И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. равно Те Р' г(иа+г)хт — Тзг(х= 2 Тз д *) дх+ ..., 1 7 диз' е~дх) где многоточие означает члены более высокого (по сравнению с вы- писанными) порядка малости. Мы нашли работу, отвечающую элементу струны. Для всей струны эта работа равна — / иа(х 7)дх. о Сюда нужно еще прибавить работу, затрачиваемую на смещение упруго закрепленных концов. Она разная) 2' л (О, г)+ 2 и (7, г), (3) ') При упругом закреплении конца х = 0 сила, действующая на него в момент б пропорциональна его отклонению от положения равновесия, т. е. равна л,и(0, т). Следовательно, работа, совершаемая прн его перемещении из нулевого положения в положение и (О, Г), равна †' и'(О, Г).
Лналогнчнп 2 для второго конца. гле в, и оя — постоянные. Поэтому потенциальная энергия струны, находящейся в момент времени 7 в положении, описываеиом функцией и(х, 7), равна 1 (7= — ' / и„'(х, г) Их+ — ' и'(О, 7)+ —" ит(7, 7), 156 вавилционныя зьллчи с частными пгоизводными [гл. чп а действие за некоторый промежуток времени [Со, Сс[ имеет вид )[и[= — [ с |ри',(х, с) — Ти'„(х, с)~ссхШ+ 1 Т Р с, о + —" / и~(О, () )с+-'2'--~ ~((, ()а(.
(6) Согласно принципу наименьшего действия, функция и(х, С), описывающая реальное движение струны, должна быть экстремалью функционала (5). Выпишем для этого функционала основное необходимое условие экстремума о1= О. Воспользовавшись полученной в предыдущем параграфе формулой (4) для вариации и тем, что вариация суммы равна сумме вариаций, получим 1 бс=з / / [ — ран(х, с)+Том (х, с)!Ф(х, ~)ссхс(с+ с, о + а, / и (О, Г) ф (О, с ) Ж + оа / и (с, с) ф (с, с) с(с + са с, с .ьС' ~[-,-' ~ — т;, с*. о с с .
о) ь ' ср с*. ос с, юр~ и ю) се с, о (эта вариация отвечает переходу от функции и(х, с) к функции и*(х, с)=и(х, с)+еф(х, с)+ ...). Относительно функции ф(х, Г) мы предположим, что 1с(х' го) Ф(х' ~1) ~0' т. е. будем считать, что в начальный и конечный моменты функ- ция и(х, с) не вариируется. Тогда последнее слагаемое в (6) можно преобразовать так: с, / ~ ( — Тои„(х, С)тс(х, С))ссхссг+ с д с, о + / / д (Ри,(х, с)(с(х. с))ссхсгс = с' с' д = /[Тон„(0, С)(с(0, () — Тон„(с, ()ф(И, С)[асг, и ЗЯ вывод яядвнгний колввлний ствяны, мямвялны и пластинки 157 и затем переписать выражение вариации (6) следующим образом: 87=я| ~ ]с,а(0, Р)+ Тзи„(0, Р)]ф(0, Р)г)Р+ 1с, -+ ~ ]сти(1, Р) — Тел (1, Г)] ф(1, Г)И+ -ГЦ~т, „( .
Ч вЂ” (Л*, ЮМ~( . Ча*аЮ). (Ч 0 ин(х, 7)=а'и„(х, Р), где аз= — ') О. хх Р (8) Это и есть уравнение колебаний струны. Оно представляет собой уравнение Эйлера для функционала с — / ~ (раз(х, Р) — Ти'(х, Р)~г(хН. 0 Пусть функция и (х, Р) удовлетворяет уравнению колебаний струны (8). Для такой функции выражение (7) для вариации 87 сводится к /']с,и(О, Р)-]- Т,и (О, Г)]ф(0, Р)Ж+ и + / ]ааи (Е, Р) — Тзи (Е, Г)] ф (Е, Р) пг .
Это выражение должно быть равно нулю. В силу произвольности ф(0, Р) и ф(1, Р) это требование приводит к двум равенствам а, и (О, Р) + Тзи„(0, Г) = О, ези (1, Р) — Тзи „(Е, Р) = О. Согласно принципу наименьшего действия, это выражение должно быть равно нулю для той функции, которая отвечает реальному движению струны. Пусть сначала ф(х, Р) обращается в нуль на концах, т.
е. при х=О и при х=1. Тогда выражение (7) для 87 сводится к одному двойному интегралу. Приравнивая его нулю, получаем (см. лемму 1' й 5) 158 влнилционныя злдлчи с члстными пгоизводными [гл. чп Таким образом, функция и(х, 1), описывающая колебания струны, должна удовлетворять уравнению (8) и граничным условиям аи(0, 1)+их(0, 1)=0 (а= у 1 той 8и (Е г)+ и„(1, г) = О (р = — — "), о (9,) (9л) связывающим отклонение каждого из концов струны от положения равновесия с направлением касательной к струне на этом же конце.
Если концы струны свободны о), то е, = е = О, и граничные условия (9) принимают вид и (О, Г)=0, и (1, 1)=0, т. е. на свободном конце касательная к струне сохраняет все время то направление, которое она имеет в положении равновесия. Жесткое закрепление концов струны, т. е. граничные условия и(0, 1)=0, и(1, 1)=0, (10) у= йхл, а кинетическая щхо Т=— 2 поэтому для нее действие имеет вид ,/( 2 ) (11) ") Мы называем концы струны свободвыми, если в схеме, указанной в сноске на стр. 154, пружинки отсутствуют. Колечки, с помощью которых струны закреплены иа прнлоых х= О и х=0 в этом случае свободно передвигаются вверх н вниз.
можно рассматривать как предельный случай упругого закрепления их. Лействительно, если считать, что жесткость удерживающих концы струны пружин неограниченно возрастает, то это означает, что а,— »со и ал — «оо, т. е. а — «оо и 8 — » — со. Леля (9,) на а и (9л) на р и переходя к пределу, получаем условия (10). 2. 3 а м е ч а н и е о п р и н ц и п е н а и м е н ь ш е г о д е й с т'в и я. Принцип наименьшего действия широко используется не только в механике, но и в других областях физики: электродинамике, теории поля и т.
д. Вместе с тем следует иметь в виду, что этот принцип, в известном смысле, не вполне верен. Рассмотрим простейшую механическую систему — материальную точку, колеблющуюся вокруг положения равновесия под действием упругой силы (осциллятор). Потенциальная энергия такой материальной точки равна $32) вывод гвлвнвний колзвлний стгяны, мвмвглны и пластинки 159 Уравнение движения осциллятора тх+ 2лх = О. (12) Каждое его решение записывается в виде l 2Л х=Аз1пв(1+и), где ш= агг (13) оно проходит через точку х= О, ~=0 и удовлетворяет условию х(0) = 1.
С точкой (О, 0) сопряжена точка Г = — (в этой точке экстремаль (14) пересекается с каждой из экстремален, удовлетворяющих условию х(0)=0). Так как для рассматриваемого функционала (11) л",у = ги ) О. то при Гзс.. — экстремаль 1 х = — з!и а1 (О <г ~1о) удовлетворяет достаточным условиям минимума (не только слабого, но н сильного). Однако если рассматривать интервал времени, больший чем —, то утверждать, что соответствующая экстремаль обязательно будет давать минимум функционалу (11), нельзя.
Рассмотрим теперь систему л осцилляторов; ее кинетическая энергия записывается в виде квадратичной формы от скоростей л Т= ~ а!ах ха, ь л=! (15) а потенциальная энергия — в виде квадратичной формы от координат л и= ч'; б,„х!х„. ел=! (15) Так как квадратичная форма (15). представляющая кинетическую энергию, положительно определенна, то формы (15) и (16) можно значения постоянных А и а определяются из граничных условий. Уравнение (12) представляет собой уравнение Эйлера для функционала (11). Однако утверждать, что его решение (13) обязательно реализует минимум функционала (11), мы, вообще.
говоря, не можем. ,1(ействительно, рассмотрим, например, решение 1 х = — з!и в!г; 160 влгилционныа задачи с частными пвоизводными [гл. чп линейной заменой переменных одновременно привести к сумме квадратов и), т. е. к виду и и т= чр а,'., и=,'р )ча', 1=! ~=! В этих новых переменных действие записывается так: и )„(!7т — ).
!7!) г(г. ы Напишем соответствующие уравнения Эйлера !)г+)т!7! —— -0 (1=1, 2, ..., и). (17) Это — уравнение движения системы л осцилляторов. Будем считать все )т положительными (это означает, что рассматриваются колебания системы вокруг положения устойчивого равновесия). Тогда решения системы (17) имеют вид 7; (Г) = А! гйп ю! (1+ а!) (1 = 1, 2, ..., а), где А! и а,. — постоянные, определяемые нз начальных условий, а ю! = У)ч. Рассуждения, аналогичные проведенным выше для одного осциллятора, показывают, что отрезок траектории (задается уравнениями вида (17)), временная длина которого не превосходит — , где а=щахюо не содержит сопряженных точек и удовлетворяет всем остальным достаточным условиям минимума.
Однако, если рассматривается интервал времени, ббльший чем —, то гарантировать, что отрезок экстремали, отвечающий этому интервалу, действительно реализует минимум действия, нельзя. Рассмотрим теперь колебания струны. Мы не будем приводить здесь такой анализ, как для одного илн нескольких осцилляторов! а ограничимся следующим элементарным рассуждением. Решение уравнения колебаний струны д'и д'и — =а— 2 др дх' может быть записано в виде и") а(х, 8)=,~~ ~аи(х) з(пми(!+а„), и и) Подробнее об этом см., например, Г. Е. Шилов, Введение в теорию линейных пространств.
*") См., например, И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, М., 1900, ф 20. $32] вывод яялвнзний колявлний стягны, мямввлны и пластинки 161 где а„(х) и ял определяются из начальных н краевых условий, а пч Л Поэтому струну можно рассматривать, в известном смысле, как систему бесконечного числа осцилляторов, имеющих собственные лч ля частоты м„= —.
Но числа — не ограничены сверху, поэтому аналогия с осцилляторами заставляет думать, что для струны нет временнбго интервала, настолько малого, чтобы на нем решение и(х, Г) уравнения струны непременно реализовывало бы минимум функционала, представляющего собой действие для колеблющейся струны длины А Аналогичные рассуждения можно провести и для других систем с бесконечным, числом степеней свободы.
Исходя из изложенных соображений, лучше говорить не о принципе наименьшего, а о принципе стационарного действия, понимая под этим обращение в нуль вариации действия вдоль истинной траектории движения. 3. М е м б р а н а. Рассмотрим задачу о колебаниях мембраны. Обозначим и(х, у, 1) отклонение точки (х, у) мембраны от равновесия в момент времени 1.
Кинетическая энергия мембраны в момент 1 / / ляг(х, у, ()йх ду, о где р — плотность мембраны, а интеграл берется по всей занимаемой мембраной области. Найдем потенциальную энергию мембраны в состоянии, описываемом функцией и(х, у, Г), где 1 фиксировано. Она равна работе, которую нужно затратить для того, чтобы перевести мембрану из положения равновесия и = — 0 в рассматриваемое положение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
