И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 24
Текст из файла (страница 24)
!1~ а.. 1ч а 1=1 Экстремаль Т реализует сильный минимум, если разность (4) неотрицательна для любой допустимой кривой [, достаточно близкой (в смысле метрики С) к Т. Это условие будет, очевидно, выполнено, если выражение, стоящее в правой части равенства (б) под знаком интеграла, неотрицательио. Но это выражение представляет собой не что иное, как функцию Вейерштрасса Е(х, у, г, го), в которой вместо я! представлены компоненты поля ф!(х, у), вместо у, — функции у,(х), определяющие произвольную допустимую крииу! вую (, а г, заменены на — '.
ах ' Поэтому экстремаль Т будет давать функционалу (1) сильный минимум, если мы к условиям 1 — 3 присоединим следующее требование: Е(х, у, г, ф (х, у) ) )~ О (6) для любых конечных г, в каждой точке (х, уп ..,, у„) некоторой области 1а, в которой задано поле У,. =г!11(х, У).
Так как функция Вейерштрасса Е непрерывна по х и у, то условие (6) будет выполнено во всех точках, достаточно близких к экстре- мали (, если в каждой точке этой экстремали выполнено строгое неравенство Е(х,у,г, — „))О при всех конечных г.
Заметим одновременно, что ослабленное условие Е[х, у, г, — „~))~О вдоль экстремали ( необходимо для того, чтобы эта экстремаль Т % Зо) достьточныв эсловия сильно~о экстввмэмь 149 давала функционалу (1) сильный минимум. Действительно, если в какой-либо точке экстремума Т выполнено противоположное неравенство Е(х, у, г,У— )<0, то Е(х, у, г, — ) отрицательно и в некоторой окрестности этой аут йх г' точки.
А тогда уже приведенная выкладка (5) приводит нас к тому, что кривую Т можно в этой окрестности изменить так, чтобы полу- ченная из Т в результате этого изменения кривая т удовлетворяла условию ~ с(х У У)йх ~ Е(х У У)йх(0 з Это означает, что на кривой Т минимум не достигается. Итак, к установленным ранее необходимым условиям экстремума (как сильного', так и слабого), перечисленным в 9 24, мы сейчас можем добавить еше следующее необходимое условие сильного экстремума (условие Вейерштрасса). Если экстремаль Т доставляет функционалу ~ Г(х, у, у') йх а сильный экстремум, то вдоль нее (т. е. при у=у(х), у'=у'(х)) при любых г функция Вейерштрасса Е(х,у,г,— ):— л =Р(х, у, г) — Р(х, у, — ) +,~ ( — „' — з,)Р (х, у, — ) г =! неотрицательна.
Вернемся теперь к достаточным условиям сильного экстремума и сформулируем окончательный результат. Теорема. Кривая у;=у;(х) доставляет функционалу ь / Р(х, у, у')йх (уг(а) =Ан у;(д) = Вг) а сильный минимум, если 1) эта кривая является экстремалью, 2) матрица (Р «(х, у(х), у'(х)) ! положительно определенна при а ( х (д, 3) отрезок (а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а, 150 твовия поля. достьточньш головня сильного экстгвмтмл [гл.
ч! 4) вдоль экстремали у, = у,(х) выполнено неравенство Е(х,у,г, — )=— =Р(х, у, г) — Р(х, у, — «)+ ~~~( — "' — г!)Р (х, у, «) > 0 !=1 при любых конечных г+ —. и« их ' Действительно, из условий 2) и 3) следует, что экстремаль у, = у,(х) можно окружить полем и, следовательно, построить интеграл Гильберта. Как уже было сказано выше, условие 4) гарантирует неотрицательность выражения, стоящего в равенстве (5) справа под знаком интеграла в некоторой области, окружающей рассматриваемую экстремаль, а это и обеспечивает сильный минимум функционала. Так как, согласно сказанному выше, функция Вейерштрасса может быть записана в виде 1 %ч — т (ш! — г,) (тоь — гь) Р ° (х, у, г + 9 (ш — г) ), ь, ь=! то условие 4) вьггекает из следующего, более грубого условия: 4') матрица ((Р ° ° (х, у, г)~) длн любых конечных г положительно определенна в некоторой области, содержащей экстремаль у,=у,(х).
Ясно, что это последнее условие влечет за собой не только условие 4), но и 2). В случае п = 1 условие 4') означает, что Рг э (х, у, г) )~ О при всех г и при (х, у), принадлежащих некоторой области, которая содержит рассматриваемую экстремаль, т.,е. выпуклость Р (х, у, г) как функции от г. ГЛАВА ЧП ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В этой главе мы изложим рял вопросов, относящихся к функционалам. зависящим от функций двух нли больше~о числа переменных. К рассмотрению таких функционалов приводят, в частности, задачи механики, относящиеся к системам с бесконечным числом степеней свободы (струна, мембрана и т.
п.). Мы рассмотрим здесь, применительно к таким задачам, принцип наименьшего действия и общие методь1 получения законов сохранения (теорему Нетер), которые в гл. П излагались для систем, состоящих из конечного числа материал ь н ых точек. В 31. Основная формула для вариации функционала в случае фиксированной области Рассмотрим функционал 3(и)=-~ ... ~ Г(х,, ..., х„, и, и,, ..., и )Их, ... йх„, (1) а зависящий от функции и переменных х,, ..., х„и ее частных производных первого порядка, и вычислим его вариацию, считая, что область интегрирования 0 не вариируется, а функция и(х,, ..., х„) переходит в и*(х,, ..., х„)=и(хн ..., х„)+еф(хн ..., х„)+ ..., (2) где многоточие означает члены выше первого порядка малости по е. При этом пол вариацией функционала (1) мы понимаем главную линейную относительно з часть разности У(и*) — У(и).
Вычислим эту разность. Для сокрашения записи будем писать и (х), у(х) вместо и (хн ..., х„), у(х,,..., х„), ах вместо дх1... их 152 влвилционныв злдлчи с члстными пгоизводными [гл. чп и т. п. Получим з'[и*[ — з [и[ = [ [Р(х, и(х)+еф(х), ик (х)+ефк (х),..., ик (х)+ефк (х))— о — Е'[х, и(х), и„,(х), ..., и (х))1г(х= где опять многоточие справа означает совокупность членов выше первого порядка относительно е. Выражение (3) и есть вариация функционала (1).
Поставим следующую задачу, важную для дальнейшего: представить вариацию функционала (1) как интеграл от выражения вида В (х) ф (х) + 41 ч (... ); иначе говоря, мы хотим преобразовать выражение (3) так, чтобы производные ф содержались лишь в такой комбинации членов, к которую можно представить в виде дивергенции. Для этой цели в формулу (3) вместо Вик ф (х) подставим д дРик д [~ик ф(х)) д ф(Х). Получим л л ='./ " дтЫ дХ ~ к ~ф(Х)'~Х+и,/ Х д [Рик ф(Х))11Х. (4) о Л=1 а Эта формула для вариации является основной. Ее значение основано на том, что последнее слагаемое, представляющее собой интеграл от днвергенции, может быть сведено к интегралу по границе л области О.
В результате этого под знаком интеграла, взятого по О, будет стоять выражение, зависящее только от функции ф(х), но не от ее 154 влгилционныв злдлчн с частными пгоизводными !гл, чн В 32. Вариациониый вывод уравнений колебаний струны, мембраны и пластинки В этом параграфе мы рассмотрим применение полученной в 8 31 основной формулы для вариации к выводу уравнений движения некоторых механических систем с бесконечным числом степеней свободы. С дальнейшим изложением содержание этого параграфа не связано. В $ 17 было показано, что уравнения движения для механической системы, состоящей из п материальных точек, могут быть получены из так называемого принципа наименьшего действия, который состоит в следующем: если <7 — потенциальная энергия системы материальных точек, а Т вЂ” ее кинетическая энергия, то траектория этой системы в фазовом пространстве доставляет минимум функционалу ь который называется действием.
В этом параграфе мы рассмотрим применение принципа наименьшего действия к выводу уравнений колебаний (и соответствующих краевых условий) для некоторых простейших систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно для струны, мембраны н пластинки. 1. Струна. Рассмотрим движение струны, т.
е. гибкой материальной нити с линейной плотностью р = сопз1. Предположим, что концы струны х= О и х=1 закреплены упруго, т. е. что при отклонении их от положении равновесия возникает сила, пропорциональная этому отклонению *), Обозначим и(х, Г) отклонение струны от положения равновесия в точке х в момент времени Г. Кинетическая энергия струны равна, очевидно, Т= В l и',(х, Г)йх. / о (2) ') Такое закрепление можно осуществить, наРнс.
8. пример, следующим образом: концы струны закреплены с помощью двух колечек на параллельных стержнях, а сами зтя колечки удерживаются в начальном положении двумя пружинками (рнс. 8). Найдем теперь выражение лля потенциальной энергии струны, находящейся в момент Г в положении, описываемом некоторой определенной функцией и(х, 1) (при фиксированном Г). Эта потенциальная энергия равна той работе, которую нужно затратить для того, чтобы перевести струну из положения 9 32) вывод гглвнвний колввлний стггны, мвмвглны и пластинки 155 равновесия в рассматриваемое положение. Подчеркнем, что струна считается абсолютно гибкой, т. е. вся работа идет на ее растяжение (а не на изгиб). Пусть натяжение струны равно Та=сопя(.
Рассмотрим некоторый элемент струны в двух положениях: начальном и конечном (рис. 9). Мы рассматриваем малые колебания струны, ди поэтому можно считать, что есть малая величина при всех значе- 1/ 7 л Лл -ч дх ниах 7. Работа, которая при этом совершается, равна произведению силы (натяжения струны) Тз на дх путь, который проделывает один из .г лчЗх л' концов рассматриваемого элемента, и на косинус угла между силой натяРис. 9. жения и направлением перемещения. Это произведение равно, очевидно, произведению Т„на удлинение рассматриваемого элемента струны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
