, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ. ðÕÓÔØÏÎÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÔÓ× | ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ m ÂÒÕÓÏ×.
äÏËÁÖÅÍ ÄÌÑ m + 1 ÂÒÕÓÁ.éÍÅÅÍ:äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.P=m[+1k=1k =m[k=1k [ (m+1 nm[k=1k ) =m[k [ (m\k|=1{z } |k=1(1)(m+1 n k )){z(2)(3)}éÍÅÅÍ, ÞÔÏ (1) { ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÂÒÕÓÏ×, Á (2) { ÂÒÕÓ Ï ìÅÍÍÅ ??ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2.2. íÅÒÁ ÒÏÓÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á P | ÜÔÏ ÓÕÍÍÁ ÍÅÒ ÂÒÕÓÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÅÓÔØ P. ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ, ËÁË P.ìÅÍÍÁ 2.3.P | ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï É P =ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÂÒÕÓÏ×mXk=1k =lXk=1mSk=1)k , P =lSk=10 l0k , ÇÄÅ fk gmk=1 ; fk gk=1 |0k :(4)äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.P=P =m [l[(k \ 0i ) =k=1 i=1m XlXk=1 i=1m[k =k=1mX(k \ 0i ) =k=1l[i=1k =0i ;(5)lXi=10i :(??0 )ìÅÍÍÁ 2.4. ëÏÎÅÞÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ (ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ) ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅ-ÓÔ×Ï; ÒÁÚÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.4ìÅËÉÑ II10.II.99äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.P=m[k=1k ; P0 =l[i=10i : P n P0 =m[k=1(k nìÅÍÍÁ 2.5.
åÓÌÉ ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï) P =l[i=1P=mP0i ) =mSk=1Pk . åÓÌÉ Pk ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ák=1ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É P P0 ) P 6 P0 .m \l[((k n 0i ) )(6)|{z }k=1 i=1 ÒÏÓÔÏÅ ÍÎ-×ÏPk , ÇÄÅ Pk | ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ) P 6mPk=1Pk . åÓÌÉ P É P0 ÒÏÓÔÙÅ(÷ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔØ) åÓÌÉ m = 1 | ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ. åÓÌÉ ÏÎÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑm = l, ÔÏ ÄÏËÁÖÅÍ ÄÌÑ m = l + 1.2)äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.P=l[+1Pk =k=1l[P = k=1l[k=1Pkl[k=1Pk + (Pl+1 n(Pl+1 nl[k=1l[k=1Pk ) 6Pk );lXk=1(7)Pk + (Pl+1l[k=1É Ó×ÏÄÉÍ Ë 3)3)P0 = P [ (P0 n P) ) P0 = P + (P0 n P) > PïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2.3. ÷ÅÒÈÎÑÑ ÍÅÒÁ öÏÒÄÁÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Áinf P (ÇÄÅ P { ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï).PAîÉÖÎÑÑ ÍÅÒÁ öÏÒÄÁÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A | ÜÔÏõÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2.1.ÓÔ×Á.)(??0 )Pk )A | ÜÔÏ A = A = sup P (ÇÄÅ P { ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï)PAäÌÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A : A < 1 (ÏËÁ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØ- A = A ) A ÉÚÍÅÒÉÍÏ Ï öÏÒÄÁÎÕ É A = A = A.äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÔÓ×Á A : A 6 A.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2.4. åÓÌÉìÅÍÍÁ 2.6.åÓÌÉ p A P ) p 6 P.sup p = A 6 P É A 6 A = inf P:P APAäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.(8)A { ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, D { Ó×ÑÚÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÇÒÁÎÉÞÎÙÅA ) D ×ÈÏÄÉÔ ÌÉÂÏ ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÞÁÓÔØ A, ÌÉÂÏ ×Ï ×ÎÅÛÎÀÀ ÞÁÓÔØ AìÅÍÍÁ 2.7.
ðÕÓÔØÔÏÞÅËäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ A× { ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÞÁÓÔØ,(D \ A× ), ÇÄÅ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÏÔËÒÙÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × DÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ D, ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÕÓÔÏ.Á A× { ×ÎÅÛÎÑÑ ÞÁÓÔØ. D = (D \ A× ) [ËÁË × ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. îÏ ÏA { ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅ: 1) A { ÉÚÍÅÒÉÍÏ () ÄÌÑ 8" > 0 9 ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á P É p; p A P: P p < "; 2) A { ÉÚÍÅÒÉÍÏ () ÇÒÁÎÉÁ A ÉÍÅÅÔ ÍÅÒÕ 0 Ï öÏÒÄÁÎÕ, ÔÏ ÅÓÔØA = 0.ÅÏÒÅÍÁ 2.1 (ËÒÉÔÅÒÉÊ ÉÚÍÅÒÉÍÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×). ðÕÓÔØÓÔ×Ï5ìÅËÉÑ II10.II.99äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.p A P:1 )åÓÌÉ A { ÉÚÍÅÒÉÍÏ, ÔÏ ÅÓÔØ A = A ) 8" > 0 9P; p { ÒÏÓÔÙÅ É"P < A + ;2"p > A:2""0 6 P p < A +( A) = ":22åÓÌÉ 8" > 0 9P; p { ÒÏÓÔÙÅ, P A p : P p < " ) ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Áp 6 A 6 A 6 P(9)(??0 )(??00 )(10)ÉÍÅÅÍ A A < " ) A = A:(11)2)ðÕÓÔØ A { ÉÚÍÅÒÉÍÏ.
äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÅÒÁ ÇÒÁÎÉ A = 0: 8" > 0 9P; p { ÒÏÓÔÙÅÍÎÏÖÅÓÔ×Á, P A p : P p < ". íÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ P { ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÂÒÕÓÏ×,ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á p { ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÂÒÕÓÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ ÏÔËÒÙÔÏÅÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. Rn nP { ÏÔËÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÚ ÔÏÞÅË á ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÎÅÛÎÉÈ ÔÏÞÅË A ) PÓÏÄÅÒÖÉÔ A [ A. p { ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, p A ) ×ÓÅ ÔÏÞËÉ p { ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÔÏÞËÉA ) P n p A: (P n p)P p < " ) A = 0.ðÕÓÔØ A { ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï É A = 0: 8" > 0 9 ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P A; P < ". 9 A ÂÒÕÓ, nP { ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ËÏÎÅÞÎÏÅmSÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅk ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÂÒÕÓÏ× k . ëÁÖÄÙÊ ÂÒÕÓ k ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔk=1ÌÉÂÏ ×ÎÅÛÎÅÊ ÞÁÓÔÉ A (ÉÚ ìÅÍÍÙ ??). ðÕÓÔØ p =(Pn p) = P < ".6Sk Ak : P = p [ P; p A P: P p =ìÅËÉÑ III16.II.99ìÅËÉÑ 3ìÅÍÍÁ 3.1.
ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÅÒÙ 0 Ï öÏÒÄÁÎÕ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÅÒÙ 0 ÏöÏÒÄÁÎÕ. ëÏÎÅÞÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÅÒÙ 0 Ï öÏÒÄÁÎÕ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÅÒÙ 0Ï öÏÒÄÁÎÕ. E É E = 0 ) 0 6 F 6 F = PinfP = E = 0.E"Ek ; Ek = 0; k = 1 : : : m ) ÄÌÑ 8" > 0 9Pk E : Pk < ) F mäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.mSåÓÌÉ FåÓÌÉ F =k=1ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.ÅÏÒÅÍÁ 3.1. åÓÌÉÏ öÏÒÄÁÎÕ.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.mSk=1Pk |A É B ÉÚÍÅÒÉÍÙ Ï öÏÒÄÁÎÕ ) A [ B; A \ B; AnB É B nA ÉÚÍÅÒÉÍÙ(A [ B ) = 0. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ (A [ B ) A [ B; (a \ B ) A [ B É (A n B ) A [ B:(1)1) (A [ B ) A [ B : ÅÓÌÉ ~x { ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ A ÉÌÉ B ) ~x { ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁA [ B .
åÓÌÉ ~x { ×ÎÅÛÎÑÑ ÔÏÞËÁ A É ×ÎÅÛÎÑÑ ÔÏÞËÁ B ) ~x { ×ÎÅÛÎÑÑ ÔÏÞËÁ A [ B (ÅÓÌÉ9B"1 (~x) Rn nA É 9B"2 (~x) Rn nB ) ×ÚÑ× " = minf"1; "2 g ÉÍÅÅÍ B" (~x) (Rn nB ) [ (Rn nA) =Rn n (A [ B )).2) (A \ B ) A [ B : ÅÓÌÉ ~x { ×ÎÅÛÎÑÑ ÔÏÞËÁ A ÉÌÉ ×ÎÅÛÎÑÑ ÔÏÞËÁ B ) ~x { ×ÎÅÛÎÑÑÔÏÞËÁ A \ B . åÓÌÉ ~x { ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ A É ×ÎÅÛÎÑÑ ÔÏÞËÁ B ) ~x { ×ÎÕÔÒÅÎÎÑ ÔÏÞËÁA \ B (ÅÓÌÉ 9B"1 (~x A É 9B"2 (~x) B ) ×ÚÑ× " = minf"1 ; "2g ÉÍÅÅÍ B" (~x) A \ B ).3) (A n B ) A [ B : ÅÓÌÉ ~x { ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ A ÉÌÉ ×ÎÅÛÎÑÑ ÔÏÞËÁ B ) ~x {×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ AnB (ÅÓÌÉ 9B"1 (~x) A É 9B"2 (~x) Rn nB ) ×ÚÑ× " = minf"1 ; "2 g ÉÍÅÅÍB" (~x) A \ (Rn n B ) = A n B ).A É B ÉÚÍÅÒÉÍÙ É A \ B = ; ) (A [ B ) = A + B .äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
÷ÏÚØÍÅÍ " > 0: 9p1 ; P1 { ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, p1 A P1 :p1 > A "; P1 < A + ":ìÅÍÍÁ 3.2. åÓÌÉ(2)9p2 ; P2 { ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔÙ×, p2 B P2 :p2 > B"; P2 < B + "(3)) p1 [ p2 A [ B P1 [ P2 :(p1 [ p2 ) 6 p1 + p2 > A + B 2"(P1 [ P2 ) 6 P1 + P2 < A + B + 2"A + B 2" < (A [ B ) 6 (A [ B ) < A + B + 2" ) (A [ B ) = (A [ B ) = A + BìÅÍÍÁ 3.3. åÓÌÉ(4)(??0 )(??00 )(??000 )A É B ÉÚÍÅÒÉÍÙ ) A + B = (A [ B ) + (A \ B )äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.A = (A n B ) + (A \ B );B = (B n A) + (A \ B ) )(A [ B ) = (A n B ) + (B n A) + (A \ B ):7(5)(??0 )(??00 )ìÅËÉÑ III16.II.99= 1 : : : m, ÉÚÍÅÒÉÍÙ, É ÄÌÑ 8i 6= j; 1 6 i 6 m; 1 6 j 6 m : (Ai \AkÅÏÒÅÍÁ 3.2. åÓÌÉ Ak ; kmmSPAj ) = 0 ) k=1Ak =k=1ðÒÉ m = 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏÒÉ m = l. äÏËÁÖÅÍ ÄÌÑ m = l + 1:äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.l[+1Ak = k=1lXl[k=1Ak + (Al+1 nAk + Al+1 (Al+1 \k=1l+1Xk=1Akl[l[k=1l[(6)Ak ) =(??0 )Ak :(??00 )k=1l+1X(Al+1 \ Ak ) =k=1Ak ) =k=1(Ai \ Aj ) = 0 () Ai \ Aj Ai \ Aj : Ai \ Aj ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË Ai [ AjÉÚ ÉÚ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÏÞÅË ÏÂÏÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. åÓÌÉ x 2 Ai [ Aj É x 2= Ai [ Aj ) ~x { ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÔÏÞËÁ ÏÂÏÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× É 9B" (~x) Ai \ Aj ; 9 ÂÒÕÓ B" (~x); > 0 ) (Ai \ Aj ) >ðÒÉÍÅÒ 3.1.
> 0:8ìÅËÉÑ IV23.II.99ìÅËÉÑ 4ëÒÁÔÎÙÅ éÎÔÅÇÒÁÌÙA | ÉÚÍÅÒÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. òÁÚÂÉÅÎÉÅ T ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏÉÚÍÅÒÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÌÉÛØ Ï ÇÒÁÎÉÁÍ ÉïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4.1. ðÕÓÔØ8m ÎÁÂÏÒ fAi gmi=1 mSPAi = A (ÉÚ ÅÏÒÅÍÙ ??).i=1m÷ÙÂÒÁ× ÔÏÞËÉ i 2 A; i = 1 : : : m; = fi gmi=1 ÏÌÕÞÉÍ (T; ) = fAi ; i gi=1 | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ.mPåÓÌÉ f | ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ A ÆÕÎËÉÑ, ÔÏ (f; T ) =f (k )Ak { ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ.k=1i=1Ai = A Éf ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ Ï òÉÍÁÎÕ (Ï íÁË-ûÅÊÎÕ, Ï ëÕÒ×ÅÊÌÀèÅÎÓÔÏËÕ) ÎÁ A É I { Å£ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÅÓÌÉ 8 > 0 9Æ > 0 (ÆÕÎËÉÑ Æ (x) > 0 ÎÁ A) : 8ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ (T; ) Ó i 2 Ai É dAi = sup (x; y ) < Æx;y2AiïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
