И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. при замене х,, у,, г, иа ф !8) 87 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ х,+а, уг+Ь, г,+с соответственно. Согласно теореме Иетер ($ 16) из инвариантности интеграла к, ( с (х. у; у!)ггх относительно преобразования х*=х, у*,.=!7,.(х, УА, а) Поэтому из инвариантности интеграла (4) относительно преобразования х",. = х,. + а, у*, = ун г*! = г, следует, что л Х дд —. = Сопй, дх! л т. е. ~ р!=сопя(.
Аналогично из инвариантности (4) относительно сдвига вдоль оси у следует, что ~ р' = сова!, а из инвариантности (4) относительно сдвига вдоль оси г следует, что ~~.', р,' = сопя!. !=1 Вектор Р с компонентами Р =э~Ф Р =Хр' Р.= 2 р! называется полным импульсом системы. Итак, мы показали, что если интеграл следует, что соответствующая система уравнений Эйлера имеет первый интеграл Х„' дг' — !7г(х, уь) = сонэ!, ду! где 'Гг(х, УА) д дт сз 88 клноничиский вид зглвниний эйлега [гл. 1ч инвариантен относительно параллельного переноса, то полный импульс' системы не меняется с течением времени.
Это и есть закон сохранения импульса. Заме чан ие. Инвариантность ~ Ьдтотносительносдвига вкакомь либо одном направлении [например, в направлении оси х) влечет за собой, как видно из сказанного выше, сохранение соответствующей компоненты полного импульса системы. 3.
Закон сохранения момента количества движен и я. Предположим, что инвариантен относительно вращения вокруг оси г, т. е. относительно следующего преобразования координат: х*,. = х; сова+у,.в[па, у, = — х„в[па+у,сова, х',= 2, Воспользуемся снова теоремой Нетер. В данном случае Таким образом, из теоремы Нетер вытекает, что » Х[,. г д»'. д»'.
у! — —.х;)= сопв[, дх; ду! т. е. л Х (Ргу, — р'х.) = сопя[, 1=1 Ь этой сумме каждое слагаемое представляет собой з-ю компоненту векторного произведения [р', «,[, гдц«, = [х,, ун з,) — радиус-вектор, а р'=(р', р', р,') — импульс г-й частицы. Вектор [р', гч[ называется моментом количества движения г-й частицы относительно начала координат.
Равенство (5) означает, что сумма г-х компонент моментов количества движения отдельных частиц, т. е. г-я компонента момента количества движения всей системы, есть постоянная величина. Аналогичные утверждения верны и для х- и у-компонент при условии, что ( Ле[! инвариантен относительно вращений вокруг соответствующих осей. 9 19) хвьвненив гамильтона — якози, твоввмь якови 89 Итак, если ~ 1.гГГ инвариантен относительно вращений, то момент количества движения системы с течением времени не меняется. Примеры. 1. Рассмотрим движение материальной точки, притягивающейся по некоторому закону неподвижным центром. В этом случае имеют место закон сохранения энергии (так как Е не зависит явно от времени) и закон сохранения момента количества движения. Импульс при таком движении не сохраняется.
2. Материальная точка притягивается однородной материальной прямой (которую примем за ось г). В этом случае сохраняются следующие величины: а) энергия (так как Е не зависит от времени), б) компонента импульса в направлении оси г, в) момент количества движения относительно оси г. 5 19. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби Рассмотрим функционал ь У= ~Р(х, у,, у',.) 1х, (1) а определенный на кривых, лежащих в некоторой области 6, и предположим, что через любые две точки А, В из 0 проходит одна и только одна экстремаль функционала (1). Величину Ф ь 5= ~ Р(х, уг„у',)ах, (2) ь где интеграл берется вдоль экстремали, соединяющей точки А=(х, уь, ..., уь) и В=(хп у,', ..., у„'), назовем геодезическим расстоянием между этими точками.
5 представляет собой, очевидно, однозначную функцию координат точек А и В. Рассмотрим простейшие примеры. 1, Пусть функционал l означает длину кривой, тогда 5 — расстояние (в обычном смысле) между А и В. 2. Рассмотрим процесс распространения света в неоднородной среде. Скорость света в каждой точке предполагается зависящей от координат точки и от направления о=о(х, у, г, х, у, г). Время, в течение которого свет идет вдоль некоторой кривой от точки А до точки В, равно ь '~у х'+ у'+ г' ь КАНОНИЧЕСКИЙ ЗИД УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА [гл. 1и 'Согласно принципу Ферма свет распространяется во всякой среде' вдоль той кривой, для которой время его прохождения является наименьшим, т.
е. вдоль экстремали функционала (3). Итак, в случае функционала (3) 8 есть время распространения света из точки А в точку В. 3. Рассмотрим механическую систему с некоторой функцией Лагранжа Ь. Интеграл ь взятый вдоль экстремали, проходящей через заданные точки А и В, представляет собой согласно сказанному в й 17 действие, отвечающее переходу рассмзтриваемой системы из одного состояния в другое. Будем считать начальную точку А фиксированной, а точку В переменной.
Тогда 5 будет представлять собой в области б однозначную функцию 5=8(х, ун ..., у„) координат точки В, Выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция 8(х, у,, ..., у,). Вычислим с этой целью ее частные производные — и — (ь'=1, 2...„п), д5 д5 дх ду; Для этого найдем полный дифференциал функции 5, т. е, главную линейную часть приращения ай=Я(х+с(х, у +с(ун ..., уа+ь(у„) — 5(х, у,, „,, у ). Но бВ есть, по определению, разность 71Т! — 7(Т 1, где Т вЂ” экстремаль, идущая из А в точку (х, ун ..., у„), а "(в экстремаль, идущая в точку (х+дх, у,+с(ун ..., у„+с(у„), и следовательно, где за начальную кривую берется экстремаль Т, а начальная точка А остается неподвижной *). Воспользовавшись выведенной в э 11 формулой для вариации (12), получаем ~Ю (х, ун ..., у„) = 37 =,~~ рг3у, — Нйх (все величины берутся в точке В). *) То обстоятельство, что проварнированная кривая Т тоже является экстремалью, здесь не существенно.
ф 19] УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ. ТЕОРЕМА ЯКОБИ 91 Следовательно, д5 — = — Н, дх (4а) д5 =Р; ду~ (4б) где под р;= р;(х, у,, ..., у„) понимается выражение р„, в котором у. — значение производной — в точке В для идущей из А в В дуг йх экстремали, и Н=Н(х, у,, ..., у„, р,(х, у,, ..., у„), ..., р„(х, у,, ..., у„)) тоже является функцией от х, у,, ..., у„. Из равенств (4а) и (4б) получаем, что 5 как функция от координат точки В удовлетворяет уравнению является первым интегралом системы уравнений Эйлера ду, дн ах дрг ' дрг дН йх ду; д5 — = сопз1 Ф дгн вдоль каждой экстремали, *) По этому поводу см., например, Т р и к они, Лекции по уравнениям в частных производных. Это уравнение в частных производных (вообще говоря, нелинейное) называется уравнением Гамильтона — Якоби.
Существует тесная связь между уравнением Гамильтона — Якоби и каноническими уравнениями Эйлера. Именно эти канонические уравнения представляют собой так называемую характеристическую систему для уравнения (б) "). Мы рассмотрим этот вопрос с несколько иной точки зрения, а именно выясним связь между решениями уравнения Гамильтона— Якоби и первыми интегралами системы уравнений Эйлера. Теорема 1.
Пусть 5=5(х, ун ..., у„, и,, ..., аь) — некоторое решение уравнения Гамильтона — Якоби, зависящее от параметров а,...., аь. Тогда каждан иэ производных д (1= 1, 2, ..., й) д5 дт 92 канонический вид гглвнвний эйлзвл 1гл. щ Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам нужно показать, что вдоль каждой экстремали Вычислим эту производную. Имеем ( д5 ) д'5 ~т д'5 !!У/ дх 1 да!/ дхда! +.аа ду/да! дх ' () /=! Далее, подставив 5(х, у,, ..., у„, и,, „, а„) в уравнение Гамильтона — Якоби и продифференцировав полученное равенство по а!, находим а да5 С дН д5 дх да! аей др; ду/да! ' /=! Подставляя это выражение в (6), получаем а /=! а Х д'5 '/У/ ду/да! ах /=1 / да5 7ду/ до, ду/да!1 дх др//' /=! Ыу/ дН Так как — — — = 0 вдоль дх др/ Йх экстремален, то действительно ~ д5) 5=5(х, у,, ..., у„, а, ..., и), зависящее от п параметров, то мы можем согласно сказанному выше написать и первых интегралов д — — 'г! (/=1, 2, ..., и), (7) канонической системы уравнений Эйлера, которых, вообще говоря, достаточно для получения общего решения канонической системы (4).
Действительно, пусть эти первые интегралы независимы, т. е. детер- минант матрицы, составленной из производных, д'5 да! ду» на каждой экстремали. Теорема доказана. Если нам известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. его решение 19) УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ. ТЕОРЕМА ЯКОБИ 93 отличен от нуля. Тогда из соотношений (7) мы можем определить функции Уг = Ую(к им " Ры Р~) положив затем д рь = д 5(х Уь Ул ип ° ° ил) мы получим общее решение канонической системы йу; дН др~ дН йх дрг ' дх ду; ' Итак, мы получили следующий результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
