И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Теор ем а 2 (Якоби). Пусть 5=5(х, у,, ..., у„, а,, ..., и„) — полный интеграл уравнения Гамильтона Якоби д5 д5 д51 — +Н(х, у, ..., у, —, .... — )=0 дх л' ду1 ' ' дул) и пусть детерминант матрицы 1~ ',",!! отличен от нуля. Пусть, наконец, — и произвольных постоянных. Тогда функции Уг= у~(х "1 ' "л Рь Рл) определяемые соотношениями д5(х, уь ..., Ул л~ "л) дл.
вместе с функциями д Р;= д 5(х, УА(х, из, (37), оь) образуют общее решение канонической системы дуг дН ирг дН их дрг' йх ду;' Приведем еще одно доказательство теоремы Якоби, основанное на использовании канонических преобразований. Пусть 5=5(1, уп .... Ул, и,, ..., а ) 94 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА [Гл. Ру — полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Сделаем в уравнениях Ну~ дН дрг дН дх дрг ' дх ду~ каноническое преобразование, приняв функцию 5(г, ун а,) за производящую функцию, а а,, ..., а„— за новые импульсы.
Пусть р,, ..., ра — новые координаты. Тогда в силу формул (24) $15 имеем д5 д5 — и= и+ —. да;' дх' д5 д ду,' Поэтому для новых переменных канонические уравнения имеют вид — =О, — =О, Иа~ Щ~ дх ' Их откуда а, = сопз[, ~, = сопза вдоль каждой экстремали. Мы снова получили те же самые л первых интегралов д5 дгч системы уравнений Эйлера. Если из них определить у,, ..., у„как функции от д и-от 2л параметров а,, ..., а„, рн ..., ~„и, как и выше, положить р;= — 5(~, у„[х.
ар ~у), аа). д ду~ то мы получим 2п функций у,[х, а,, ..., а„, р,, ..., р„), р~< ° ° ." .' 1 "' 1.) которые образуют общее решение канонической системы дд дН др дх др~ ' Нх ду~ ' Но поскольку функция 5 удовлетворяет уравнению Гамильтона— Якоби, имеем Й=Н+ ~~ =О. гллвл у ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО ЭКСТРЕМУМА До сих пор, рассматривая задачу о нахождении экстремума функционала, мы занимались лишь необходимым условием экстремума, состоящим в том, что вариация функционала на экстремальной кривой обращается в нуль. В этой главе будут изложены достаточные условия слабого экстремума функционалов.
Для нахождения достаточных условий экстремума нам нужно будет ввести понятие второй вариации функционала и изучить ее свойства. Одновременно мы установим и некоторые новые необходимые условия экстремума. Как будет видно из дальнейшего илло>кения, существуют удобные для применения достаточные условия экстремума, весьма близкие к необходимым. Достаточные условия экстремума функционалов, излагаемые ниже, отличаются от приводимых в этой же главе необходимых примерно так же, как достаточные условия у'=О, у" ) 0 экстремума для функций отличаются от соответствующих необходимых условий у'=О, ул)~О.
В 20. Квадратичные функционалы. Вторая вариация функционала Введем некоторые необходимые для дальнейшего изложения общие понятия. Функционал 1[х, у], зависящий от двух элементов х и у (принадлежащих некоторому линейному пространству) называется билинейным, если при фиксированном х он представляет собой линейный функционал от у, а при фиксированном у — линейный функционал от х. Таким образом, функционал 1[х, у] билинеен, если .г[ах,+ух,, у]=ау[хо у]+ р1[ха, у], У[к, ТУ1 +аут] — ТУ!х, У,]+Ы[х, Уа].
96 ВГОРАЯ ВАРиАцив. ЛостАточныв УслОВиЯ слАБОГО экстРВмУИА (Гл. У Полагая в билинейном функционале у = х, получаем а»ыражение, называемое квадратичным функционалом. Билинейный функционал в конечномерном пространстве называется билинейной формой.
Каждая билинейная форма А(х, у) может быть записана в виде .~' а1»1,.»)», где сн Ц...,, („и»11, »)ю ..., »1„— 1, »=1 координаты векторов х и у в некотором базисе. Полагая здесь а у=х, получим квадратичную форму А(х, х)= ~~,'ь а1»»11». 1, »=1 Квадратичный функционал а'(х, х) называется положительно определенным, если l(х, х)) О для любого ненулевого элемента х. П р и м е р ы. 1. Выражение ь Г х(г) у(г) а1! представляет собой билинейный функционал, а ь Г ха(1) а11 а — квадратичный функционал в пространстве С1, ь1. Более общим примером билинейного функционала является Ь у(х, у1=ГА(!) х(!) у(г)г!1, а где А (!) — фиксированная функция. Если А (Г) ь О при всех а (! (К то соответствующий квадратичный функционал ь Г А(Г) ха(Г) а будет положительно определенным.
2. Выражение ь Г (А (!) ха (!) + В (!) х (!) х' (г) + с (г) х'" (!)~ 1(! а представляет собой- пример квадратичного функционала, определен ного для всех функций из пространства В1. 3. Интеграл ь ь Г к (г, г) х (а) у (г) г!и ж, а а $ 20] кВАЛРАтичные ФункциОнАлы. ВтОРАя ВАРЙАция ФункциОнАЯА 97 где К(е, 1) — фиксированная функция двух переменных, является билинейным функционалом в С1, ь1.
Заменив здесь у(1) на х(1), получим квадратичный функционал. Введем теперь понятие второй вариации (второго дифференциала) функционала. Пусть 7[у! — функционал, определенный в каком-либо линейном нормированном пространстве й. В гл. ! мы назвали функционал /[у] лнфференцнруемым, если его приращение ал = У [у+ Ь[ — з [у! можно представить в виде А/=1 (Ь)+а[[Ь[[, где 1,(Ь) — линейный функционал и а — РО при [[Ь]]-ФО.
Величину 1, (Ь) — главную линейную часть приращения функционала У [у] — мы назвали дифференциалом (вариацней) этого функционала и обозначили РУ[Ь!. Мы скажем, что функционал г'[у[ имеет вторую вариацию, если его приращение можно записать в виде ЬУ=1,(Ь)+1,(Ь)+В[]Ь][2, где 1, (ь) — линейный функционал (вариация), 12 (ь) — квадратичный функционал, а р — ьО при [[Ь[! -ь О. Квадратичный функционал 12(Ь) мы будем называть второй вариацией (вторым дифференциалом) функционала /[у] и обозначать Ь27[Ь]. В дальнейшем мы будем предполагать у рассматриваемых функционалов существование второй вариации, не оговаривая это особо.
Вторая вариация функционала (еслн она существует) определяется однозначно. Это доказывается в точности так же, как и однозначность первой вариации (9 3). Легко доказывается следующая Теорема 1. Для того чтобы функционал .1[у] при у=у имел минимум (максимум), необходимо, чтобы при у= уз выполнялось условие 62,/[Ь] > О (< 0) (2) для всех допустимых Ь.
Действительно, в точке экстремума б.г [Ь] = О, поэтому если РУ[Ь! +О, то при достаточно малом [[Ь]! знак выражения Ьу= Ьзу [Ь]+ Щ[Ь [[2 будет совпадать со знаком Рl [Ь]. Пусть РУ [Ь ] е. 0 йри некотором Ьз. Тогда при любом е чь 0 имеем Ьг/ [ВЬ ] = 22РУ [Ь„] ( О, 98 втогля вагилция. достлточнык условия сллвого зкстгкмумл [гл. ч и следовательно, йг' = е [уз+ вйе] — е [ув] ( О при достаточно малом е, т. е. при у=ус минимума нет. Аналогичные рассуждения проводятся и в случае максимума.
Неотрнцательность второй вариации необходима, но, конечно, не достаточна для того, чтобы функционал в [у] достигал на данной кривой минимума. Для получения достаточного условия минимума введем следующее понятие. мы скажем, что квадратичный функционал гг(ь), заданный в некотором нормированном пространстве, сильно положителен, если существует такое постоянное Д > О, что (,(д) > д]]д]]г для всех Ь. Т е о р е м а 2. Для того чтобы функционал е'[у], определенный в нормированном пространстве Е, имел в точке у = ув, в которой ае'= О, минимум, достаточно, чтобы при у = у, его вторая вариация была сильно положительна, т. е. чтобы выполнялось условие Вге' [Ь] > д 1~ 6 1 г, (3) где к = сапа! > О*). Действительно, выберем в настолько малым, чтобы при ]]Ь] < е вели- а чина р в равенстве (1) удовлетворяла условию ~д] < —.
Тогда 2' Ы авг'[ь]+ р]]й]]г > — ])л]]г > О при ]]ь]] < г, к 2 т. е. имеет место минимум. 9 21. Формула для второй вариации. Условие Лежандра Найдем явное выражение второй вариации в случае простейшей зздачи, т. е. для функционала у[у] = ~ Р(х, у, у') г(х, а определенного на кривых у(х) с закрепленными концами у (а) = А, у (д) = В. (2) Дадим функции у(х) приращение й(х), удовлетворяющее условиям й (а) = й (д) = О.
ь) В конечномерном пространстве сильная положительность квадратичной формы равносильна просто ее положительной определенности. Поэтомт функция конечного числа переменных имеет минимум (в точке, где первыи дифференциал равен нулю), если в втой точке ее второй дифференциал положителен. В общем случае сильная положительность есть условие более сильное, чем положительная определенность. 9 21] еогмглл для втогой влгилции. головин лвжандвд 99 Воспользовавшись формулой Тейлора, мы можем представить приращение функционала з'[у] в следующем виде: у[у+ Ь[ — у[у[ = '[ (Г Ь+ Г Ь') дх+ О ь + 1 / [Г Ь2+ 2Г ЬЬ~+Г Ь~~)с~х а где Р „=Г„„(х, у(х)+ВЬ(х), у'(х)+ 8Ь'(х)) ([б[(1) и аналогично определяются Р и Рг г . Заменив Гтю Ггт и Рг г производными Гт„, Гтю, Гг г, взятыми в точке (х, у(х), у'(х)), запишем Ь./ в виде ь У[у+Ь] — У[у] = ~ (Р„Ь+Гг Ь')Фх+ + 2 [ [Г~~Ьа+2Ггг ЬЬ +Г~ ~ Ь )ах+а. (3) Величина а может быть представлена как ъ ~ (егЬ'+ езЬЬ + еаЬ' / г/х; а (3') 3а./ [Ь[ = — / (ГггЬа + 2Ггг ЬИ + Г,; Ь' ))//х.
(4) е Приведем это выражение второй вариации к более удобному виду. Интегрируя по частям и учитывая, что Ь(а)=Ь(Ь)=0, получаем Ь ь ~ 2Г ЬЬ'ах= — ~ ( — Р' )Ьаг/х. из непрерывности производных Г, Р, Г„„следует, что е,, ез, ез-ь0 при [[Ь[[-э О, откуда видно, что е есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с 1[Ь[[а. Первое из стоящих в (3) справа выражений есть 3У[Ь], а второе — квадратичное относительно Ь вЂ” представляет собой 3зУЩ т. е.
вторую вариацию. Таким образом, для фушсционала (1) имеем 100 втовля влгилция. достлточныз тсловия сллвого экстевмгмл [гл. ч Следовательно, формулу (4) можно переписать в виде ь 32/ [И] — ~ (ЯИ2+ РИ~ ) дх а где (5) /[у+И[ — /[у[= ~(ЯИг+РИ' )дх+ ~ (УР-[- [И т)дх, (6) где [1[-ьО и [4[-ьО при )[И)[-+0, Действительно, так как у(х) — экстремаль, то в правой части равенства (3) линейные члены обращаются в нуль, а величина е, даваеь мая формулой (3'), может быть приведена к виду ~ ([Иг+ИИ') дх ь интегрированием члена егИИ' по частям с учетом грзничных условий Ь(а) = И(И) = О.
Формулой (6) мы воспользуемся в й 23 при выводе достаточных условий слабого экстремума. В предыдущем параграфе было показано, что неравенство Игу[И[) 0 есть необходимое условие минимума функционала /[у[. Полученная нами формула (5) позволяет установить некоторые условия неотрицательности второй вариации. Нахождение этих условий основано на следующих соображениях. Квадратичный функционал (5) рассматривается для функций Ь (х), удовлетворяющих условию Ь(а)=0.
При этом условии, если мала производная функция Ь(х) на отрезке [а, И[, то мала на этом отрезке и сама функция И(х). Обратное, однако, неверно: мы можем построить такую функцию И(х), что она сама мала, а сс производная И'(х) велика. Отсюда следует, что в квадратичном функционале (5) слагаемое РЬ' играет основную роль в том смысле, что оно может быть намного больше, чем второе слагаемое а[Из, но не может быть намного меньше его (при Р+0). Поэтому от коэффициента Р(х) в первую очередь зависит, будет ли функционал (5) принимать значения только одного знака илн разных. Сформулируем теперь точно соответствующее утверждение.
Для того чтобы квадратичный функционал У (РЬД+ г гЬ2) дх а (Р=Р(х), Я=Я(х)), (7) 2~ УУ их тг/' 2 Этим выражением для второй вариации мы и будем в дальнейшем пользоваться. Отметим еще следующий факт, вытекающий из формул (3) и (3'). Если у(х) — вкстремаль и у(х)+И(х) — некоторая допустимая кривая, то 9 21] еоемтлл для втовой влеилции, головне лвжлндгл 101 определанный на функциях Ь(х) таких, что й (а) = Ь (Ь) = 0 был неотрицательным, необходимо, чтобы выполнялось условие Р(х) > 0 (а < х < Ь). (8) 3lо ~1+, ') при хо — о < х <хо '[г'о (1 — ') при хь (х (хе+о, й(х) = 0 при всех остальных х. На интервале (хе — о, хе+а) имеем й' (х) = —, Ьг(х) (о. (9) При таком выборе Ь(х) в выражении Е27[й] = 1 Ойгбх+ 1РЬЛбх (10) остается интегрирование по отрезку [хь — о, хе+о].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
