И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Эта работа слагается из работы смещения кран мембраны (который мы будем считать закрепленным упруго) и работы, затрачиваемой на деформацию мембраны. Первое слагаемое равно — ~ а(а)ия(з, 1)~й, 1 /' с где С вЂ” граница мембраны, и(з, Г) — ее отклонение от положения равновесия, а а (а) — коэффициент упругости в точке ж Второе слагаемое может быть ааписано в виде — ' / / (из+из)их с(у.
о Действительно, подобно тому, как работа, затрачиваемая на деформацию элемента струны, равна произведению натяжения на изменение его длины, работа, затрачиваемая на деформацию элемента мембраны, 162 ВАРИАЦИОННЫВ ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [ГЛ ЧП равна произведению натяжения мембраны на изменение плошади этого элемента.
При деформации мембраны элемент площади игхду переходит в [~ 1+и'„+и' г(хг[у. Ограничиваясь в выражении 1Г1+и2+ и' с[хс[у — г1хду главными членами получаем, приращение элемента площади — [и2+ и',) а'х с(у. 1 Работа, совершаемая при деформации элемента мембраны, равна (и2+и2)[„,~у а работа, затрачиваемая на деформацию всей мембраны, есть /(и2 + и2) их с[у. т, р о Таким образом, для мембраны действие имеет вид у[и[=2 [ / (з)й(а, Г)дздГ+ 1 г й с + 2,/,/,/ [ри,'(х.
У, 1) — т [их( ° У. ~)+ иа(х, У. г))[ 'х 'Уг[Т а Воспользовавшись формулой (4) предыдущего параграфа, найдем вариацию этого функционала, считая, что функция и (х, у, 1) переходит в и*(х, у, Т)=и(х, у, Е)+еф(х, у, Т)+ ... Получаем 8.1 = е / / а (з) и (л, ~) ф (а, Г) г[а Ж + с, с +е [ [ / [ — рии(х, у, Ф)+ и а +Т (и„(х, у, Г)+и (х, у, 1))[ф(х, у, 1)г[хг[уй+ l'г д д +е / / / ~дг (Р222(х, У. ОФ(х, У 1)) — д— ("еил(х У,~)Ф(х,у,~))— с, о (Тенг(х, У Т)Ф(х, У г))1гГхг[уаг1. (18) д $321 вывол гвавняний колвзлний статны, мамвваны и пластинки 163 Как и в случае струны, будем считать, что функция ф, определяю- щая вариацию, равна нулю в начальный и конечный моменты (19) ф(х, у, ~о) = ф(х, у, г,) = О. Воспользовавшись формулой Остроградского и приняв во внимание условие (19), мы можем переписать последнее слагаемое в выражении для вариации (18) следующим образом (здесь и далее мы для сокращения записи опускаем аргументы) в виде поверхностного интеграла: ° ~ ~ ра,фдхду — Тоа.фМ~Уу — Тоа,ф~йдх.
(20) а с Так как интеграл ~ ри,фНхду (21) равен нулю (как интеграл по цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси г), а «» г(у + ат ах = Тгди дл . ~. ди дп ~ т Т ди = ~ ~ — — з!п(п, х)+ — — соз(л, х)~дз = ( — дг ,/ ( дп дх ' дл ду ' ) ,/ дл с с где — означает дифференцирование по направлению нормали к Е), ( д дл то окончательно выражение (18) для вариации можно переписать в следующем виде: с Предположим сначала, что на границе мембраны ф=О, т. е. что в граничных точках функция и не вариируется.
Тогда в полученном выражении для 3У остается лишь тройной интеграл, и условие 61=0 приводит к уравнению ал = а' (и „+ и ), где а = 1/ — ' . (23) Г 3У=е / ~ (о(а)и — То д )фс(зШ+ г, с +о / / (Т,(и„„+а ) — рал)фг(хдуШ. (22) 164 влвилционныя злдлчи с члстными пгоизводными [гл. чп Это и есть уравнение колебаний мембраны. Если функция и удовлетворяет этому уравнению, то выражение (22) для аз сводится к э / / (а(з)и(з, ~) — Тэ ' )ф(з, 1)с(зЖ.
и л Приравнивая это выражение к нулю. получаем, в силу произвольности интервала (1а, 1,) и ф(з, Е), что а(з)и(з, С) — Тэ ' =О. Это — граничное условие для уравнения мембраны, отвечаюшее упругому закреплению ее гранины. В частности, если эта граница свободна, то а(з)=— О, и мы получаем ди — =О дп — граничное условие для свободной мембраны; жесткому закреплению границы Отвечает а(з) = со, т. е. условие и(з, ~) =О. 4. П'ластинка. Применим в заключение принцип 'стационарного действия к выводу уравнения и краевых условий для колебаний пластинки. Пусть и(х, у, ~) — отклонение пластинки от положения равновесия в.точке (х, у) в момент времени 1. Потенциальная энергия пластинки определяется ее изгибом, следовательно, она должна выражаться через вторые производные *) функции и(х, у, 1) по прбстранственнйм,переменным х и у.
Далее, выражение для потенциальной энергии должно быть квадратично относительно производных (для получения линейного уравнения колебаний) и не должно зависеть от выбора системы координат. Этим условиям удовлетворяют лишь детерминант матрицы кк кт и квадрат ее следа. Поэтому потенциальная энергия У, деформации пластинки должна записываться в виде интеграла от А(и„„+и )я+ В(ик,.и „вЂ” ит ). Обычно полагают (24) У, = — / / ~(и „+и )я — 2(! — р)(и„и — из Яйхг(у, (2б) о ») Считается, что пластинка «не работает на растяжение», поэтому первые производные в выражение для потенциальной энергии пластинки ие входят.
й 32[ вывод явлвнянйй колвваний сттины, мямввлны и пластинки 165 где й — коэффициент, зависящий от выбора единиц (в дальнейшем мы будем его считать равным 1), К энергии У, нужно прибавить еще энергию внешних сил У(х, у) и р(а) (если такие есть), действующих на поверхность пластинки и на границу с., а также н энергию заданных на границе изгибающих моментов яс(а). Суммарное выражение для этих энергий имеет вид (1 = ~ ~ У(х, у)иссхссу+ / р(з)иана+ / т(а) — „сЬ. КИнетическая энергия пластинки ааписывается, очевидно.
в виде — [ [ и,'сс ссу, о где р — плотность. Таким образом, для действия получаем следующее выражение: У= ~ ~ [ ~ '[ — ((и,+и „)Я вЂ” 2(1 — р)(и„„и — и „) )+ с, 1 о ч с( ' я [Р ~н с ои ~ ч-У (е~а)з' снс Е 4 Заметим, что выражение (26) представляет собой функционал более общего вида, чем те, которые мы рассматривали выше (струна, мембрана), так как подынтегральное выражение зависит от произ- водных неизвестной функции порядка выше первого. Вариацию функционала (26), отвечающую переходу от функции и к функции -вг+еф+ ..., можно представить в следующем виде (промежуточ- ные выкладки мы опускаем): 6с = е / ~ / ~ [Л Ьи+/(х, у) — исср[(сдх ду— о — с" гм — ~ьзс~* — )' ~мю — зи- ю) з.
д( ди с Е где М (и) = — [р с)и+(1 — р)(и „х~+2и х„у„+ и у~)), Р(и)= — би+(1 — 1) — (и„х„х,+и „(л„у„+ ху )+и„' у у) д д й 33] ОснОВнАЯ ФОРИУлА длЯ ВАРНАпии В слУчАВ пввямвнной озллсти 167 в граничные условия. В силу этого в уравнение (27) не входит и коэффициент р,.
Как выше было указано, применительно к пластинке, при отыскании положения равновесия той или иной системы, условие стационарности действия переходит в условие стационарности потенциальной энергии (поскольку для тела, находящегося в положении равновесия, кинетическая энергия равна нулю). При этом устойчивое положение равновесия (а только такие и могут быть реализованы физически) отвечает минимуму потенциальной энергии. В теории упругости для нахождения состояния равновесия упругого тела часто используется вместо принципа минимума потенциальной энергии принцип минимума работы деформации, называемой также принципом Кастилиано. Изложение. этого принципа и доказательство эквивалентности его принципу минимума потенциальной энергии читатель может найти, например, в книге Р. Кур апта и Д.
Г иль берт.а, Методы математической физики, т. 1, гл. ГЧ, 3 11. $ 33. Основная формула для вариации в случае переменной области. Теорема Нетер 1. Постановка задачи. В $31 мы вывели формулу для вариации функционала 1 "Г (-' '' '", "".)" '-.. (1) о считая, что в нем вариируется лишь функция и (а значит, и еЕ производные), а независимые переменные (следовательно, и область интегрирования 6) никак не меняются.
Сейчас мы рассмотрим задачу о нахождении вариации функционала (1) в самом общем случае, т. е. когда вариируется не только функция и (и ее производные), но и независимые переменные хп хя,.... х„. Уточним постановку задачи. Пусть задано преобразование х1 = Фс (хь ..., х„, и, и„..., ., ил, з) (! = 1, 2, ..., Л), (2) и'=йг(хь ..., х„, и, и,п ..., и„, е). (2') Если и=и(х,, ..., х„), то и' можно рассматривать как функцию от х",, ..., х*„. Действительно, из соотношений (2) можно в этом случае выразить хн ..., х„через х,', ..., х'„; подставив эти выражения в (2'), представим и' в виде й= и'(хн ..., х*„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
