Т.П. Лукашенко - Конспект лекций по математическому анализу (1118361), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ëÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ÕÔØ(ËÒÉ×ÁÑ) | ÜÔÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÒÏÍÅÖÕÔËÁ × ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ (ÂÁÎÁÈÏ×Ï)ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ É ÏÔÌÉÞÎÕÀ ÏÔ ÎÕÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f 0 , ËÒÏÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ ÎÕÌÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÓÌÅ×Á ÌÅ×ÁÑÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ fÌ0 É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÓÒÁ×Á ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ f0 .úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÁÌØÛÅ ×ÍÅÓÔÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ ÂÕÄÅÔ ÆÉÇÕÒÉÒÏ×ÁÔØ ÏÔÒÅÚÏË. ïÂÒÁÚ ÎÁÞÁÌØ-ÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÔÒÅÚËÁ | ÎÁÞÁÌÏ ÕÔÉ, ÏÂÒÁÚ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÔÒÅÚËÁ | ËÏÎÅ ÕÔÉ.9 ÁÒÁ ÔÏÞÅË ÏÔÒÅÚËÁ,ÏÂÒÁÚÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.
ðÒÏÓÔÏÊ ËÏÎÔÕÒ | ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÕÔØ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ËÏÎÏ× ÏÔÒÅÚËÁ, ÏÂÒÁÚÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÒÕÇÏÊÔÏÞËÉ ÏÔÒÅÚËÁ.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 14.2. ðÕÔØ (ËÒÉ×ÁÑ) | ÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÊÓÑ, ÅÓÌÉóÌÅÄÓÔ×ÉÅ 14.1. ðÕÓÔØ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ÕÔØÒÁÚÂÉÅÎÉÅT = fxi gni=0 ; a = x0 < x1 < < xn = b.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÁf | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÒÅÚËÁ [a; b℄)98 ÏÔÒÅÚËÅ [xi 1 ; xi ℄ | ÇÌÁÄËÉÊ ÕÔØ.óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 14.2 (äÏÕÓÔÉÍÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ). ðÕÓÔØ f | ÕÓÔØ (ÇÌÁÄËÉÊ ÕÔØ,ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ÕÔØ), ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÊ ÏÔÒÅÚÏË [a; b℄ = I . ðÕÓÔØ (t) | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ (ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ Ó 0 (t) 6= 0; ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ, ËÒÏÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË Ó 0 (t) 6= 0), × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÞÉÓÌÅ ÔÏÞÅË ÉÍÅÀÝÅÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÕÀ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ fÌ0 ÉÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÓÒÁ×Á ÎÅÎÕÌÅ×ÕÀ f0 ) ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÒÅÚËÁ J = [; ℄ÎÁ I = [a; b℄.
óÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f (t) ÏÔÒÅÚËÁ I É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ( (t)) ÏÔÒÅÚËÁJ ÚÁÄÁÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÕÔØ (ÇÌÁÄËÉÊ ÕÔØ, ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ÕÔØ). åÓÌÉ (t) ÓÔÒÏÇÏ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÚÁÍÅÎÁ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÉÉ ËÒÉ×ÏÊ. åÓÌÉ (t)ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÚÁÍÅÎÁ ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ ËÒÉ×ÏÊ (ÕÔÉ).úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÕÔØ (ËÒÉ×ÁÑ) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ, ÉÌÉ ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÒÏÓÔÏÊ ËÏÎ-ÔÕÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÚÁÄÁÅÔÓÑ (ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ f ÏÔÒÅÚËÁ [a; b℄ É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍg ÏÔÒÅÚËÁ [; ℄ ) 9 ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ (t), ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ÏÔÒÅÚÏË [; ℄ ÎÁ [a; b℄: f ( (t)) g (t).33ìÅËÉÑ XIV13.IV.99ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ éÎÔÅÇÒÁÌ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 14.3.
ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÓÒÑÍÌÑÅÍÁÑ (ÉÍÅÀÝÁÑ ÄÌÉÎÕ) ËÒÉ×ÁÑ (ÕÔØ) | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÒÅÚËÁ [a; b℄ × ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ (ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï) É ÎÁ ÏÂÒÁÚÅÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ (ÎÁ [a; b℄) ÚÁÄÁÎÁ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÉÑ f . ÏÇÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (RRbS ) f ( ((t)))ds(t), ÇÄÅ s(t) | ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ ËÒÉ×ÏÊ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÔÒÅÚËÕ [a; t℄, |aÉÎÔÅÇÒÁÌ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ÆÕÎËÉÉ f Ï ËÒÉ×ÏÊ , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÔÒÅÚËÁRRb[a; b℄. ïÂÙÞÎÏ ÉÛÕÔ fds.
åÓÌÉ ÕÔØ ÇÌÁÄËÉÊ (ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ), ÔÏ (R S ) f ( (t))ds(t) =aRb0(R) f ( (t))k (t)kdt.aó×ÏÊÓÔ×Á ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 1-ÏÇÏ ÒÏÄÁ:R1) 1ds = j j | ÄÌÉÎÁ ËÒÉ×ÏÊ .nP1) 1 (s(xi ) s(xi 1 )) = s(xn ) s(x0 ) = j j.i=12) åÓÌÉ ÕÔØ ÇÌÁÄËÉÊ (ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ), Á f ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ (× ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å) ) ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÷ÅÒÎÏ, ÅÓÌÉ ÕÔØ ÓÒÑÍÌÑÅÍ, Á f | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÎÁ ËÒÉ×ÏÊ (ÏÂÒÁÚÅ ([a; b℄)).2) f ( (t)) | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ, ËÁË ËÏÍÏÚÉÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎËÉÊ, Á s(t) | ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ×ÁÒÉÁÉÉ.3) ðÒÉ ÄÏÕÓÔÉÍÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ (ËÁË ÎÅ ÍÅÎÑÀÝÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÔÁË É ÍÅÎÑÀÝÉÈ)ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ.bRR3 ) òÁÓÓÍÏÔÒÉ f ( ( ))ds( ); f ( ( (t)))ds(t), ÇÄÅ (t) | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅa×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ [; ℄ ÎÁ [a; b℄.Á) ðÕÓÔØ () = a; ( ) = b; T = fti gni=1 | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ [; ℄; T 0 = fi gni=1 | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ[a; b℄; i = (ti ).
ðÕÓÔØ (T; ) | ÒÁÚÂÉÅÉÅ T Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ = fi g; (T 0 0 ) |nPÒÁÚÂÉÅÎÉÅ T 0 ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ = fi g; i = (i ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ f ( (i ))(s(i )äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.i=1nPs(i 1 )) É f ( ( (i )))(s(ti ) s(ti 1 )). éÍÅÅÍ s(i ) s(i 1 ) = Var s( ) Var s( ); s(ti )[a;i ℄[a;i 1 ℄i=1s(ti 1 ) = Var s( (t))Var s( (t)); 8Æ 2 [; ℄: Vars( (t)) = Var s( (t)).[; (ti )℄[; (ti 1 )℄[;Æ℄[a; (Æ)℄Â) ðÕÓÔØ () = b; ( ) = a. äÅÌÁÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ×ÙËÌÁÄËÉ, ÔÏÌØËÏ a 6 Tn < Tn 1 <n < Tn = b. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ P f ( (i ))(s(i 1 ) s(i )); s(i 1 ) s(i ) = [a;Var ( ) Var ( ); s(ti )[a;i ℄i 1℄i=1s(ti 1 ) = Var ( (t)) Var ( (t)).[;ti ℄[;ti 1 ℄34ìÅËÉÑ XV16.IV.99ìÅËÉÑ 15ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ éÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 15.1. ðÕÓÔØ| ÇÌÁÄËÁÑ (ËÕÓÏÞÏ ÇÌÁÄËÁÑ) ËÒÉ×ÁÑ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ÏÔnÒÅÚÏË [a; b℄ × R É ÎÁ ÏÂÒÁÚÅ ËÒÉ×ÏÊ ÚÁÄÁÎÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ F~ (~x) (ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÅÅ ÉÚ RnRb~ s(t); ~s0 (t)))dt, ÇÄÅ ÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ | ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅ× Rn ).
ÏÇÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (F~aÎÉÅ, F~ (~s(t)) É ~s0 (t) | ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ Ë ËÒÉ×ÏÊ , ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ~s(t) |nRR PÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ F Ï ËÒÉ×ÏÊ . ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ, ËÁË F~ d~s, ÉÌÉFk dxk , ÉÌÉk=1n Rn RPPFk dxk =Fk x0k dt, ÇÄÅ ~s(t) = ~x(t).k=1k=1ó×ÏÊÓÔ×Á ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ:R 01) k~~xx0 ((tt))k d~x(t) = j j | ÄÌÉÎÁ .äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.Rb (~x0 (t);~x0 (t))abR0k~x(t)k dt = a k~x (t)kdt = j j.2) åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ F~ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÎÁ ÏÂÒÁÚÅ ÕÔÉ (ËÒÉ×ÏÊ), ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.3) ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÒÉ ÄÏÕÓÉÍÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÎÅ ÍÅÎÑÀÝÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, Á ÒÉ ÍÅÎÑÀÝÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË.ðÕÓÔØ | ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, (T; ) | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ.PéÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ Fk (i )(xk (i ) xk (i 1 )). ðÕÓÔØ (t) | ÚÁÍÅÎÁ, Á t | ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ,iP(T 0 ; ) | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ, i = (ti ); i = (i ) ) Fk ( (i ))(xk ( (i ))äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.iRxk ( (ti 1 ))).
åÓÌÉ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÔÏ ÜÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ Fk dxk . åÓÌÉ ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ ) (ti ) 6 (ti 1 ) É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ×ÙÛÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÚÎÁËÏÍ ÏÔRÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Fk dxk Ó ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ .ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 15.2. ïÂÌÁÓÔØ × ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å | ÜÔÏ ÏÔËÒÙÔÏÅ Ó×ÑÚÎÏÅÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. úÁÍËÎÕÔÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ | ÜÔÏ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ (ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅÏÂÌÁÓÔØ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ë ÏÂÌÁÓÔÉ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË).ÅÏÒÅÍÁ 15.1 (öÏÒÄÁÎÁ). ðÒÏÓÔÏÊ ËÏÎÔÕÒ (ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÕÔØ ÂÅÚ ÔÏÞÅËÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ËÒÏÍÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ) ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁ 2 ÏÂÌÁÓÔÉ | ×ÎÕÔÒÅÎÉÊ ËÏÎÔÕÒ É ÅÇÏ ×ÎÅÛÎÏÓÔØ. (âÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á).ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 15.3. ÷ÅËÔÏÒÁx1x2~x; ~y 2R2 ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁ×ÕÀ ÁÒÕ, ÅÓÌÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØy1 > 0;y2 (1)ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÌÅ×ÕÀ ÁÒÕ, ÅÓÌÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØx1x2y1 < 0:y2 (2)ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 15.4.
ðÒÏÓÔÏÊ ÇÌÁÄËÉÊ (ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ) ËÏÎÔÕÒ ÉÍÅÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀÏÒÉÅÎÔÁÉÀ (ÏÔÒÉÁÔÅÌØÎÕÀ), ÅÓÌÉ × 8 ÔÏÞËÅ (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË)ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ Ë ËÏÎÔÕÒÕ ~s0 É ×ÅËÔÏÒ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ËÏÎÔÕÒÕ ~n ÏÂÒÁÚÕÀÔÒÁ×ÕÀ (ÌÅ×ÕÀ) ÁÒÕ.35ìÅËÉÑ XV16.IV.99G R2 | ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ Ox, ÅÓÌÉ 9[a; b℄ É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ ËÕÓÏÞÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÙÅ (ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅ-ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 15.5. ïÂÌÁÓÔØÏÔÒÅÚÏËKS[ak ; bk ℄ [a; b℄; k = 1 : : : K; [ak ; bk ℄ = [a; b℄) ÆÕÎËÉÉk=1'(x) É (x); '(x) < (x) ÎÁ (a; b℄: G = f(x; ~y): x 2 (a; b); '(x) < y < (x)g. ðÒÉÞÅÍG =f(x; ~y): x = a; '(a) 6 y 6 (a)g [ f(x; ~y): x 2 [a; b℄; y = '(x)g(3)[f(x; ~y): x = b; '(b) 6 y 6 (b)g [ f(x; ~y): x 2 [a; b℄; y = (x)gÒÅÎÉÒÕÅÍÙÅ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ| ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ËÏÎÔÕÒ.G Rn ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox, É ÎÁ ÚÁÍÙËÁÎÉÉG = G [ G ÚÁÄÁÎÁ ÆÕÎËÉÑ P Ó ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÎÁ G ÞÁÓÔÎÏÊ ÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ Py ) ÅÓÌÉ GRRRR!PÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ, ÔÏy dxdy = P dx = (P; O )d~s.ìÅÍÍÁ 15.1.
ðÕÓÔØ ÏÂÌÁÓÔØäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.Z ZGGéÍÅÅÍ, ÞÔÏZb Z(x)Pdxdy = (y=a '(x)ZbGOGPdy)dxyZbP (x; '(x))dxaP (x; (x))dx =a(4)ZP dx:GïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 15.6. ïÂÌÁÓÔØ G R2 ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy , ÅÓÌÉ . . . (ÁÎÁÌÏÇÉÞÏïÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 5, ÎÏ ÚÁÍÅÎÑÅÍ x ÎÁ y ).ìÅÍÍÁ 15.2. ðÕÓÔØ ÏÂÌÁÓÔØ G R2 ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy , É ÎÁ ÚÁÍÙËÁÎÉÉG = G [ G ÚÁÄÁÎÁ ÆÕÎËÉÑ Q Ó ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÎÁ G ÞÁÓÔÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ Qx ) ÅÓÌÉ GR R QRR!ÉÍÅÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÔÏx dxdy = Qdy = (O; Q)d~s.GGOGäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
éÍÅÅÍ, ÞÔÏZ ZZb Z(y)GQdxdy = (xa '(y)ZbQdx)dy =xZbQ( (y); y)dyaP ('(y); y)dy =aïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 15.7. ïÂÌÁÓÔØG1 : : : m ÏÁÒÎÏ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÉSRnZ(5)Qdy:GÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÂÌÁÓÔÉiG i = G .ÅÏÒÅÍÁ 15.2 (æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ). ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÏÂÌÁÓÔØGG1 ; : : : ; Gm , ÅÓÌÉ Gi ; i = R2Ó ÇÒÁÎÉÅÊ (ÒÏÓÔÏÊËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÊ ËÏÎÔÕÒ), ËÏÔÏÒÁÑ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ËÁË ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÂÌÁÓÔÅÊ,ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox, ÔÁË É ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÂÌÁÓÔÅÊ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÚÁÄÁÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy . ðÕÓÔØ ÎÁ G!(P; Q) ) ÅÓÌÉ G ÉÍÅÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÒÉÅÎÔÁÉÀ, ÔÏZ ZGQxPdxdy =yZGP dx +ZGQdy =ZG36!(P; Q)d~s:(6)ìÅËÉÑ XV16.IV.99äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.Ox )Z ZGðÕÓÔØ G ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ Gi ; i = 1 : : : m, ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉmXPdxdy =yi=1Z ZGimXPdxdy =yi=1ZGiP dx =ZP dx:GáÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ×ÙËÌÁÄËÉ ÄÅÌÁÅÍ ÄÌÑ Q, ÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oy.37(7)ìÅËÉÑ XVI20.IV.99ìÅËÉÑ 16E Rn ÚÁÄÁÎÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ F~ (~x) | ÏÔÏnÂÒÁÖÁÀÝÅÅ E × R .
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÌÅ ÏÔÅÎÉÁÌØÎÏÅ, ÅÓÌÉ 9 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÚÎÁÞÎÁÑ!ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁÑ ÎÁ R ÆÕÎËÉÑ U (~x): grad(~x) = (Ux0 1 (~x); : : : ; Ux0 n (~x)) = F~ (~x). æÕÎËÉÑ U| ÏÔÅÎÉÁÌ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÌÑ F~ (~x).ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 16.1. ðÕÓÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÅG Rn ÚÁÄÁÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÅÎÉÁÌØÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ~ÏÌÅ F (~x) É U (~x) | ÏÔÅÎÉÁÌ ÜÔÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÌÑ ) ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2ÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÌÑ F~ (~x) Ï 8 ÇÌÁÄËÏÊ (ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÏÊ) ËÒÉ×ÏÊ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ ×ÔÏÞÅË ~a É Ó ËÏÎÏÍ × ÔÏÞÅË ~b; G, ÒÁ×ÅÎ U (~b) U (~a), ÔÏ ÅÓÔØÅÏÒÅÍÁ 16.1. ðÕÓÔØ × ÏÂÌÁÓÔÉZF~ d~s = U (~b) U (~a):(1)ðÕÓÔØ ~s(t) | ÚÁÄÁÀÝÅÅ ËÒÉ×ÕÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÒÅÚËÁ [; ℄ × Rn ; ~s() =n U (~s(t))P0~a; ~s( ) = ~b. éÍÅÅÍ, ÞÔÏ dtd U (~s(t)) =xk sk (t). úÎÁÞÉÔäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.k=1ZZF~ d~s =(F~ (~s(t)); ~s0 (t))dt =Z XnZU (~s(t)) 0s (t)dt =xk kk=1dU (~s(t))dt = U (~s( )) U (~s()):dt(2)G ×ÅËÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÉóÌÅÄÓÔ×ÉÅ 16.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
