Т.П. Лукашенко - Конспект лекций по математическому анализу (1118361), страница 8
Текст из файла (страница 8)
úÎÁÞÉÔäÁÌÅÅ: 3 = f(x; y; z ): (x; y) 2 G; z = (x; y)g É ~n(x; y) = kN~ (x;y)kZ Z!(0; 0; F~3)dS = 3ÏÇÄÁF3 (x; y; '(x; y; '(x; y)))dxdy:(5)GZ Z ZZ ZZ ZZ(x;y)G '(x;y)div(0; 0; F3 )dxdydz =Z Z ZF3 (x; y; z )dz dxdy =zZ ZF3 (x; y; z )dxdydz =z(6)(F3 (x; y; '(x; y)) F3 (x; y; (x; y)))dxdy:GïÎ ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×.íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÌÉ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÄÌÑ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oz, ÎÏ×ÓÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oz.üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÏÂÌÑÓÔØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÉÒÁÍÉÄÁ ) 8 ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË ÄÏÕÓËÁÅÔÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÎÁ ÎÕÖÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ.
ïÂÌÁÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÁÒÏËÓÉÍÉÏ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁÍÉ.44ìÅËÉÑ XIX11.V.99 | ÇÌÁËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ × R3 ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ Ä×ÁÖÄÙ ÎÅ R2 Ó ÇÒÁÎÉÅÊ G |ÒÅÒÙ×ÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ~x(~t) ÏÂÌÁÓÔÉ GÒÏÓÔÙÍ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÍ ËÏÎÔÕÒÏÍ, É ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÏ. ðÕÓÔØ ÎÁ ÚÁÄÁÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ F~ (x; y; z ) )ÅÏÒÅÍÁ 19.2 (óÔÏËÓÁ).
ðÕÓÔØZF~ dx =ÇÄÅZ ZrotF~ dS~ ;3rotF~ = FyäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.(7) ~e1 +F3 ~e + F22xx ~e3 .!!!!éÍÅÅÍ, ÞÔÏ F~ = (F1 ; F2 ; F3 ) = (hF1 ; 0; 0) i+ (0; F2 ; 0) + 0; 0; F3 . ðÕÓÔØ F2xF1zF1y~x ; ~x . ðÕÓÔØ G ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ ÏÌÅÍ ÎÏÒÍÁÌÅÊ, ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÈ Ó t1 t2ÖÅÎÉÅÍ ~t( ); 2 I | ÏÔÒÅÚËÕ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ~x(~t( )). ïÒÉÅÎÔÁÉÑ G ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ, ÏÒÉÅÎÔÁÉÑ ÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ ÏÒÉÅÎÔÁÉÉ G.ZZZ!~x(~t( ))x dt1 x dt2(F1 ; 0; 0)d~x = F1 d = F1+d =t1 d t2 dZIF1Gxxdt + Fdt =t1 1 1 t2 2(Ï ÆÏÒÍÕÌÅ çÒÉÎÁ) =Z Z GZ ZGIZ ZGxFt1 1 t2xFdt1 dt2 =t2 1 t12xF1 x F1 y F1 z x+++ F1x t1 y t1 z t1 t2t1 t2(8)F1 x F1 y F1 z x2x++F1dt dt =x t2 y t2 z t2 t1t2 t1 1 2 Z Z!Fx x0; 1 ;;dt1 dt2 =rot(F1 ; 0; 0)dS:zt1 t2úÁÍÅÞÁÎÉÅ.
âÙÌÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ÓÓÙÌËÁ ÎÅ ÎÁ ÓÁÍÕ ÆÏÒÍÕÌÕ çÒÉÎÁ, Á ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÊ ×ÁÒÉ-ÁÎÔ.óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.1. ÅÏÒÅÍÁ 2 ×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ËÕÓÏÞÎÏ ÇÌÁÄËÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÒÉ ÔÅÈ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁÄÁÀÝÉÈ i , ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ , ÞÔÏ É × ÔÅÏÒÅÍÅ, ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍÏÓÔÉ .ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 19.1. ïÂÌÁÓÔØ × R3 | ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÁÑ, ÅÓÌÉ 8 ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÅÊ ËÏÎÔÕÒÍÏÖÎÏ, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÅÆÏÒÍÉÒÕÑ ÅÇÏ × ÏÂÌÁÓÔØ, ÓÔÑÎÕÔØ × ÔÏÞËÕ.F~ | ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÌÅ × ÏÂÌÁÓÔÉ .îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ, Á × ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ, É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÏÔÅÎÉÁÌØÎÏÓÔÉ F~ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: rotF~ = 0.u ; u )äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ F~ | ÏÔÅÎÉÁÌØÎÏÅ, ÅÓÌÉ 9u : F~ = u;x y z F2 F2 = 2 u 2 u = 0 × ÓÉÌÕ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ) rotF~ = 0.yzyz zyÅÏÒÅÍÁ 19.3. ðÕÓÔØ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÌÅ ÏÔÅÎÉÁÌØÎÏÅ,ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ï 8 ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ ÒÁ×ÅÎ 0. åÓÌÉ ÅÓÔØ ÒÏÓÔÏÊÌÏÍÁÎÕÊ ËÏÎÔÕÒ, ÔÏ ÎÁ ÎÅÇÏÎÁÔÑÎÕÔØ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×.RRÍÏÖÎÏRðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ óÔÏËÓÁ = rotF~ = 0 ) Ï 8 ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁ×ÅÎ 0.S45ìÅËÉÑ XX12.V.99ìÅËÉÑ 20ðÕÓÔØ E | n-ÍÅÒÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ R.
ðÕÓÔØ e1 ; : : : ; en | ÂÁÚÉÓ × E , ÔÏnPÅÓÔØ 8~x 2 E 9!(x1 ; : : : ; xn ) 2Rn : ~x =xk ek (ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ E É Rn ).k=1ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 20.1. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÅ Ë E (E ) | ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ E (Rn ) × R. üÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ R.õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 20.1. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ fk : ~x ! xk ; k = 1; : : : ; n ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ × E .(äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.äÏËÁÖÅÍ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ: fi (ej ) =ðÕÓÔØ F | ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ E (Rn ) × R )f (~x) = f (nXk=1xk~ek ) =nXk=1nXk=11; ÒÉ i = j0; ÒÉ i 6= j:xk F (ek ) =!F (ek )fk (~x) = (ÓÍ.
ÄÁÌØÛÅ) = (~x; F (e1 ); : : : ; F (en )):ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 20.2. üÌÅÍÅÎÔÙ(1)E | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÕÎËÉÏÎÁÌÙ ÉÌÉ ËÏ×ÅËÔÏÒÙ.8 ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎËÉÏÎÁÌ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ-õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 20.2.(~x;~a);~a 2 E (ÓÍ. ×ÙÛÅ). õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ × 8 ÇÉÌØÂÅÒÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 20.3. óÉÓÔÅÍÁ ffk g ÂÉÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁ Ë fek g. éÎÏÇÄÁ, ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ffk g| ÂÁÚÉÓ, ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÊ Ë fek g.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 20.4. âÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ (2-ÆÏÒÍÁ) | ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ w(x; y ): E 2 = E E ! R, ÌÉÎÅÊÎÏÅ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÄÒÕÇÉÈ.×ÅÄÅÎÉÑëÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ | ÜÔÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ, ÍÅÎÑÀÝÁÑ ÚÎÁË ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ w(x; y ) = w(x; y ); ÉÌÉ (ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅw(x; y): E 2 ! R :1) 8R : w(x; y) = w(x; y);2) 8x1 ; x2 2 E : w(x1 + x2 ; y) = w(x1 ; y) + w(x2 ; y);3) 8x; y 2 E : w(x; y) = w(x; y):(2)ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 20.5.
ðÕÓÔØ f; g | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÕÎËÉÏÎÁÌÙ (1-ÆÏÒÍÙ),ÜÌÅÍÅÎÔÙE , ÔÏÇÄÁf (x) f (y )ÉÈ ËÏÓÏÅ (×ÎÅÛÎÅÅ) ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ f g | ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ g(x) g(y) | ËÏÓÏÓÉÍÍÔÅ-^ÒÉÞÎÁÑ 2-ÆÏÒÍÁ.ÅÏÒÅÍÁ 20.1. ÷ÎÅÛÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑfi ^ fj ; i < j × ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å n(n2ÂÁÚÉÓ × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.éÍÅÅÍ, ÞÔÏ fi ^ fj (ep ; eq ) =ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ. äÁÌÅÅnXw(x; y) =w(xk ek ;k=1j 1n XXj =2 i=1nX(xi yj= Cn2 ÏÂÒÁÚÕÀÔ1; ÒÉ i = p; j = q. ðÒÉ i < j fi ^ fj0; × ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅn XnXxk ymw(ek ; em) =k=1 m=1j 1n XXyi xj )w(ei ; ej ) =w(ei ; ej )fi ^ fj (~x; ~y):j =2 i=1m=1ym em ) =(1)46(3)ìÅËÉÑ XX12.V.99p (p-ÆÏÒÍÁ) w(~x1 ; : : : ; ~xp ) | ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ E p × R, ÌÉÎÅÊÎÏÅ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ.ëÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÓÔÅÅÎÉ p | ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ E p × R, ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ É ÍÅÎÑÀÝÅÅ ÚÎÁË ÒÉ 8 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×; ÉÌÉ (ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ w(~x1 ; : : : ; ~xn ) ÉÚ E p × R :ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 20.6.
ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÓÔÅÅÎÉ1) 8 2R : w(~x1 ; : : : ; ~xp ) = w(~x1 ; : : : ; ~xp );2) 8~x1 ; ~x01 ; ~x2 ; : : : ; ~xp : w(~x1 + ~x01 ; ~x2 ; : : : ; ~xp ) = w(~x1 ; : : : ; ~xp ) + w(~x01 ; ~x2 ; : : : ; ~xp );(4)3) 8~x1 ; : : : ; ~xp ; 8i; j; i < j : w(~x1 ; : : : ; ~xi 1 ; ~xi ; ~xi+1 ; : : : ; ~xj 1 ; ~xj ; ~xj+1 ; : : : ; ~xp ) =w(~x1 ; : : : ; ~xi 1 ; ~xj ; ~xi+1 ; : : : ; ~xj 1 ; ~xi ; ~xj+1 ; : : : ; ~xp ):ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 20.7. ðÕÓÔØ fi1 ; : : : ; fip | ÜÌÅÍÅÎÔÙ E , ÔÏ ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÕÎËÉÏÎÁÌÙ(1-ÆÏÒÍÙ). éÈ ×ÎÅÛÎÅÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ | ÜÔÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ p-ÆÏÒÍÁ:fi1 ^ fi2 ^ ^ fip (~x1 : : : ~xp ) =fi (~ 1 x1 )fi (~ 2 x1 ) :::fi (~x1 )p: : : fi1 (~xp ): : : fi2 (~xp ):::: : : : : : fip (~xp )^ fi2 ^ fip ; 1 6 i1× ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ p-ÆÏÒÍ.ÅÏÒÅÍÁ 20.2.
÷ÎÅÛÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ fi1(5)< < ip 6 n ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓòÁÓÓÍÏÔÒÉÍfi1 ^ ^ fip (ej1 ; : : : ; ejp ), ÇÄÅ 1 6 i1 < < ip 6 n; 1 6 j1 <(1; ÅÓÌÉ ik = jk ; k = 1 : : : p < ip 6 n. ïÎÁ ÒÁ×ÎÁ 0; ÅÓÌÉ (i ; : : : ; i ) 6= (j ; : : : ; j ): äÁÌÅÅ1p1päÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.w(~x1 ; : : : ; ~xp ) =nXi1 =1:::nXip =1x1i1 : : : xpip w(ei1 ; : : : ; eip ) =X16i1 <i2 <<ip 6nw(ei1 ; : : : ; wip )fi1 ^ ^ fip47(~x1 : : : ~xp ):(6)ìÅËÉÑ XXI16.V.99ìÅËÉÑ 21ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.1. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÞÉÓÅÌÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÅÂÑ.f1; : : : ; ng | ÜÔÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÜÔÉÈïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.2.
ÒÁÎÓÏÚÉÉÑ | ÜÔÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ËÒÏÍÅÄ×ÕÈ ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ × ÓÅÂÑ, Á ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ.8 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ; sgn = 1, ÅÓÌÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑËÏÍÏÚÉÉÅÊ ÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÒÁÎÓÏÚÉÉÊ, sgn = 1, ÅÓÌÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉÉÅÊ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÒÁÎÓÏÚÉÉÊ.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.3. ðÕÓÔØ ÄÌÑïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.4. ðÕÓÔØ w | ×ÎÅÛÎÑÑ p-ÆÏÒÍÁ, Á v | ×ÎÅÛÎÑÑ q -ÆÏÒÍÁ. ÏÇÄÁ(×ÎÅÛÎÑÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÜÔÉÈ ÆÏÒÍ) ÔÁËÁÑ p + q -ÆÏÒÍÁ, ÞÔÏw ^ v(~x1 ; : : : ; ~xp+q ) =Xsgn(x(1) ; : : : x(p) ) _ (x(p+1) ; : : : ; x(p+q) );w^v(1)ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍ f1; : : : ; p + q g, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈÕÓÌÏ×ÉÀ (1) < (2) < < (p) É (p + 1) < (p + 2) < < (p + q ).D(x0 ); ~x0 2Rn | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÆÕÎËÉÊ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎËÉÉ Ó×ÏÅÊ) ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ~x0 ÉÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÙÈ × ÔÏÞËÅ ~x0 .ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.5.
ðÕÓÔØïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.6. äÉÆÆÅÒÅÎÉÒÏ×ÁÎÉÅ D | ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ D(~x0 ) × R,ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÓÌÅÄÕÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:1) D(1) = 0;2) åÓÌÉ f 2D(~x0 ); f (~x0 ) = 0, Á g ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ × ÔÏÞËÅ ~x0 É g (~x0 ) = 0, ÔÏ D(g f ) = 0.úÁÍÅÞÁÎÉÅ.f (~x0 + ~x) =g(~x0 + ~x) f (~x0 + ~x) =nXk=1nXk=1nXk=1Ak xk + o(k~xk) = O(k~xk);Ak g(~x0 + ~x) xk + g(~x0 + ~x) o(k~xk) =(2)Ak o(1) ~xk + o(1) o(k~xk) = o(k~xk)) g f 2D(~x0 ).ó×ÏÊÓÔÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ:1) 8 2R D() = 0.2) 8f; g 2D(~x0 ): D(f g) = f (~x0 ) D(g) + g(~x0 ) D(f ).äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.D(f g) = D(f (~x0 ) g(x) + g(~x0 ) f (x) + (f (x) f (~x0 ))(g(x) g(~x0 ))f (~x0 ) g(~x0 )) = f (~x0 ) D(g) + g(~x0 ) D(f ) Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ:(3) ; i = 1 : : : n | ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌÙ, ÒÉÞÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ (ÔÁË ËÁËðÒÉÍÅÒ 21.1.
xi(!xixj=1; ÒÉ i = j;0; ÒÉ i 6= j:48ìÅËÉÑ XXI16.V.99 ; i = 1 : : : n ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ × ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÅÏÒÅÍÁ 21.1. äÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌÙ xiÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÏ×ÁÎÉÊ.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.ðÕÓÔØ f 2D(~x0 ) )f (x) = f (~x0 ) +D(f ) =nPk=1nXf (~x0 )(xkk=1 xk~x0k ) +nXk=1o(1)(x ~x0 )kkx ~x0 k (x ~x0 )k :(4)D(xk ) fx(~xk0 ) Ï 2-ÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ D.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.7. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌÏ×ÔÏÞËÅ ~x0 2Rn .
ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ËÁË T~x0 .D(~x0 ) | ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×G | ÏÔËÒÙÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × Rn . ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÅ| ÜÔÏ T G = f(~x; D): ~x 2 G; D2 T~x g.ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.8. ðÕÓÔØ~x 2 G ÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ×ÎÅÛÎÑÑ p-ÆÏÒÍÁÎÁ T~x0 . ÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÎÁ T G ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ p-ÆÏÒÍÁ. ; i = 1 : : : n. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÉÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ Ë f g ËÁË÷ T~x ÂÁÚÉÓ ÏÂÒÁÚÕÀÔ xxiidxi (x) ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ dxi .PÏÇÄÁ Ï ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ 8 ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ p-ÆÏÒÍÁ w =i1 i2 :::ip dxi1 ^16i1 <i2 <<ip <ndxi2 ^ ^ dxip . úÄÅÓØ ×Ó£ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÞËÉ x (ÄÁÖÅ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÙ).ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.9. ðÕÓÔØ ËÁÖÄÏÍÕïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.10. åÓÌÉ i1 :::ip (~x) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ, ÔÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ | ÎÅÒÅ-ÒÙ×ÎÁÑ, ÅÓÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁ, ÔÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ | Ä×ÁÖÄÙ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÉÌÉÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁÑ.w | ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ.
ÏÇÄÁ| ÜÔÏ ÔÁËÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ p + 1-ÆÏÒÍÁ ÎÁ T G, ÞÔÏïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.11. ðÕÓÔØdw = d(X16i1 <<ip 6ni1 :::ip dxi1 ^ ^ dxip ) =nXi1 :::ipdxk ^ dxi1 ^ ^ dxip :xk16i1 <<ip 6n k=1Xdw(5)úÎÁÞÉÔ dxk ÄÏÌÖÎÏ ÚÁÎÉÍÁÔØ ÍÅÓÔÏ Ï ÏÒÑÄËÕ, ÒÉ ÜÔÏÍ, ÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅÍÅÎÑÅÔÓÑ ÚÎÁË.ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌÁ:1)åÓÌÉ w | Ä×ÁÖÄÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁÑ p-ÆÏÒÍÁ ) d2 w 0.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.d2 w =Xn Xn 2Xi1 :::ip16i1 <<ip 6n k=1 l=1xk xldxl ^ dxk ^ dxi1 ^ ^ dxip :(6)(ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÓÍÅÛÁÎÎÙÈ ×ÔÏÒÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ), ÎÏ ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÎÁË ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÔÏ ÅÓÔØ ÞÌÅÎÙ ÓÏËÒÁÝÁÀÔÓÑ ) d2 w = 0.2) ðÕÓÔØ w | ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ p-ÆÏÒÍÁ, v | ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁÑÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ q-ÆÏÒÍÁ ) w ^ v ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÕÅÍÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ p + q-ÆÏÒÍÁ Éd(w ^ v) = dw ^ v + ( 1)p w ^ dv.49ìÅËÉÑ XXI16.V.99äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.v =P16j1 <<jq 6nbj1 :::jq dxj1 : : : dxjq .
ïÅÒÁÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÌÉ-ÎÅÊÎÁ ) ×ÙÎÏÓÉÔÓÑ ÉÚ ÓÕÍÍ ) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ.w = dxi1 ^ ^ dxip ; v = b dxip+1 ^ ^ dxip+q ;w ^ v = b dxi1 ^ ^ dxip ^ dxip+1 ^ ^ dxip+qn Xbd(w ^ v) = b + x dxk dxi1 ^ ^ dxip ^ dxip+1 ^ ^ dxip+q =kk=1 xknX bdxk dxi1 ^ ^ dxip ^ dxip+1 ^ ^ dxip+q +k=1 xk( 1)pnXk=1bdx ^ ^ dxip dxk dxip+1 ^ ^ dxip+q ;xk i1ÒÉÞÅÍ ( 1)p ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚ-ÚÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË dxk .50(7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
