И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

у+Ь, у'+Ь') — — Ру (х, у+й, у'+Ь') = О. Воспользовавшись формулой Тейлора и учтя, что у(х) — решение уравнения Эйлера, имеем Рууй+Руу й' — — (Р;у й +Рту Ь) = о (й), где о(й) — величина выше первого порядка малости относительно й. Отбросив о(й) и приведя слева подобные члены, получим Но это и есть уравнение Якоби, которое мы выше, пользуясь обозна- чениями (Гуу Г )=() — Ру у — Р 2( их УУ/ ' 2 писали в виде (ей — — „(Рй') = О.

Итак, уравнение Якоби — это дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет с точностью до величин выше первого порядка малости разность между двумя бесконечно близкими экстремалями. Уравнение, которому удовлетворяет с точностью до малых выше первого порядка разность двух бесконечно близких решений некоторого исходного дифференциального уравнения, называется уравнением в вариациях (для этого исходного уравнения *)). *) В общем случае уравнение в вариациях определяется следующим образом. Пусть дано некоторое дифференциальное уравнение Р (х, у, у, ..., уоя) = О (*) и пусть у(х) н у(х)+ Ьу — два его бесконечно близких решения.

Подставив у(х)+ ау в (е) вместо у(х) я воспользовавшись формулой Тейлора, получим (учтя, что у(х) удовлетворяет уравнению (")) Г Ьу+Ру (Ьу)'+ ... + Р (Ю(Ьу)Он+ е = О, ф 231 сопеяженные точки. ИеоБходимое услОВие якОБи 113 Таким образом, уравнение Якоби — это уравнение в вариациях для уравнения Эйлера. Мы определили сопряженную точку (к данной точке а) как точку, в которой обращается в нуль решение уравнения Якоби, удовлетворяющее начальным условиям Ь(а)=0, й'(а)=1.

Теперь мы можем дать другое определение сопряженной точки. Мы выяснили, что разность г(х) = у(х) — у(х) между двумя бесконечно близкими экстремалями, выходящими из одной и той же точки, удовлетворяет условию — — (Рг') + (Ег = о (г), й где о(г) — величина выше первого порядка малости относительно г. Отсюда видно, что у(х) — у(х) совпадает с точностью до величин выше первого порядка малости с некоторым ненулевым решением уравнения Якоби. Поэтому второе определение сопряженной точки можно сформулировать так: Точка х называется сопряженной к точке х=а, если в ней разность между данной зкстремалью у(х) и произвольной близкой зкстремалью у(х), выходящей из той же начальной точки, есть величина выше первого порядка малости по сравнению с (~у(х) — у(х))!.

Можно дать еще и третье определение сопряженной точки, а именно: Точка х называется сопряженной к точке х = а, если она есть предел точек пересечения данной зкстремали у(х) близкими зкстремалями у(х), выходящими из той же начальной точки, при у(х) — у(х) — РО.

Покажем, что это определение действительно равносильно первым двум. Ясно, что если точка х сопряжена к а в смысле последнего определения (экстремали пересекаются), то она будет сопряженной и в первоначальном смысле. Остается проверить, что верно и обратное. Пусть у(х) — рассматриваемая экстремаль, удовлетворяющая где г обозначает остаточный член, представляющий собой величину выше первого порядка относительно Зу и ее производных. Ограничиваясь членами первого порядка, получаем линейное дифференциальное уравнение р,ау+р,,(зу)'+ ... + ~;ы1(ьу)<ю =о, называемое уравнением в вариациях.

Это уравнение определяет при начальных условиях, достаточно близких к нулевым, функцию, представляющую собой главную часть разности двух бесконечно близких решений исходного уравнения ("), отвечающих бесконечно близким между собой начальным условиям. 114 втогля ьлгилция. достлточныв головня сллвого экстгвмтмл (гл, ч начальному условию у (а) = А и пусть у„(х) — экстремаль, выходящая из той же точки а и удовлетворяющая условию у „(а) — у (а) = и. Тогда у„(х) можно представить в виде у „(х) = у (х) + ад (х) + а, (6) где л (х) — решение соответствующего уравнения Якоби, удовлетворяющее условиям Ь (а) = О, л' (а) = 1, а з — величина выше первого порядка малости относительно а. Пусть й(х) =О и пусть р=~/ —. Ясно, что л(х)+О (поскольку Ь(х)фО). Воспользовавшись формулой Тейлора легко проверить, что при достаточно малом а выражение у, (х) — у (х) = пп (х) + о (а) в точках х — р и х+Р принимает значения разных знаков.

Так как р — «О при а-«0, то это и означает, что х есть предел точек пересечения экстремалей у„(х) и у(х) при а — «О, П р и м е р. Рассмотрим геодезические линии на сфере. Это — дуги болыпнх кругов. Каждая такая дуга есть экстремаль функционала, представляющего собой длину линии на сфере. Для каждой точки М нз сфере сопряженной с ней будет диаметрально противоположная точка сферьь Если данная экстремаль вместе с точкой М содержит и диаметрально противоположную ей точку М, то через точку М проходит любая другая экстремаль, проходящая через М (а не только бесконечно близкая к первоначальной). Это связано с тем, что сфера имеет постоянную кривизну. Положение изменится, если рассмотреть, например, близкий к сфере эллипсоид, В заключение этого параграфа приведем сводку всех установленных выше необходимых условий экстремума. Если вдоль кривой У= у(х) функционал ~ Р(х, у, у') с(х а достигает экстремума, то: !.

Кривая у=у(х) является экстремалью, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера (й 4) и à — — Г =О. Фх й 24] достаточные головня сллвого экстеямгмд 115 2. Вдоль этой кривой г'г э (х, у(х), у'(х)))~О в случае минимума и Р чс (О в случае максимума (й 21). 3. Интервал (а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а (й 23). ф 24. Достаточные условия слабого экстремума В этом параграфе мы сформулируем систему условий, достаточных для того, чтобы допустимая кривая у = у(х) реализовала слабый экстремум функционала ь э[у[= / Р(х, у, у)йх (у(а)=А, у(Ь)=В).

(1) а Эта совокупность условий состоит в следующем: 1. у = у(х) является экстремалью, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера и Š— — Р ° = О. их 2. Вдоль этой кривой Р(х)= — Р„„(х, у(х), у (х)) ) О 1 (усиленное условие Лежандра). 3. Отрезок [а, Ь] не содержит точек, сопряженных с точкой х = а (усиленное условие Якоби) ь). Теорема.

Если допустимая кривая у=у(х) функционал( ь ) Р(х у у)ах ь удовлетворяет условиям 1 — 3, то эта кривая реализует слабый минимум данного функционала. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если отрезок [а, Ь] не содержит точек, сопряженных с а, и если на нем Р(х) ) О, то, в силу непрерывности решения уравнения Якоби и функции Р(х), можно указать такой больший отрезок [а, Ь+ е], который также не содержит точек, сопряженных с а, и на котором Р(х) ) О. *) Отметим, что эти достаточные условия весьма близки к рассматривавшимся ранее необходимым условиям (см.

выше). Необходимые условия мы рассматривали по отдельности (поскольку каждое из них само по себе необходимо). Достаточные же условия следует рассматривать в совокупности, так как лишь выполнение всех нх одновременно обеспечивает наличие вкстремума. 116 втогля вагилция. достлточныв головня сллзого экстгвмтмл (гл. ч Рассмотрим квадратичный функционал ~ (РЬ" + ЯЬа) с(х — аа ~ Ь'ьс(х (2) н соответствующее ему уравнение — — 1(Р— аа) Ь'1+ ЯЬ = О. Ы ах (3) Так как функция Р(х) на отрезке 1а, Ь+з1 положительна и, следовательно, имеет на этом отрезке "положительную нижнюю грань и так как решение уравнения (3), определяемое начальными условиями Ь(а) = О, Ь' (а) = 1, непрерывно зависит от параметра а, то при всех достаточно малых значениях а будем иЯетьс 1) Р(х) — аэ ) О, а ( х ( Ь.

2) Решение уравнения (3), определяемое начальными условиями Ь(а) = О, Ь'(а) = 1, не обращается в нуль на полусегменте (а, Ь). Как было показано в Я 22 (см. теорему 1), из этих двух условий следует, что квадратичный функционал (2) положительно определен при всех достаточно малых а. Иначе говоря, существует такое постоянное число с ь О, что ь ь У (РЬ" + ЯЬЯ) ах ) с 1 Ь" ах. (4) ,У1У+Ь) —.У(У)= /(РЬ" +ЧЬЯ)дх+ ~ ((Ьа+ЬЬ'ь) с(х, (6) где )1! и ( й! стремятся к нулю, равномерно на отрезке а (х (Ь при йЬ!~ — ьО. Далее, в силу неравенства Коши — Буняковского х 12 к ь Ьз(х)= ( Ь'с(х) <(х — а) ) Ь" ~Хх <(х — а) ) Ь" г(х, (6) 1а а ь т.

е. Из этого неравенства уже легко следует, что на рассматриваемой экстремали минимум действительно достигается. В самом деле, если у=у(х) — данная экстремаль и у(х)+Ь(х) — достаточно близкая к ней кривая, то по формуле (6) й 21 й 25] головня якови для етнкцнонллов от нескольких етнкцнй 111 Поэтому, если )1(х)( е е н (~)(х)! ( а, то ь ь 16 "+" )" - (1+","') 1 " - (8) Так как е ~ О можно взять сколь угодно малым, если )(й(! достаточно мала, то в силу (4) н (8) получим ь ь ,1(у+я) — У(у1 = ( ( й" + 1;1Л ) ь(л + ~ ((й + 1Д") ь1л > О прн всех достаточно малых !)Л((.

Таким образом, экстремаль у=у(л) действительно реализует слабый минимум (в некоторой достаточно малой окрестности этой кривой) функционала (1). Теорема доказана. Итак, мы установили достаточные условия слабого экстремума в случае простейшей задачи варнационного исчисления. ф 26. Условия Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций Понятие сопряженной точки н связанные с ннм условия Якоби могут быть обобщены на тот случай, когда рассматривается функционал, зависящий от нескольких функций.

В этом параграфе мы изложим применительно к функционалам, зависящим от нескольких функций, те определения и факты, которые в предыдущих параграфах этой главы были изложены для функционалов от одной функции. Здесь мы будем широко пользоваться векторными обозначениями, в частности, рассматриваемый функционал будем записывать в виде у[у) = ~ Р (х, у, у') с~х, а понимая под у вектор (уп ут, ..., у„). В тех случаях, когда переход от одной функции к нескольким не связан с какими-либо затруднениями, мы не останавливаемся на подробностях. Вторая вариация функционала. Условие Лежандра.

Если приращение Ы(л) функционала (1), отвечающее переходу от у к у+В. можно записать в виде бУ(Л) = 1, (Л)+1, (й)+8 ~~ й Р. (2) где р-ьО при !)й!) — ьО, 1,— линейный функционал, а Ез — квадратичный, то квадратичный функционал 1а (л) называется второй вариацией исходного функционала (1) н обозначается 8аУ 118 втогья вьгилция.

Характеристики

Список файлов книги