И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 22
Текст из файла (страница 22)
достлточныв условия сильного экстгимтмл (гл. чь Так как й,(а) и аг(Ь) произвольны, то отсюда получаем *) Р (х, ун у',.) — НО> (х, у,)1 =О, Р (х, у,, у,'.) — д~~)(х, у,.)1 =О. Будем рассматривать граничные условия, отвечающие одному из кон- цов, например х = а. При этом вместо йы> (х, у,) будем писать просто и (х, у;). Положим, как обычно, Р (х, у,, у',.) = р,. (х, у,, у',.) (2) (2') и запишем граничные условия (2) в виде р,(х, ун у,') — нт,(х, уь)1 =О. (3) Эти соотношения определяют у',. (а) как функции от у, (а), ..., ул (а), т.
е. задают на гиперплоскости х=а поле направлений (граничные условия), которое будем записывать в виде у,' (а) = ф, (у). Определен не 1. Пусть дан функционал"*) ь ~ с (х, у, у') ь(х. а получим на левом конце граничное условие Р (х, у, у') — 2Л(у — А)1х ь — — О, т. е. =А т'(х, у, у') 2Л Если теперь поло>нить Л -ь со, то в пределе получим граничное условие у (а) = А. То же самое верво и в случае нескольких функций уь „ у„. '") Ниже мы будем, для упрощения записи, символами у, у' и т. д обозначать вектоРы (Уь ...У„), (У„..., У„) и т д. *) Если й1 1 = д1Ю =О, то получим Р, (х, у,, у,) ~ = Р, (х, у,, у,)1 = О, х=а ~х=ь т. е.
граничные условия для задачи со свободными концами, уже встречав- шиеся в (ь 5. Заметим, что условия закрепления концов можно рассматривать как предельный случай граничных условий (2), (2'), получающихся с помощью добавочных членов.
Действительно, взяв, например, функционал ь г (х, у, у') дх — Л (у (а) — А)ь, и й 28) 137 поли вхнкцион»лл Граничные условия у',. (а) = ф, (у), заданные в точке х= а, называются самосолряженными, если существует такая функцию е (х, у), что (4) Р ° (х, у, ф(у)) = — яу,(а, у). Теорема !. Граничные условия у,'.
=ф,. (у)), „являются само- сопряженными в том и только том случае, если они удовлетворяют соотношениям др;(х, у, ф(у)) др»(х, у, ф(у))! ду, ду, Систему этих равенств мы будем называть условием самосоиряженности. Доказательство. Если граничные условия у;'=ф; (у)~,, самосопряженные, т. е. определяются равенствами (3), то р,(х, у, ф(у))= ну,(х, у)/„„, откуда получаем дрг(х, у, ф(у)) д'д(х, у) др»(х, у, ф(у)) ду» ду~ ду» ду; Обратно, если граничные условия у~ = ф; (у)!.=. таковы, что функции р,(х, у, ф(у)) удовлетворяют условиям само- сопряженности (4), то р, представляют собой (при х= а) частные производные по у, некоторой функции я (у).
Ясно, что„рассмотрев функционал ~ Р (х, у, у') дх+ д (у (а) ) а и приравняв его вариацию нулю, мы придем к исходным граничным условиям у',=ф,. (у)(„,, которые, таким образом, будут самосопряженными. Теорема доказана. Замечание. При и=1, т. е. в случае вариационных задач с одной неизвестной функцией, условия самосопряженности (5) отпадают. Непосредственно ясно, что в случае я=1 любое граничное условие является самосопряженным, 138 твогия поля. достлточные головня сильного экстгзмкмл (гл, ш В предыдущем параграфе мы ввели понятие поля для системы уравнений второго порядка. Сейчас мы сформулируем определение поля для функционала.
Рассмотрим функционал (6) и отвечающую ему систему уравнений Эйлера (7) Мы скажем, что граничные условия у,'. =яп(х, у), заданные при х = х,, и граничные условия у' = фнй(х у) (а) у,'=Ф,(х, у), (8) заданных при всех х, а (х (Ь, называется полем функционала ~ Р(х, у, у')дх, а если а) при каждом значении х зти условия самосопряженны; б) при любых х, ха~(а, Ь1 зти условия согласованы между собой (по отношению к рассматриваемому функционалу). Иначе говоря, полем функционала (6) называется поле системы отвечающих ему уравнений Эйлера (7), удовлетворяющее в каждой точке х условиям самосопряженности. Равенства (8) представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Ее общее решение (т. е. совокупность траекторий поля) есть и-параметрическое семейство экстремалей такое, что заданные при х = х,, согласованы между собой (по отношению к функционалу (6)), если они согласованы между собой по отношению к системе (7), т. е. если каждая экстремаль, удовлетворяющая при х = х, граничным условиям (а), удовлетворяет при х = хг условиям (р) и обратно.
О п р е л е л е н и е 2. Совокупность граничных условий 9 28) 139 полк еункционьль через каждую точку (х, у,, ..., у„) той области, в которой задано поле, проходит одна и только одна экстремаль из этого семейства ь). Укажем теперь эффективный критерий того, что данная совокупность граничных условий у,'=фг(х, у) (г'= 1, 2, ..., и, а (х (д), образует поле функционала. Теорема 2. Для того чтобы граничные условия у,'.=ф,.(х, у), 1=1, 2, ..., п, (8) заданные при каждом х, а (х (д, образовывали поле функиио- нала ь ~Р(х, у, у')бх, а необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства дрг(х, у, ф(х, у)) дрь(х, у, ф(х, у)) дуь ду~ (5) (условия самосопряженности) и дрг(х, у, ф(х, у)) дх дН(х, у, ф(х, у) ) (9) ду, у,'=ф,(х, у) были при а (х (Ь согласованы. Для доказательства этого утверждения подставим в условие (8) вместо функции Н(х, у, ф(х, у)) ") Обычно в вариационном исчислевин полем функционала называется само и-параметрическое семейство зкстремалей(удовлетворяющее некоторым определенным условиям).
Кзк уже было указано (см. сноску на стр. 181), несколько иной подход к этому понятию нам представляется более удобным. (условия согласованности), где р,(х, у, у') = р (х, у, у'), тг а Н вЂ” функция Гамильтона, т. е. л Н(х, у, у')= — Р(х, у, у')+ ч' р (х, у, у')у'. (10) Доказательство. Мы уже показали выше (теорема 1), что равенства (5) необходимы и достаточны для того, чтобы в каждой точке х граничные условия (8) были самосопряженными. Поэтому остается лишь показать, что, при выполнении равенств (5) в каждой точке, равенства (9) необходимы и достаточны, чтобы граничные условия 140 твогия поля.
дост»точныв условия сильного экстгвмумл (гл. т! Так как должны выполняться условия самосопряженности дР, дР у» у! ду! ду» то это равенство можно переписать следуюшим образом: » л у. У +Хф»»т+Х уу д »=! ' »=! (11) Так как » д ' +~а~а д у=! то равенству (11) можно придать вид » » / » Вдоль траекторий поля имеем: ду» =ф» и, следовательно, у=! поэтому вдоль траекторий поля равенство (12) принимает вид Л л »=!» ! т. е. Р,— — Р =О, !'! дх У, (13) а это и означает, что траектории поля направлений (8) суть экстре- мали, т.
е. что это поле есть поле рассматриваемого функционала. ее выражение (10) (заменив в нем у,'. на ф! (х, у) ), а вместо р,(х, у, ф(х, у)) подставим Р ! (х, у, ф(х, у)). Выполнив после этого в равенстве (9) дифференцирования, получим (аргументы для сокрашения записи опускаем) » » » Л »=! 5 281 поле Функционьль 141 Тем самым достаточность сформулированного условия доказана. Так как выкладки, приводящие от (9) к (13), могут быть проведены в обратном порядке, то это условие и необходимо. Теорема доказана.
Заметим, что равенства (9), представляющие собой систему уравнений в частных производных — это, собственно говоря, то, что в 9 27 мы назвали системой !'амильтона — Якоби, В связи с доказанной теоремой сделаем несколько замечаний. Если граничные условия У; =Ф;(х, У) (1=1, 2, ..., п, а (х (Ь), (8) являются согласованными (т.
е, решения системы (8) суть экстремали ь функционала / Р(х, у, у')йх), то проверять их самосопряженность а достаточно в какой-либо одной точке. Это вытекает из следующей теоремы. Т е о р е м а 3. Выражение дрг(х, у, у') дрь (х, у, у') дуь дуг сохраняет постоянное значение вдоль каждой зкстремали. Д о к а з а т е л ь с т в о получается непосредственным вычислением и производной — от выражения (14) вдоль произвольной экстремали, йх Согласно сказанному выше, граничные условия у, '= ф,(х, у) самосопряженны в каждой точке, если они определяются равенствами (х, у, у') = л' (х, »). Поставим следующий вопрос: какие дополнительные условия нужно наложить на функцию д(х, у) для того, чтобы граничные условия, определяемые этими равенствами, были не только самосопряженными в каждой точке, но и согласованными, т. е.
чтобы они представляли собой поле функционала. Ответ дает следующая Теорема 4. Граничные условия у,'.=ф,.(х, у), определяемые при а.(х (Ь равенствами Р (х, у, у')=и (х, у), согласованы, если функция й (х, у) удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби (15) 142' тзогия поля. достлточныв головня сильного экстгвмумл (гл, щ Доказательство. Принимая во внимание, что Рг(» у Ф(х у)) = А'у;(х у) (16) можно уравнение Гамильтона — Якоби (15) переписать в виде дл — Л= — Н (Х, у,, ..., Ул, р,, ...,, л), (17) где р,=р;(х, у, Ф(х, у)). Продифференцировав это равенство по уо получим д'а дН(, у, ..., у„Ф (х, у), ..., Фл(», у)) дх дуг дУ; т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
