Т.П. Лукашенко - Конспект лекций по математическому анализу (1118361), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ÏÔÅÎÉÁÌÁ × ÏÂÌÁÓÔÉÔÏÒÎÏÇÏ ÏÌÑ F~ Ï 8 ÇÌÁÄËÏÊ (ËÕÓÏÞÎÏ-ÇÌÁÄËÏÊ) ËÒÉ×ÏÊËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ.óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 16.2. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ÏÔÅÎÉÁÌÁ × ÏÂÌÁÓÔÉÔÏÒÎÏÇÏ ÏÌÑF~ Ï8 ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ G ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÒÁ×ÅÎ 0.G ×ÅË-G ÚÁÄÁÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ F~ (~x) É ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ F~ Ï 8 ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ G ÌÏÍÁÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔÎÁÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË ÜÔÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ ) F~ (~x) | ÏÔÅÎÉÁÌØÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ, ÉR~x× ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÔÅÎÉÁÌÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ F~ d~s, ÇÄÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï 8ÅÏÒÅÍÁ 16.2. ðÕÓÔØ × ÏÂÌÁÓÔÉÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ~x0G ÌÏÍÁÎÏÊ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ ~x0 2 G É Ó ËÏÎÏÍ × ÔÏÞËÅ ~x 2 G.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.~xZ+t~ek~x0F~ d~sR~xîÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ x k F~ d~s = F~k (~x).
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÚÎÏÓÔØ~x0Z~x~x0F~ d~s =~xZ+t~ek(~x(~x + s~ek ); ~ek )d~s =ZtF~k (~x + s~ek )d~s;0~xlim1t!1 t38Zt0(3)Fk (~x + s~ek )d~s = Fk (~x):ìÅËÉÑ XVI20.IV.99úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÅÏÒÅÍÅ 2 ÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÌÉÛØ ÏÔ ÎÁ-ÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË ÌÏÍÁÎÏÊ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï 8 ÚÁRRÍËÎÕÔÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ ÒÁ×ÅÎ 0 ( F~ d~sF~ d~s = 0).12ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 16.2.
ïÂÌÁÓÔØ G Rn | ÏÄÎÏÚÓ×ÑÚÎÁÑ, ÅÓÌÉ Å£ ÇÒÁÎÉÁ G Ó×ÑÚÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.G Rn ÚÁÄÁÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ×ÅËÔÏÒ~ÎÏÅ ÏÌÅ F (~x) = (P (~x); Q(~x)) ) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ, Á × ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÓÔÉ G É ÄÏÓÔÁÔÏÞQÎÙÍ, ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÏÔÅÎÉÁÌØÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÌÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Py = x ÎÁ G.ÅÏÒÅÍÁ 16.3. ðÕÓÔØ × ÏÂÌÁÓÔÉäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.U1 ) åÓÌÉ U | ÏÔÅÎÉÁÌ F~ , ÔÏ ÅÓÔØ Ux = P; y = Q )PUUQ===:y yx xy x(4)òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÔÏÒÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØÀ ÅÒ×ÙÈ ÞÁÓÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ.2) ðÕÓÔØ L | ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÎÔÕÒ, L G ) ÉÚ-ÚÁ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÓÔÉ G ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ L ÔÁËÖÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ G )ZLF~ d~s =Z Z×ÎÕÔÒ:LQ P dxdy =x yZ Z0dxdy = 0:(5)×ÎÕÔÒ:LìÀÂÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÊ ÌÏÍÁÎÁÑ ÒÁÚÂÉÔÁÑ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÏÓÔÙÈ .
. . (!!!) É ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏÕÞÁÓÔËÏ× ËÒÉ×ÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ Ä×ÁÖÄÙ × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ.G Rn ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÒÁÎÉÁ ËÏÔÏÒÏÊ | ÒÏÓÔÏÊ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄ~ËÉÊ ËÏÎÔÕÒ. ðÕÓÔØ ~x(t) | ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ G [ G × R3 Ó ÍÁÔÒÉÅÊ ñËÏÂÉ ÒÁÎÇÁ 2. ÏÇÄÁ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, Á ÉÎÏÇÄÁ ÅÇÏÏÂÒÁÚ × R3 | ÒÏÓÔÏÊ ËÕÓÏË Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚ G × R3 | ÇÒÁÎÉÁ ÒÏÓÔÏÇÏ ËÕÓËÁ Ï-ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 16.3. ðÕÓÔØ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ.
üÔÏ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ × R3 .åÓÌÉ D R2 | ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÒÁÎÉÁ ËÏÔÏÒÏÊ D | ÒÏÓÔÏÊ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ËÏÎÔÕÒ É~t(~ ) ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ D [ D ÎÁ G [ GÓ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÑËÏÂÉÁÎÏÍ, ÔÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ~x(~t(~ )) D [ D × R3 ÚÁÄÁÅÔÔÏÔ ÖÅ ÒÏÓÔÏÊ ËÕÓÏË Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ.39ìÅËÉÑ XVII23.IV.99ðÕÓÔØ ~x(~t); ~t 2 G = G [ G [ R2 .R2 ,ìÅËÉÑ 17ÚÁÄÁÅÔ ÒÏÓÔÕÀ ÇÌÁÄËÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ (ËÕÓÏË) = × ÔÏÞËÅ ~x0 2 (ÉÌÉ ~x0 2 ) | ÍÎÏÖÅ0~x ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ×ÅËÔÏÒÏ×ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 17.1. ëÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ ËÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ×~x : (~x~x t x x x ~x x x x = ( 1 ; 2 ; 3 ) ;= ( 1 ; 2 ; 3 ) ; ~x(t0 ) = ~x0 :t1 t1 t1 ~t0 t2 ~t0t2 t2 t2 ~t0~t01(1)~t( ) | ËÒÉ×ÁÑ × R2 , Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÔÒÅÚËÁ I × R2 ,ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ 0 ; ~t( 0 ) = ~t0 ) ~x(~t( )) | ËÒÉ×ÁÑ × R3 , ÒÉ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÊd ~x(~t( ))ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ 0 ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É Å£ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ d0ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ë Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÅ ~x0 = ~x(~t0 ) ÓÄ×ÉÎÕÔÙÍ ÎÁ~x0 .ÅÏÒÅÍÁ 17.1.
ðÕÓÔØïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 17.2.~x t2 :+ t2 ~t0 0÷ÅËÔÏÒ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÅÎ × ÔÏÞËÅ ~x0 2 | ÜÔÏ ×ÅËÔÏÒ ~n (ÉÌÉ ~n ~x0 ),d ~x(~t( )) = ~x äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. dt1 ~t0t1 0~x ~x .ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× t1 t22ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ Ë ×ÅËÔÏÒÁÍ ~x É ~y × R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒN~ =x2 y2ïÎ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÅÎ, ÔÁË ËÁË~ ~x) =(N;x3 ~e + x3 x1 ~e + x1 x2 ~e = xy1 xy2 xy3 = [~x; ~y℄:y3 1 y3 y1 2 y1 y2 3 ~e1 ~e2 ~e3 123x1 y1x1(2)x1 x2 x3 x2 x3 ~ ~y) = y1 y2 y3 = 0:y2 y3 = 0; (N; y1 y2 y3 x2 x3 (3)éÍÅÅÍ, ÞÔÏ k[~x; ~y℄k = k~xk k~yk sin(~x; ~y). åÓÌÉ ~x ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÅÎ ~y ) k~[; ~y℄k = k~xk k~yk.ïÒÅÄÅÌÉÍ 3 ×ÅËÔÏÒÁ: ~t0 ; ~t0 + 1~e1 ; ~t0 + 2~e2 .
ÏÇÄÁ~x(~t0 ) = ~x0 ; ~x(~t0 + 1~e1 ) = ~x0 +hi~x~x + o(1 ); ~x(~t0 + 2~e2 ) = ~x0 + 2 + o(2 ): (4)t1 1t2~x ; ~x óÞÉÔÁÅÍ t1 t2 ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÏÍ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ ÌÏÝÁÄÉ É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÌÏÝÁÄØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ËÁËjjZ Z ~[ x ;= tG1~x ℄ dt dt =t2 1 2Z Z ~[ x ; t=vZ Z uu x1t t1 x3 t1G1GåÓÌÉ x1 = t1 ; x2 = t2 ; x3 = '(t1 ; t2 ) ) jj =~x ℄ dt dtt2 1 2RRpG40x1 2 x2 tt x23 + x13t2t1x2 2 x1 tt x23 + x12t2t11 + ('0t1 )2 + ('0t2 )2 dt1 dt2 .x1 2t x22 dt1 dt2 :t2(5)ìÅËÉÑ XVII23.IV.99ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÎÙÊ éÎÔÅÇÒÁÌ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁðÕÓÔØ ~x(~t); ~t 2 G R2 , ÚÁÄÁÀÝÅÅ ÒÏÓÔÕÀ ÇÌÁÄËÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ R3 .
îÁ ÏÒÅÄÅÌÉÍÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÚÎÁÞÎÕÀ ÆÕÎËÉÀ f (~x). () |ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 17.3. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ f Ï Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÜÔÏZ ZfdS =Z ZG ~x ~xf (~x(~t)) ;t1 t2 dt1 dt2 :(6)ó×ÏÊÓÔ×ÁR R Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁ:1) 1dS = jj | ÌÏÝÁÄØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ .2) åÓÌÉ f ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÉÑ (× R3 ) ÎÁ ÒÏÓÔÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ) Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ f Ï ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.3) ðÒÉ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÚÁÍÅÎÁÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ (ËÁË ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÔÁË É ÉÚÍÅÎÑÀÝÉÈ) ÉÎÔÅÇÒÁÌ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 3 ) ~t(~ ) | ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ÏÔÏRR ~x ~x ~ÂÒÁÖÅÎÉÅ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÑËÏÂÉÁÎÏÍ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÎÁ G.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ f (~x(t)) [ t1 ; t2 ℄ dt1 dt2 =RRDG~x ; ~x ℄f (~x(~t( ))) [ t1 t2 dt1 dt2 . éÍÅÅÍ, ÞÔÏ~x ~x t1 ~x t2 ~x ~x t1 ~x t2=+;=+;1 t1 1 t2 1 2 t1 2 t2 2 t1~x ~x~x ~x t1 t2~x ~x t1 t2 ;=;;= t211 2t1 t2 1 2t1 t2 2 1 141t1 2 ~x ; ~x :t22 t1 t2(7)ìÅËÉÑ XVIII4.V.99ìÅËÉÑ 18ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÎÙÊ éÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ (× R3 ) | ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÁ, ÅÓÌÉ ÎÁÎÅÊ ÚÁÄÁÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÌÅ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÎÏÒÍÁÌÅÊ ~n(~x). üÔÏ ÏÌÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.1. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ (ÒÏÓÔÁÑ ÇÌÁÄËÁÑ)hi~x ~xt1 ; t2hi ; ~x ~x t1 ; t2 (1)ÉÌÉ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅÇÏ ÚÎÁËÏÍ.
ÚÁÄÁÎÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ F~ (~x) (ÉÚ R3 × R3 ). ÏÇÄÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ F~ Ï ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ | ÜÔÏïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.2. ðÕÓÔØ ÎÁZ ZZ ZF~ dS~ =(F~ (~x(~t)); ~n(~x(~t)))dt1 dt2 :(2)G ËÕÓÏË ÇÌÁÄËÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × R3 , ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ~~x(t). G | ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ G Ó ÇÒÁÎÉÅÊ G | ÒÏÓÔÙÍ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÍ ËÏÎÔÕÒÏÍ. n ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ×ÅËÔÏÒÏÅ ÏÌÅ F~ (~x) (ÉÚ R3 × R3 ).
ðÕÓÔØ ÎÁ ÚÁÄÁÎÏðÕÓÔØ ÎÁ = ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÎÏÒÍÁÌÅÊ ~n(~x). ÏÇÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ F~ Ï (ÏÔÏËF~ ÞÅÒÅÚ ) | ÜÔÏïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.3. ðÕÓÔØZ ZGåÓÌÉ(F~ (~x(~t)); ~n(~x(~t)))kN~ (~x(~t))kd~t; ÇÄÅ N~ (~x(~t)) = [~x0t1 (~t); ~x0t2 (~t)℄:(3)~V en(~x(~t)) = kNN~ ((~~xx((~~tt))))k , ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁZ Z!F~ dS = F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy ;ÔÁË ËÁËZ Z(4)Z Z!F~ dS =G=Z ZG(F~ (~x(~t)); ~n(~x(~t)))d~t x2t1F1 x t22 x3x3 tt x13 + F2 x13t2t2 x1x1 tt x11 + F3 x11t2t2x2 t x12 dt1 dt2t2(5)| ÑËÏÂÉÁÎÙ ÚÁÍÅÎÙ ÂÅÚ ÍÏÄÕÌÅÊ.ó×ÏÊÓÔ×ÁR R Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ:1) ~n(~x)dS = jj | ÌÏÝÁÄØ .2) åÓÌÉ F~ (~x) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ÎÁ ) ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÉÚÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ òÉÍÁÎÁ).3) ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÏÒÉÅÎÔÁÉÉ (ÏÌÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÎÏÒÍÁÌÅÊ ~n(~x)) ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË.~ (~x(~t))äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
åÓÌÉ ~n(~x(~t)) = kNN~~ x(~t)k ) ÒÉ ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÚÁÍÅÎÁÈ, ÎÅ ÍÅÎÑÀÝÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, Á ÒÉ ÍÅÎÑÀÝÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ | ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË(ÔÁË ËÁË ÏÌÅ ÎÏÒÍÁÌÅÊ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË).42ìÅËÉÑ XVIII4.V.99 É 0 (ÏÂÅ Ó ÇÒÁÎÉÁÍÉ) | ÇÌÁÄËÉÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × R3 . É 0 | ÓÏÓÅÄÎÉÅ, ÅÓÌÉ \ 0 = \ 0 (ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ Ï ÇÒÁÎÉÅ) | ÄÕÇÁ ËÕÓÏÞÎÏïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.4. ðÕÓÔØÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ (ÉÌÉ Ï ÎÅÕÓÔÏÍÕ ÎÅÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÍÕ Ó×ÑÚÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ × R3 ).ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.5.
îÁÂÏÒ ÇÌÁÄËÉÚ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ fi g (× R3 ) | Ó×ÑÚÁÎÎÙÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ8i ; j ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÏÞËÁ ÇÌÁÄËÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó i É ËÏÎÞÁÑ jÉ 8 Ä×Å Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ × ÅÏÞËÅ | ÓÏÓÅÄÎÉÅ.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.6. ëÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ (× R3 ) | ÜÔÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÇÌÁÄËÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ fi g ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ 8 Ä×Å Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÎÁÂÏÒÁ ÉÌÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ,ÉÌÉ ÓÏÓÅÄÎÉÅ.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.7. éÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ | ÜÔÏRRfdS def=PR Ri ifdS . ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ ÏÌÅÍ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÎÏÒ~ (~x(~t))N~ÍÁÌÅÊ ~n(~x). åÓÌÉ ~n(~x(t)) = kN~ (~x(~t))k , ÔÏ ÏÒÉÅÎÔÁÉÑ ÇÒÁÎÉÙ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÏÒÉÅÎÔÁÉÉ G ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ~x(~t) (ÔÏ ÅÓÔØ ÏÒÑÄÏË "ÏÂÈÏÄÁ" ÔÏÞÅË ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÏÒÑÄËÁ~ (~x(~t))"ÏÂÈÏÄÁ" G ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ~x(~t)).
åÓÌÉ ~n(~x(~t)) = kNN~ (~x(~t))k , ÔÏ ÏÒÉÅÎÔÁÉÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÁ ÏÒÉÅÎÔÁÉÉ, ÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÉÚ ÏÒÉÅÎÔÁÉÉ G ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ~x(~t). ä×Å ÓÏÓÅÄÎÉÅïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.8. ðÕÓÔØ ÇÌÁÄËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØÇÌÁÄËÉÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÏÒÉÅÎÔÁÉÑ ÉÈ ÏÂÝÅÊ ÞÁÓÔÉ ÇÒÁÎÉÙ | ÄÕÇÉ ËÒÉ×ÏÊ | ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙ.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.9. ëÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ | ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÁ, ÅÓÌÉ Å£ ÍÏÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ (ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÄÁÔØ ÎÁ ×ÓÅÈ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅ£ ÇÌÁÄËÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ,ÔÁË ÞÔÏ ÄÌÑ 8 Ä×ÕÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÏÒÉÅÎÔÁÉÑ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÁ).ëÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ | ÏÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ, ÅÓÌÉ ÏÒÉÅÎÔÁÉÑ ×ÓÅÈ ×ÈÏÄÑÝÉÈ ×ÎÅ£ ÇÌÁÄËÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ É 8 Ä×ÕÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÁ.RR !éÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ Ï ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÏÊ Ï×ÅÈÎÏÓÔÉ (ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÏÊ) | ÜÔÏF~ dS =PR R !F~ dS .i iåÓÌÉ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÁÎÉÅÊ ÏÂÌÁÓÉ G × R3 , ÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ (ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ × G) ÉÌÉ ×ÎÅÛÎÉÍÉ (× R2 n G)ÎÏÒÍÁÌÑÍÉ.úÁÍÅÞÁÎÉÅ.
ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÉÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÓÏÂÁÍÉ ÎÁi ) ÎÅ ÏÂÓÕÖÄÁÅÔÓÑ (ÏÎÁ ×ÙÏÌÎÅÎÁ). ( ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÍÎÏÇÉÍÉ ÓÏ-ðÒÉÍÅÒ 18.1. ìÉÓÔ í£ÂÉÕÓÁ | ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍ (ÔÁË ËÁË ÎÁÄÏ ÒÁÓÓÏÍÔÒÅÔØ ËÕÓÏÞÎÏÇÌÁÄËÕÀ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ËÕÂÁ).G × R3 | ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oz, ÅÓÌÉ 9 ÏÂÌÁÓÔØV V | ÒÏÓÔÏÊ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ËÏÎÔÕÒ É ÆÕÎËÉÉ '(x; y); psi(x; y)ÎÁ V : '(x; y ) < (x; y ) ÎÁ V É G = f(x; y; x) 2 R3 : '(x; y ) < z < psi(x; y ); (x; y ) 2 V g,G = f(x; y; z ): (x; y) 2 V; '(x; y) 6 z 6 (x; y)g [ f(x; y; z ): (x; y) 2 V; z = '(x; y)g [f(x; y; z ): (x; y) 2 V; z = (x; y)g.ïÂÌÁÓÔØ G × R3 ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÏÓÉ Oz ÏÂÌÁÓÔÅÊ, ÅÓÌÉ 9fGi g | ËÏÎÅÞÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏS i = G .ÏÓÉ Oz, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ Gi ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É GïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 18.10. ïÂÌÁÓÔØR2 Ó ÇÒÁÎÉÅÊi43ìÅËÉÑ XIX11.V.99ìÅËÉÑ 19ÅÏÒÅÍÁ 19.1 (çÁÕÓÓÁ | ïÓÔÒÏÇÒÁÄÓËÏÇÏ). ðÕÓÔØ | ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ × R3 ÓÇÒÁÎÉÅÊ | ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÌÅÍ ×ÎÅÛÎÉÈ ÎÏÒÍÁÌÅÊ.ðÕÓÔØ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÅÊ Ox, Oy, Oz ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎ ÚÁÄÁÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅÔÁÒÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ.
ðÕÓÔØ ÎÁ ~F (~x) ) ÏÔÏË ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÌÑ F~ ÞÅÒÅÚ Z ZF~ dS =Z Z ZÇÄÅdivF~ dxdydz;(1)1 (~x) + F2 (~x) + F3 (~x) .divF~ (~x) = Fxyz!!!éÍÅÅÍ, ÞÔÏ F~ = (F~1 ; 0; 0) + (0; F~2 ; 0) + (0; 0; F~3 ). ðÕÓÔØ | ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oz, F~ = (0; 0; F~3).äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. = f(x; y; z ): (x; y) 2 G; '(x; y) < z < (x; y)g; 1 = f(x; y; z ): (x; y) 2 G; '(x; y) 6 z 6 (x; y)g; 2 = f(x; y; z ): (x; y) 2 G; z = '(x; y)gÉRR 1(2)!(0; 0; F~3)dS = 0 (ÔÁË ËÁË ~n ? Oz; (0; 0; F~3 ) k Oz ).ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ G × R3 : (x; y) ! (x; y; '(x; y)), ÒÉÞÅÍ(x; y; '(x; y)) = (1; 0; '0x(x; y)); (x; y; '(x; y)) = (0; 1; '0y (x; y)):(3)xyîÁÊÄÅÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ | ÎÏÒÍÁÌØ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ~ x;y)N~ = (; ; 1) | ×ÎÕÔÒØ ÏÂÌÁÓÔÉ. ~n(x; y) = kNN~ ((x;y)k | ÏÌÅ ×ÎÅÛÎÉÈ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÎÏÒÍÁÌÅÊÎÁ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ.Z ZZ ZZ Z!1(0; 0; F~3)dS~ =F3 ~kN~ (x; y)kdxdy =F3 (x; y; '(x; y))dxdy: (4)kN (x; y)k 2GGN~ (x;y) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
