И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Функционал (1) представляет собой бесконечно- мерный аналог квадратичной формы. Естественно поэтому попытаться получить условия положительной определенности этого функционала из условий положительной определенности квадратичной формы с помощью предельного перехода. ") Этот параграф не связан непосредственно с дальнейшим изложением и, при желании, может быть пропущен. Кзк и й 25 он нзписан несколько более конспективно, чем остальной текст книги. $26) связь воловий якови с твогивй квлдглтичных еогм 125 Разобьем отрезок' (а, Ь) на и равных частей точками а=хе, х,, ..., х„=б и рассмотрим квадратичную форму и-1 ~~~~~ Р, ( '+' 1) +Я1Ь~1) Ьх (Ьх = ), где Рг, (11, Ь,— значения функций Р(х), 1З(х) и Ь(х) в точке хг Эта квадратичная форма представляет собой конечномерное приближение функционала (1).
Сгруппировав в форме (2) подобные члены и положив Ье=Ь(а)=0 и Р„=(,2„=0, перепишем ее в виде ~(ф1лх+ 1 1+ 1)Ь1 2:|ЬЬ1 1~ (3) 1=1 1, Таким образом, квадратичный функционал (1) приближенно записывается в виде квадратичной формы от Ь,, ..., И„с матрицей а, И1 ... о о Ь1 а о о (4) 0 0 ... а„, Ь„, где ° 1-1+ Р1 1 дх Рг И1= — — ' дх (1'=1, ..., п), (5) (Е= — 1, ..., л). (6) Симметричная матрица, в которой равны нулю все элементы, кроме стоящих на главной диагонали и на двух соседних с ней диагоналях, называется матрилей Якоби. Квадратичную форму с такой матрицей будем называть формой Я~оба. Выведем рекуррентное соотношение, связывающее главные миноры любой матрицы Якоби. Пусть Ь, 0 ... О а Ь ... О Ья а ... о а, Ь, 0 юг+1 О О ...
Ь а О +, — а О, Ь, ,О, , 2 (8) Сформулируем с помощью этого рекуррентного соотношения условие положительной определенности для квадратичной формы Якоби. Соотношение (8) позволяет определить все миноры матрицы Якоби — один из таких миноров. Разложив его по элементам последней строки, получим 126 втогзя вавихция, достаточныв головня слхвого экстгимтма [гл. ч по двум ее первым минорам О1 и О. Если мы еше положим О = 1 и О, = О, то соотношение (8) будет справедливо при всех 12=0, 1, ..., и — 1, и значения О,, 122, ..., Е)„будут определяться этим соотношением однозначно. Воспользуемся следующим критерием положительной определенности квадратичной формы (критерий Сильвестра): квадратичная форма л ага(,.12 1,2=1 положительно определенна в том и только том случае, если все миноры ац а12 ...
а„, аю аю ац аю ац, а21 а22 агц а„з ... а„, Р2Р1 ... Ра 172 (дх)а+' ~о, З ° -1 -1. дх ' (1=1, ..., п); (10) ч) Непосредственное вычисление показывает, что минор «-го порядка Ва матрицы Якоби с элементами, определяемыми формулами (о) и (б), имеет вид в„= о( — ',). Таким образом, вводимые нами величины У» имеют вид х.в = о (дх). положительны. Применительно к квадратичной форме Якоби этот критерий можно сформулировать так: квадратичная форма Якоби положительно определенна в том и только том случае, если все величины, определяемые рекуррентным соотношением Оа 1 — а ра дза 1р» 1 (4=0, 1, ..., и — 1), и условиями О2=1, О 1=0, положительны. Чтобы получить отсюда критерий положительной определенности квадратичного функционала, посмотрим, во что цреврашается рекуррентное соотношение (8) при л-ьсо.
В нашем случае, когда коэффициенты аа и Ьа определяются равенствами (5) и (6), рекуррентное соотношение, связывающее миноры матрицы Якоби, принимает вид '2 !+Р21 оа+ =(1чад + д ) )а д (9) Непосредственный предельный переход при п — 1 со (т. е. при дх — ьО) здесь, очевидно, невозможен, так как коэффициенты при Оа и Оа 1 при этом обратятся в бесконечность. Чтобы избежать этого, сделаем «замену переменных», положив ~) й 26) связь воловий якови с тяогияй квлдглтичных еогм 127 Тогда рекуррентное соотношение (9) примет вид Р,Р,, РлХлэ, (дк)аэ2 «-1+ л О 1 л-1 л =(,б + — ) ' Р о ... Р Х дх (Ьх)ля ~ (Ьх)' (дх)* т.
е. Х Ял Ьхз+ Р„,Х, + РаХ вЂ” Р Ха, — Рл,Хл, = О. деля это равенство на Ьхя, получаем Х,ал — — '),Р, Х"' Х" —, Х" Х"-' ~=О. (1Ц дх ( л дх а-' ' дх Перейдя здесь к пределу при Ьх — ьО, мы получим дифференциальное уравнение Х(,1 — — „(РХ') = О, (12) т. е. уравнение Якоби.
Условие положительности величин Оа. удовлетворяющих соотношению (9), равносильно условию положительности величин Х„, удовлетворяющих разностному уравнению (11), поскольку множитель РР, ... Р (**)'+' всегда положителен (в силу условия Р(х) РО). Поэтому условие положительности квадратичной формы (3) можно сформулировать так: эта форма положительно определенна в том и только том случае, если величины Хл (л= — 1, О, 1, ..., и), удовлетворяюгцие разностному уравнению(11), условию Х, =0(в которое переходит условие О, = 0) и условию Хз — — Ьх (вытекающему из условия Оз=1), все положительны *). Рассмотрим ломаную чг„с вершинами (а, Х,), (х,, Х,),...,(КХ„); условия Ха > 0 (л = 1, 2, ..., и), Хе = 0 означают, что эта ломаная не пересекает отрезок [а, Ь) оси абсцисс.
При Ьх — ьО разностное уравнение (11) переходит в дифференциальное уравнение Якоби, а ломаная Фㄠ— в решение Х = Х(х) этого дифференциального уравнения, не равное нулю тождественно, удовлетворяющее начальным ") Заметим, что уравнения (11) вместе с уравнениями Х, =О, Х, = Ьх представляют собой систему и+ 2 независимых линейных уравнений с л+ 2 неизвестными. Решение такой системы определено однозначно. 128 втогля влвиьция. достьточныв головня сльвого экстгвмгмл [гл.
ч условиям Л(а) = О, Л'(а) = 1 и не пересекающее отрезка [а, д[ (т. е. не обращающееся на этом отрезке в нуль). Таким образом, при предельном переходе от квадратичной формы Якоби (3) к квадратичному функционалу (1) условие положительной определенности квадратичной формы переходит в следующее условие для функционала. Для того чтобы квадратичный функционал ь ~ (Руд [ ду2) бх е был положительно определен, необходимо и достаточно, чтобы решение соответствующего уравнения Якоби Оу — " (Ру ) = О.
удовлетворяющее начальным условиям у(а) = О, у'(а) = 1, не обращалось в нуль при а (х (д, т. е. чтобы отрезок [а, д[ не содержал точек, сопряженных с а. А это и есть то условие положительной определенности квадратичного функционала, которое было доказано в й 22 (теорема 1). Законность описанного выше предельного перехода можно строго обосновать. Мы, однако, не будем на этом останавливаться.
ГЛАВА У1 ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА В предыдущей главе, рассматривая достаточные условия слабого экстремума, мы ввели важное понятие сопряженной точки. Это понятие вводится наиболее простым и естественным путем с помощью рассмотрения пучка экстремалей. (Тогда сопряжеш.ая точка определяется как точка пересечения данной экстремали бесконечно близкой к ней экстремалью, выходящей из той же самой начальной точки.) Целесообразность рассмотрения не отдельных экстремалей, а некоторых их семейств становится особенно отчетливой при переходе к достаточным условиям сильного экстремума.
Рассмотрение таких семейств экстремален тесно связано с важным понятием поля, с которого мы и начнем эту главу. По-видимому, понятие поля может быть полезно в разных вопросах, поэтому мы сперва сформулируем его в общей форме, непосредственно не связанной с вариационными задачами. $27. Согласованные граничные условия. Общее определение поля Рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка у,'.'= у,,(х, ун ., у„, уп ..., у„'), разрешенную относительно старших производных. Для того чтобы выделить некоторое определенное решение этой системы, нужно задать 2и условий, например, граничные условия вида у,'.=ф,(ун ..., у„) (1=1, 2, ..., п) (2) при двух значениях х, скажем х, и хя.
(Именно такие граничные условия встречаются обычно в вариационных задачах.) Если требовать выполнения граничных условий (2) только з одной точке, то они выделят решение системы (1), зависящее от и параметров. 130 твогия поля. достлточныв ясловия сильного экстгвмтмл [гл. ш Введем следующие определения: Определение 1. Граничные условия у',=ф<'1(уп ..., у.) (1=1, 2, ..., и), (а) заданные при х = х,, и граничные условия у', =ф(г1(уп ..., у„) (1= 1, 2...,, и), ф) заданные при х=хг, называются согласованными мезкду собой, если каждое решенйе системы (1), удовлетворяющее граничным условиям (а), поставленным при х = х,, удовлетворяет и граничным условиям (р), поставленным при х=хг, и обратно").
Определение 2. Пусть при каждом значении х из некоторого сегмента [а, д[ заданы граничные условия у,'. =фг(х, у,, ..., у ), (ю'= 1,2...., и) (3) ") Таким образом, можно сказать, что граничные условия в точке х, согласованные с граничными условиями, заданными в точке х„ заменяют влияние отрезка [х„ хэ[ и граничных условий, имеющихся в точке х .
Во всякой краевои задаче граничные условия — это учет влияния внешнеи среды. Но в каждой конкретной задаче мы можем вопрос о том, что относить к внешней среде, а чтб — к рассматриваемой системе, решить по собственному усмотрению. Например, если речь идет о колебаниях струны (с некоторыми граничными условиями на концах), то можно рассматривать не всю струну, а некоторую ее часть, отнеся остальную ее часть к внешней среде. При этом можно влияние отбрасываемой части струны заменить соответствующими граничными условиями, задаваемыми на концах рассматриваемой части.
причем граничные условия, отвечающие двум любым значениям х, согласованы между собой. Совокупность таких согласованных между собой граничных условий называется полем (отвечающим данной системе (1)). Граничные условия (3), заданные при кзждом х, это система дифференциальных уравнений первого порядка.
Требование согласованности их при разных х означает, что решения системы (3) должны удовлетворять и системе (1), т. е. что система (1) есть следствие системы (3). В силу теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений, через каждую точку (х, у,, ..., у„) той области, в которой заданы функции ф,(х, у,, ..., у„), проходит одна и только одна интегральная кривая системы уравнений (3) (мы будем называть их траекториями поля).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
