Т.П. Лукашенко - Конспект лекций по математическому анализу (1118361), страница 2
Текст из файла (страница 2)
æÕÎËÉÑ) 9Æ > 0: f ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÎÁ AÆ = fx 2 A : (x; intA) =inf (x; y) 6 Ægy2intAåÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A, g ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ A É ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó f ÎÁ AÆ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏÅÏÒÅÍÁ 4.1. åÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ARfRgAAÆ > 0 ) g ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ á É d~x = d~xäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1 ) 9Æ > 0 8(T; ) Ó i 2 Ai É d(Ai ) < 10nÆ : j (f; T; ) I j < 1. ðÏËÁÖÅÍ,ÞÔÏ f ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÎÁ AÆ . äÌÑ 8 ÔÏÞËÉ ~x 2 AÆ ×ÏÚØÍÅÍpn- ÍÅÒÎÙÊ ËÕÂ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ ~xÉ ÄÌÉÎÏÊ ÒÅÂÅÒ 3Æ ) ÄÉÁÍÅÔÒ ÜÔÏÇÏ ËÕÂÁ K ÒÁ×ÅÎ 3Æ x.
ÁË ËÁË ~x 2 AÆ ) intK \ intA 6= ;É (K \ A) > 0. óÏÓÔÁ×ÉÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ K \ A É ÅÝ£ ÉÚÍÅÒÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×A1 : : : Am ; d(Ai ) < Æ; 1 6 i 6 m. äÌÑ 8 ÔÏÞËÉ 0 2 K \ A É i 2 Ai ; 1 6 i 6 m, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØmjf (0 )(K \ A) + P f (i )Ai I j < 1 ) f ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÎÁ K \ A. AÆ { ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ, ÅÇÏi=1ÍÏÖÎÏ ÏËÒÙÔØ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ËÕÂÏ× K Ó ÄÌÉÎÏÊ ÒÅÂÅÒ 3Æ. îÁ 8K \ A f ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ) f ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ AÆ .P2) 8" > 0 9Æ0; 0 < Æ0 < Æ; 8(T; ) Ó 2 Ai É d(A) < Æ : j f (xii )Ai I j < ". òÁÓÓÍÏÔÒÉÍiPg(i )Ai . åÓÌÉ Ai > 0 ) Ai \ intA 6= ; É, ÔÁË ËÁË d(Ai ) < Æ0 < Æ ) Ai AÆ Éig(i ) = f (i ) )Pig(i )Ai =Pif (i )Ai .f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A ) 9 ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ g, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÁÑ Ó f ÎÁAÆ ; Æ > 0, É g ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ, É ÜÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.1.
åÓÌÉÎÅËÏÔÏÒÏÍf ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ A, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ AÆ ; Æ > 0, Ó ÏÇÒÁÎÉg ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A ) f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A, É ÜÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÓÏ×ÁÄÁÀÔóÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.2. åÓÌÉÞÅÎÎÏÊ g , ÉïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4.3. ðÕÓÔØT : Mi = sup f; mi = inf f .T | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A É f ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÎÁ A ) 8Ai 2AiAi÷ÅÒÈÎÑÑ ÓÕÍÍÁ äÁÒÂÕ | ÜÔÏ ST=îÉÖÎÑÑ ÓÕÍÍÁ äÁÒÂÕ | ÜÔÏ sT=ìÅÍÍÁ 4.1.PiPiMi Ai .mi Ai .ST = sup (f; T; ); sT = inf (f; T; ).9ìÅËÉÑ IV23.II.99äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÍÅÅÍ mi 6 f (i ) 6 Mi .
éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ?? ÉÍÅÅÍ sT÷ÏÚØÍÅÍ " > 0 É 9i 2 Ai : f (i ) > Mi " )(f; T; ) >Xi(Mi")Ai > ST"XiAi = ST6 (f; T; ) 6 ST ."A:(1)áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ É ÄÌÑ sT .ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4.4. òÁÚÂÉÅÎÉÅ T 0 = fA0i g ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÍÅÌØÞÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ T = fAi g ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÅÓÌÉ 8A0i 9Ai A0i .åÓÌÉ T 0 = fA0i g É T = fAi g | ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ A )T [ T 0 = fAi \ A0j 6= ;g { ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A.ìÅÍÍÁ 4.2. åÓÌÉ T 0 6 T (T 0 ÍÅÌØÞÅ T )) ST 0 6 ST ; sT 0 > sT .äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.ST 0 =XXsup fA0j =XXX0j Ajsup fA0j >(2)0i j : A0j Ai AjXsup fA0j =sup fi j : A0j Ai AiSiSA0j Ai É inf Ai n Ak AiSXj : A0j AiA0j :0Aj .kj : A0j AiSSÁË ËÁË ÅÓÌÉ x 2 intAin Ak ) x 2 intAi É x 2= Ak ; k 6= i ) ÅÓÌÉ x 2=A0j0kAj AiòÁÓÓÍÏÔÒÉÍj : A0j Ai(intAi n[kAk ) =Ai 6 Ai 6[j : A0j AiXisup fAiA0j =XXj : A0j Aij : A0j AiA0j =(??0 )A0jXi6) x 2= S A0j )j(3)sup fAi = ST :Ai(??0 )8 ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ T É T 0 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÄÌÑ 8f ÎÁ A : sT 6 ST 0 .äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
sT 6 sT [T 0 (ÉÚ ìÅÍÍÙ ??)6 ST [T 0 6 ST 0 .ìÅÍÍÁ 4.3. äÌÑïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4.5. ÷ÅÒÈÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ äÁÒÂÕ | ÜÔÏîÉÖÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ äÁÒÂÕ | ÜÔÏìÅÍÍÁ 4.4.÷ÓÅÇÄÁ I 6 I .I = sup sT .I = inf ST .TT÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÉÚ ìÅËÉÉ 3:) sT 6 inf0 ST 0 = I ) sup sT = I 6 I :äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.TT10(4)ìÅËÉÑ V2.III.99ìÅËÉÑ 5A ÆÕÎËÉÑI (f ) = I (f ). ðÒÉ ÜÔÏÍ I = f (x)dx = I (f ) = I (f ).ÅÏÒÅÍÁ 5.1 (ëÒÉÔÅÒÉÊ äÁÒÂÕ). ïÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÎÁ ÉÚÍÅÒÉÍÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÅRf ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A()A1 ) äÏËÁÖÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ.åÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ, ÔÏ ÄÌÑ 8" > 09Æ > 0 8(T; ) Ó i 2 Ai É dAi < Æ ÄÌÑ 8i : j(f; T; )I j < ",ÔÏ ÅÓÔØ I " < (f; T; ) < I + " ) I " 6 sT (f ) 6 ST (f ) 6 I + " ) I " 6 I (f ) 6I (f ) 6 I + ". ÷ ÓÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔÉ " ÉÍÅÅÍ: I = I (f ) = I (f ).2) äÏËÁÖÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ.ðÕÓÔØ I (f ) = I (f ) É ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ, ËÁË I .
ÏÇÄÁ ÄÌÑ 8" > 0 9 ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ T1 ÉT2 : sT T1 > I "; ST T2 < I + ". ðÕÓÔØ T = T1 [ T2 = fBj g ) I " < sT (f ) 6 ST (f ) < I + ".SòÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Bj | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÅÒÙ ÎÕÌØ Ï öÏÒÄÁÎÕ. îÁÊÄÅÍ ÒÏÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.SjBj ; PP: P < ". ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ P , ËÁË ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÂÒÕjÓÏ× k . åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ k ÅÓÔØ ÂÒÕÓÙÍÅÒÙ ÎÏÌØ, ÔÏ ÚÁÍÅÎÉÍ ÉÈ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉ ÉÈ ÂÒÕÓÁÍÉPÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÅÒÙ ÔÁË, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ k ×ÓÅÈ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÂÒÕÓÏ× ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ ".kðÕÓÔØ Æ > 0 { ÄÌÉÎÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ (ÏÔÒÅÚËÏ× Iik , ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ k ) ÂÒÕÓÏ× k . òÁÚÄÕÅÍ ÂÒÕÓÙ k Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÒÅÂÒÕ × ÔÒÉ ÒÁÚÁ.
ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÂÒÕÓÙPÏÂÏÚÎÁÞÉÍ k ; k = 3nk ) k < 3n ".kSðÕÓÔØ P = k ; P < 3n ". ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ T 0 = fAi g, dAi < Æ. äÌÑk8Ai ÉÌÉ 9Bj Ai , ÉÌÉ Ai P .ST 0 =6=6Xisup f Ai 6AiX XX Xj Ai Bj Aisup f Ai + sup jf jj Ai Bj BjXAsup f (Bjj BjXsup f Ai + sup jf j(Bj n[Ai Bjsup f Bj + 2 sup jf jj BjAAXAi P Ai P Ai P Ai 6Ai =Ai )) + sup jf jXXAXAi P Ai 6(1)Ai 66 ST + 2 sup jf j P < I + " + 2 3n sup jf j " = I + Cf ":AAáÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÏÅÎËÁsT 0 > I " 2 3n sup jf j " = I Cf ":A(2)óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ (T; ) Ó i 2 Ai É dAi < Æ :6 (f; T; ) 6 ST < I + Cf ";ÔÏ ÅÓÔØ j(f; T; ) I j < Cf ".ICf " < sTóÌÅÄÓÔ×ÉÅ 5.1 (ëÒÉÔÅÒÉÊ äÁÒÂÕ). ïÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÎÁ ÉÚÍÅÒÉÍÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Åf ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A()ÄÌÑ8" > 0 9 ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ T1 É T2 :ST 2(f ) sT T1(f ) < ":(3)A ÆÕÎËÉÑ(4)11ìÅËÉÑ V2.III.99óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 5.2.
ïÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÎÁ ÉÚÍÅÒÉÍÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÅA()8" > 0 9 ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ T :ÄÌÑA ÆÕÎËÉÑ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁST (f ) sT (f ) < ":(5)ÅÏÒÅÍÁ 5.2 (ïÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ òÉÍÁÎÁ). óÔÁÒÙÊ (××ÅÄÅÎÎÙÊÒÁÎÅÅ) É ÎÏ×ÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ òÉÍÁÎÁ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ (ÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ Ï ÏÔÒÅÚËÕ).äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1 ) åÓÌÉ ÅÓÔØ ÎÏ×ÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÓÔÁÒÙÊ, É ÏÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.2) åÓÌÉ ÅÓÔØ ÓÔÁÒÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï [a; b℄ ÏÔ f ) 8" > 09Æ > 0 8(T; ); T = fi g; i 2i ; ji j < Æ : : (f; T; ) I j < ", ÔÏ ÅÓÔØ" < (f; T; ) < I + " ) 9T :IïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5.1. íÎÏÖÅÓÔ×ÏÅÓÌÉ ÄÌÑPk8" > 0k < ".EI" 6 sT6 ST 6 I + ":(6) RnÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÍÅÒÙ ÎÏÌØ Ï ìÅÂÅÇÕ,SÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÓÞÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÂÒÕÓÏ× fk g : k E ÉkúÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ, ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÔ-ËÒÙÔÙÍÉ ÂÒÕÓÁÍÉ.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï."2 k )[k0k [käÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÂÒÕÓÁ k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÂÒÕÓ 0k k ; 0k < k +k E ÉXk0k < 2":(7)ÅÏÒÅÍÁ 5.3. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÅÒÙ ÎÏÌØ Ï ìÅÂÅÇÕ { ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÅÒÙ ÎÏÌØÏ ìÅÂÅÇÕ.
îÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÓÞÅÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÅÒÙ ÎÏÌØ Ï ìÅÂÅÇÕ { ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÅÒÙ ÎÏÌØ Ï ìÅÂÅÇÕ.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ E j { ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÅÒÙ8E j ÎÁÊÄÅÍ ÏËÒÙ×ÁÀÝÕÀ ÅÇÏ ÓÉÓÔÅÍÕ ÂÒÕÓÏ×ÏËÒÙ×ÁÅÔSjÎÏÌØ Ï ìÅÂÅÇÕ. ÷ÏÚØÍÅÍ 8" > 0 É ÄÌÑfjk gk;j ; P jk < " 2 j . ÏÇÄÁ fjk gk;jEj ÉXjSUMkjk <12Xjk" 2 j 6 ":ìÅËÉÑ VI5.III.99ìÅËÉÑ 6ÅÏÒÅÍÁ 6.1 (ëÒÉÔÅÒÉÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ìÅÂÅÇÁ). ïÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÎÁ ÉÚÍÅÒÉÍÏÍ() fÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÆÕÎËÉÑ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A(ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÍÅÒÙ 0 Ï ìÅÂÅÇÕ).ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁA ÏÞÔÉ ×ÓÀÄÕäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÖÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ.1) A | ÚÁÍËÎÕÔÏ, ) A | ËÏÍÁËÔ × Rn .÷ÏÚØÍÅÍ " > 0 É ÎÁÊÄÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÔËÒÙÔÙÈPÂÒÕÓÏ× fk g, ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á f ÎÁ A É k < ".
äÌÑ ÌÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ xkÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ f ÎÁ A ÎÁÊÄÅÍ ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ Å£ ÏÔËÒÙÔÙÊ ÂÒÕÓ x : 82 x \ A : jf (t) f (x)j <". ÷ÙÂÅÒÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÄÏËÒÙÔÉÅ: x1 ; : : : xp ; : : : k1 : : : kq .|{z}ÔÏÞËÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉðÕÓÔØ T = fAi g, ÇÄÅA1 =x1 \ A;A3 =(x3 n (x1 [ x2 )) \ A;Ap =(xp n[i<p|{z}ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×ÁA2 =(x2 n x1 ) \ A;:::xi ) \ A;Ap+1 =(k n[i6pAp+q =(kq n (:::xi ) \ A[j<qkj[i6p(1)xi )) \ A:ïÅÎÉÍ ÒÁÚÎÏÓÔØ ×ÅÒÈÎÅÊ É ÎÉÖÎÅÊ ÓÕÍÍ äÁÒÂÕ:STsT =6 2"X(sup fAiiXinf f )Ai 6 (AiXAi + 2 sup jf jAi6pXi>pi6p+Xi>p)(sup inf )AiAiAiAi 6 2"A + 2 sup jf j " = Cf ":(2)AúÎÁÞÉÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÒÉÔÅÒÉÀ äÁÒÂÕ ÆÕÎËÉÑ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ.2) åÓÌÉ ÆÕÎËÉÑ f ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ A, A | ÎÅÚÁÍËÎÕÔÏ, ÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÍ f ÎÁ ÚÁÍÙËÁÎÉÉA = A [ A : ÅÓÌÉ x 2 AnA ) f (x) = 0.
åÓÌÉ f ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÏÞÔÉ ×ÓÀÄÕ ÎÁ A, ÔÏÄÏÏÒÅÄÅÌÉÍ f ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÏÞÔÉ ×ÓÀÄÕ ÎÁ A ) f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A ) f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁÎÁ A. äÌÑ 8" 9T 0 = fA0i g | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A : ST 0 sT 0 < ". ðÕÓÔØ T = fAi = A0i \ Ag |ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A )STsT =6Xi(sup fXiAi(sup fA0iinf f )AiAiinf0 f )A0i = ST 0AisT 0 < ":(3)úÎÁÞÉÔ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ËÒÉÔÅÒÉÊ äÁÒÂÕ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÎÁ A.äÏËÁÖÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ.ðÕÓÔØ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A. ÷ÏÚØÍÅÍ " > 0 É 8j 2N 9T j = fAji g :ST jsTj ==Xi(sup fXiAji(Mijinfj f )AjiAimji )Aji<"22j :13(4)ìÅËÉÑ VI5.III.99ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P j [D=(Si : ×ÙÂÒ.[j i : ×ÙÂÒ.> 2 j ) P Aji = " 2 j .
óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÓÔÏÅi : ×ÙÂÒ.PPAji ; P j < " 2 j ; P j < " 2 j = ". ðÕÓÔØäÌÑ 8j ×ÙÂÅÒÅÍ ÔÅ Aji : Mijmjij[[Aji ) [ (j ijAji ):(5)óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ ÂÒÕÓÏ× fPk g ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈSSAji ÉPPP j < ". íÎÏÖÅÓÔ×ÏD ÏËÒÙÔÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ k + j ÂÒÕÓÏ×, ÓÕÍÍÁ ÍÅÒ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÎØÛÅ ". 8"0 > 0 9j 2 j < "0 .åÓÌÉ x 2 D ) x | ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÔÏÞËÁ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ Aji (Mij mji ) < 2 j < "0 ) 9BÆ (x) Aji ; Mij mji < 2j < "0 , ÔÏ ÅÓÔØ 8t 2 BÆ (x): jf (x) f (t)j < 2 j < "0 .14j ikPk +jìÅËÉÑ VII16.III.99ìÅËÉÑ 7ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×:1)(ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ Ï ÆÕÎËÉÑÍ ) åÓÌÉ f É g ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ ARRRf + g ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A É f + gd~x = fd~x + gd~x:AA) ÄÌÑ 8; ÆÕÎËÉÑA2)(ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ ) åÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A É B ) f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁRRRRA[B Éfd~x = fd~x + fd~xfd~x.A[BABA\BäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
1 ) åÓÌÉ A \ B = ;: 8" > 0 8(TA; A ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ ÍÅÎØÛÅRÆ : j(f; TA ; A )fd~xj < ", 8(TB ; B ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ ÍÅÎØÛÅ Æ : j(f; TB ; B )ARfd~xj < " ) ÄÌÑ T = fÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× TA É TB g | ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A [ B; = A [ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏBÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÄÌÑ T , ÒÉÞÅÍ ×ÓÅ Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ ÍÅÎØÛÅ Æ )(f; T; ) = (f; TA ; A ) + (f; TB ; B )R) j(f; T; xi)Afd~xRfd~xj < 2" ÉRRfd~x = fd~x + fd~x.A[B RA R RBRRfd~x = ( + )fd~x = ( +)fd~x:A[BA AnBA B B \AB R2) åÓÌÉ A \ B 6= ; )R(1)3) åÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A (f | ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ, A | ÉÚÍÅÒÉÍÁ), Á ÉÚÍÅÒÉÍÁ B A ) fÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ B .4) åÓÌÉ f É g ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ A ) f g ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ A.5) åÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A, Á ' ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [; ℄ f (A) ) '(f ) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁA.6) åÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A, Á f~ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó f ÎÁ A ×ÓÀÄÕ, ËÒÏÍÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÅÒÙ 0R~ x = R fd~x.Ï öÏÒÄÁÎÕ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÎÁ A ) f~ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A É fd~AA6) ðÕÓÔØ f~(x) = f (x) ÎÁ A n B , ÇÄÅ B A; B = 0.
÷ 8 ÔÏÞËÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A n (B [ B )ÆÕÎËÉÉ f É f~ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙ ÉÌÉ ÒÁÚÒÙ×ÎÙ.Z~ x=fd~AZAnB~ x+fd~Zfd~x =BZAnBfd~x + 0 = (ZAnBZZBA+ )fd~x =Rfd~x:(2)R7) åÓÌÉ f É g ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ A É f (x) 6 g(x) ÎÁ A ) fd~x 6 gdx.AAPP7) (f; T; ) = f (i )Ai 6 g(xii )Ai = (g; T; ).iiRRAA8) åÓÌÉ f ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A ) jf j ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A É j fd~xj 68 )jf (x)j 6 f (x) 6 jf (x)j )RARRAAjf jd~x 6 fd~x 6 jf jd~x.jf jd~x.9) åÓÌÉ f ÎÅÏÔÒÉÁÔÅÌØÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A; f (~x0 ) > 0, ÇÄÅ x0 | ×ÎÕÔÒÅÎÎÑ ÔÏÞËÁRA É ÔÏÞËÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ f ) fd~x > 0.A9) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ BÆ (~x) A : 8~x 2 BÆ (~x0 ): f (~x) > f (2~x) .
îÁÊÄÅÍ ÂÒÕÓ BÆ (~x0 ; > 0).ïÒÅÄÅÌÉÍ(g(x) =f (x0 ) ;20;ÅÓÌÉ~x 2 ÅÓÌÉ~x 2= ) g(x) 6 g(x) ÎÁ ARRÉ 0 < f (2x0 ) = g(~x)d~x 6 f (~x)d~x.AA15(3)ìÅËÉÑ VII16.III.99ÅÏÒÅÍÁ 7.1. ðÕÓÔØ A | ÉÚÍÅÒÉÍÏÅ Ï öÏÒÄÁÎÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï É E A ) E ÉÎÔÅÇÒÉÒÕRÅÍÁ Ï òÉÍÁÎÕ ÎÁ A () E ÉÚÍÅÒÉÍÏ Ï öÏÒÄÁÎÕ. ðÒÉ ÜÔÏÍ E d~x = E .AäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. 1 ) äÏËÁÖÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ. ðÕÓÔØ E ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ ÎÁ A ) E ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÏÞÔÉ ×ÓÀÄÕ ÎÁ A. ÁË ËÁË E ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ×ÎÅÛÎÏÓÔÉ A ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅËÒÁÚÒÙ×Á E ÎÁ Rn ×ÈÏÄÉÔ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á E ÎÁ A A. üÔÏÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÅÒÙ 0 Ï ìÅÂÅÇÕ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á E ÎÁ Rn | ÜÔÏ E , É E |ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ É ÚÁÍËÎÕÔÏ ) E ÉÚÍÅÒÉÍÏ Ï öÏÒÄÁÎÕ.2) äÏËÁÖÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
