И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Согласно сказанному выше, каждая из этих кривых будет в то же время и решением исхолной системы (1). Таким образом, заданием поля (3) системы (1) в некоторой области 0 определяется и-параметрическое семейство решений системы (1) такое, й 27) согллсовлнныв гглничныв головня. опгвднлвннв поля 131 что через каждую точку этой области проходит одна и только одна кривая из этого семейства *). Посмотрим, каковы должны быть функции ф,(х, у,, ..., у„) (1=1, 2, ..., п) для того, чтобы система (3) была полем для системы (1), Продифференцировав (3) по х, получаем дф ~д дф иу а=1 т.
е. дфг -1 дф, а=1 Итак, система (1) есть следствие системы (3), если д х+Х д фа=Л(х, Уо, У„. фо, ф„) (1=1, 2,, и) а=1 Таким образом, доказана следующая Теорема. Система первого порядка у',.=ф,(х, у,, ..., у„) (а (х (Ь, 1=1, 2, ..., и), представляет собой поле для системы у,"=Уг(х. уи ..., у„, у',, .... у„'), если функции ф,(х, у,, ..., у„) удовлетворяют следующей системе уравнений с частными производныма: а=! Систему (4) будем называть системой Гамильтона — Якоби "*) для исхолной системы (1). Таким образом, каждое решение системы Гамильтона — Якоби (4) задает некоторое поле для исходной системы (1). ') Обычно поле определяется не как система (3) согласованных между собой в каждых двух точках граничных условий, а как совокупность интегральных кривых системы (1), удовлетворяющих в каждой точке условиям (3), т.
е., иными словами, как общее решение системы (3). Нам представляется, что наше опрелеленне имеет известные преимущества, в частности, прн применении понятия поля к вариационным задачам с частными производными. ь") Связь между системой (4) и данным в гл. 1ч' определением уравнения Гамильтона — Якоби будет выяснена в следующем параграфе. 132 теОРия поля. лостАточные услОВия сильнОГО экстРемумА [Гл. ч! Рассмотрим в качестве примера одно линейное уравнение у" = р (х) у.
(5) Для него система Гамильтона — Якоби сводится к одному уравнению д~Ф дФ +д Ф=Р( )У дх ду т. е. дф ! дф' — + — — =р(х)у. дх 2 ду (6) Совокупность решений такого уравнения зависит от произвольной функции и каждое из них определяет, согласно сказанному выше, некоторое поле уравнения (5). Рассмотрим среди решений уравнения (6) простейшие, а именно те, которью линейны относительно у.
Положим ф(х, у)=а(х)у. а' (х) у + ае (х) у = р (х) у, а'(х)+от(х) = р(х). Получим т. е. Мы получили для а(х) уравнение Риккати. Решив его и положив у'=а(х)у, где 1'=(у1, ..., у„), а Р(х)= е'р!А(х)/~ — матрица. напишем соот- ветствующую (7) систему уравнений Гамильтона — Якоби А=1 А=! (8) Будем опять искать здесь решение, линейное по г', т.
е. имеющее вид А ф!(х, ум ..., у„) =лхя а!Л(х)уа (9) А=! или, в векторных обозначениях, получаем поле уравнения (5), линейное по у. Аналогичным образом можно найти простейшее поле для системы линейных уравнений 'Г'" = Р (х) г', (7) ф 27] сОГлАсОВАнные ГРАничные УслОВВЯ. ОпРеделение пОлЯ 133 Подставив это выражение в уравнение (8), получим ~ а,.а(х)УА+~~ а,.а(х) ~ а (х)у =~~~~ргл(х) у, А-1 А=! 1-1 А=1 т. е.
( — А (х)) 1'+ ~11 (х) У = Р (х) У. 11 Таким образом, функции (9) определяют поле системы (7), линейное по у, если матрица А(х) удовлетворяет уравнению — А (х) + Аз (х) = Р (х1, которое естественно назвать матричным уравнением Риккати. Отметим, котя это нам и не понадобится в дальнейшем, что понятие поля тесно связано с решением краевых задач для системы уравнений второго порядка методом так называемой прогонки. Поясним этот метод нз простейшем примере одного уравнения у" = р(х) у+У(х) (10) с граничными условиями У'(а) = со У (а)+ а1а, у (б)=с,у(б)+ (,. (11а) (11б) Построим сначала уравнение первого порядка у'(х) = а(х) у(х)+ 8(х), (12) (13) Чтобы удовлетворить второму требованию, продифференцируем уравнение (12); получим у" (х) = а(х) у'(х)+-а'(х) у (х)+-~'(х).
Подставив сюда вместо у'(х) правую часть равенства (12), находим у" (х) = [аз(х)+а'(х)) у(х)+р'(х)+а(х) 3(х), откуда ясно, что уравнение (10) представляет собой следствие урав- нения (12), если аз(х)+а'(х) = р(х), 3'(х)+а(х) р(х) = 1" (х). (14) Пусть теперь а(х), р(х) — решение системы (14), удовлетворяющее все решения которого удовлетворяют: 1) граничному условию (11а) н 2) уравнению (10). Для выполнения первого требования нужно положить, очевидно, а (а) = се и р (а) = с( .
134 твогия поля, достаточные головня си.чьного экстгвмгмл [гл. т начальным условиям (!3). Найдя функции а(х) и р(х), мы получаем, таким образом, в каждой точке хв отрезка [а, Ь[ граничное условие у'(хв)= (хв)у(хз)+Р(хв). Этот процесс переноса граничных условий, заданных первоначально при х=а, в каждую из точек отрезка [а, Ь) называют прямой прогонкой. Положив, в частности, х=Ь, получим равенство у'(Ь) = я(Ь) у(Ь)+ ~(Ь), которое вместе с граничным условием (11б) образует систему, определяющую у(Ь) и у'(Ь).
Если эти значения определяются однозначно, то наша первоначальная краевая задача имеет единственное решение, которое теперь можно найти как решение уравнения (12), принимающее при х=Ь полученное нами значение у(Ь). Этот второй этап решения краевой задачи называется обратной прогонкой. Мы рассмотрели случай одного уравнения.
Аналогичный метод можно применить и к системе уравнений второго порядка. Решение краевой задачи (10), (11) методом прогонки имеет серьезные преимушества по сравнению с более традиционным методом, состоящим в том, что сперва отыскивается общее решение уравнения (10), а потом в нем значения произвольных постоянных подбираючсч так, чтобы удовлетворялись граничные условия (11а) и (1!б).
Эти преимушества видны особенно отчетливо в тех случаях, когда приходится при решении задачи прибегать к тем или иным приближенным численным методам. (См. И. С. Б е р е з и н и Н. П. Жидков, Методы приближенных вычислений, ч. !1, стр. 386 — 389.) Совершенно очевидна связь метода прогонки с введенным выше понятием поля системы уравнений второго порядка. Действительно, прямая прогонка и представляет собой не что иное, как построение для уравнения (10) поля, линейного относительно у, а уравнения (14) — это та система обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой сводится система Гамильтона — Якоби (4) в том случае, когда для одного уравнения второго порядка ищется поле, линейное относительно у. (Выше мы рассматривали в качестве примера однородное линейное уравнение и в соответствии с этим искали поле в однородной форме у'(л) = а(х)у(х).
При этом мы получили для функции а(х) уравнение Риккати, совпадающее с первым из уравнений (14).) Мы могли бы строить поле, исходя не из левого конца промежутка [а, Ь[, а из правого; таким образом, в краевой задаче мы фактически имеем дело с двумя полями дчя уравнения (10), одно из которых получается переносом вдоль [и, Ь[ граничных условий (11а), а другое — переносом от Ь к а граничных условий (1!б). Решение краевой задачи, сосчоящей из уравнения (10) и граничных условий 2 28) НОЛЕ ФУНКЦИОНАЛА (11а) и (1!б), — это кривая, являющаяся общей траекторией этих двух полей.
Таким образом, метод прогонки состоит из построения одного поля (прямая прогонка) и затем выбора из его траекторий такой, которая является одновременно траекторией и второго поля. ф 28. Поле функционала Применим сказанное в предыдущем параграфе к вариацнонным задачам. Уравнения Эйлера У вЂ” — Р ~ =О, и' а'х отвечающие функционалу ь ~ Г(х, У1, У,')11х,, а образуют систему и уравнений второго порядка. Для того чтобы выделить некоторое определенное решение этой системы, нужно задать 2п дополнительных условий, которые обычно задаются в виде граничных условий, т. е. соотношений, связывающих значения уг и у',. в концах интервала (а, Ь) (по п условий в каждом из коннов).
Во многих случаях эти граничные условия, естественно, определяются самим рассматриваемым функционалом. Рассмотрим, например, задачу со свободными концами для функционала ~ Г(х, у,, у',.)ах+у<!! (а, ун ..., у„)+у<э!(б, у,..., у ), (1) а отличающегося от рассматривавшихся ранее членами д<!! и в!э1, представляющими собой функции координат концов дуги, на которой рассматривается функционал. Вычислив вариацию функционала (1), получим ь л л л л 1 ',-А,; у (РУ,— — Р, )й111х+ ~ Р д1 + у атил!(~)+ !Ь ~~41й,(б) и 1=1 а 1=! 1=! Приравняв ее нулю и считая, что кривая у! = у,(х) есть экстремаль, получим л !ь л л ,у,' ~, й, ~ + ~ КО,.1й, (и)+ ~~~~ 8'„'1!йг ® = О. 1 1 а ! ! 1-! 136 твогия поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
