И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 27
Текст из файла (страница 27)
168 вавилционныв задачи с частными пвоизводными [гл. чр Соотношения (2) (при условии, что и=и(хп ..., х,)) переводят область 0 изменения переменных х,, ..., х„в некоторую область 0* изменения переменнык хн ..., х*„. Мы предположим, что преобразование (2), (2') при в=О сводится к тождественному преобразованию Введем для упрощения записи сокращенные обозначения: будем ,писать х вместо хп ..., х„и х' вместо хп ..., х'„. Формулы (2), (2') дают воэможность каждой функции и(х) и области 0 сопоставить функцию и'(х') и область 0'. Тем самым интегралу у[и(х)[= ~ г".(х, и, и,„..., и, )йх а ставится в соОтветствии интеграл ./[и" (х')[= / Р(х", и', и*„..., и",)дх'.
о Наша задача состоит в том, чтобы вычислить вариацию функционала (1), отвечающую переходу от х и и(х) к х" и и*(х'), т. е. главную линейную (относительно е) часть разности у[и'(х*)[ —./[й (х)[. Пронллюстрнруем постановку задачи на простом примере, относящемся к функционалам, зависящим от функций одного переменного. Пусть и = и(х) — некоторая кривая Т, лежащая з плоскости (х, и), и пусть рассматриваемое преобразование представляет собой поворот плоскости (х, и) на угол е. При этом каждая точна (х, и) переходит в некоторую ' другую точку (х*.
и'). В частности, каждая точка кривой Т переходит в точку кривой Т', получающейся из данной кривой с помощью поворота. Рис. 10. 2. Формулы для вариаций п е р е м е н н ы х х и и. Рассмотрим прелварнтельно более подробно переход от х к х' и от и к и'. Положим х',= х, +а~у,(х)+ члены высшего порядка (3) м и'(х*)=и(х)+еф(х)+члены высшего порядка.
(3) ф 331 основная еогмглэ для вавилции в слгчлв пвэвмвнной овллсти 169 Здесь, очевидно, эх~ ди' ~ %~=, ° Ф= ) Введем обозначения йх, = еен йи = еф. (4) (4') Нам понааобится еще равность и" (х) — и (х); мы представим ее в виде и*(х) — и(х)= еф(х)+члены высшего порядка по е и положим йл =еф. и" = х мп е+ и соа е. В частности, точка (х, и(х)), лежащая на кривой Т, переходит в точку, лежащую на Т' и имеющую координаты х' = х соа е — и (х) э1п е, и'(х ) = х э!и е + и (х) соз е, поэтому х"=х — еи(х)+члены высшего порядка, и'(х')=и(х)+ех+члены высшего порядка, т. е., в соответствии с (3) и (3'), ~р= — и(х), ф=х, н, значит (см.
(4) и (4')), Ьх = — еи (х), Ьи = ех. То, что вектор, соединяющий точки (х, и(х)) и (х', и*(х*)). имеет именно компоненты — еи(х) и ех, видно и непосредственно из чертежа. Далее, в нашем случае, и'(х) = и'(х'+ еи(х)) = и'(х')+еи* (х') и(х)+ о(е); Прежде, чем двигаться дальше, рассмотрим смысл введенных нами величин йхо Ьи и Ги на указанном выше примере поворота на угол е вокруг. начала координат.
В этом случае каждая точка,(х, и) переходит в точку с координатами х' = х соз в — и э(п е, туб ' вайилционные задачи с частными пгоизводными [гл. чп но так как и' (х') = и'(х) + величина порядка е, то й(х) = и*(х')+аи'(х) и(х)+о(е), 7. е. в данном случае Ьи = е (х + а' (х) и (х) ) !) (х) = х + и' (х) и (х). или Вернемся теперь к общему случаю. Найдем связь между Ьи и Ьи. Имеем и*(х') — и (х) = и*(х*) — и*(х)+ и'(х) — и(х) = и =,'[; —,' ~,()+ь+ ().
!=! ди' ди Так как — и — отличаются друг от друга на величину порядка е, дх! дх! то окончательно е и а'(х*) — и (х) ) ер! (х) — + Ьи = Ьи -[- г — Ьх, ди — — ь 1 ди дх! лЬа дх! !=! 1=! Ьи=йи-[-е~е!и =Ьа+~и„йх, ! х! (6) или Ф = Ф+ 1 'у!и; Для того чтобы вычислить разность 1[и*(х*)[ — У[и(х)[, нам нужно еще сосчитать да' (х') ди (х) (7) дх', дх, Точнее говоря, нам нужно вычислить главную линейную относи- тельно е часть этого выражения. й[ы обозначим ее символом Ьи„, ха (здесь и ниже символ означает равенство с точностью величин выше первого порядка малости относительно е).
Но главная линейная относительно з часть разности й(х*) — и(х) есть Ьи, поэтому $33] ОсновнАЯ ФОРмУлА длЯ ВАРНАции В слУЧАВ НВРеменной ОБДАсти 171 дх) Запишем прежде всего —. Эго нам понадобится не только для дк» ' нахождения 3и„, но еще и для выражения элемента объема области О* «~ через переменные х,, ..., х„. Из формулы (3) получаем, что дк', дт, — =За+а —, х» ' дх» ' где 3с» — О при 1 =- Й. при 1+ х. Далее, отсюда мы получаем, что дх» дк' дх» дх~ ~ дх» ) дх~~ дх» дх*,. ' 3=1 и значит л д д экэ дт~ д — — з дх» дх» л'л дх» дх', (9) Вернемся к вычислению 3и .
Имеем ди" (й) ди (х) дк» дх» д (и' (х*) — и (х*)) д (и (х*) — и (х)) ( ди (х') ди (х') ) дх~» дх» дх» дх» д(и (х*) — и (.е')) д (й (х') — и (х*)) дф (х') . дх» дх» дх» Рассмотрим каждое из стоящих справа трех слагаемых в отдельности. Разность и'(х*) — и(х*) представляет собой величину порядка е, поэтому в первом слагаемом можно дифференцирование по х» заменить дифференцированием по х» (в силу (9) результат от этого изменится на величину порядка еа). Таким образом, вспоминая, что и*(х) — и(х) еф(х), получаем 172 ВАРиационныв зАдАчи с чАстными пгоизводными [гл. чп дф (х') но отличается на величину порядка е от дх» окончательно *): — 1т! ! дх' дх» — По атому дф (х) дх» (1О) Далее л л д [и (х') — и (х)) д ('~т ди (х), 1 д л~ч ди (х) дх» — — У.— (х* — х) -е — У.
ф(х). (11) дх» ~с !' дх! ! ! [ дх» Аы' дх! ! ! 1=! И наконец л (: ) (. Сч дт! ди(х) ' —,— — ) и(х') ~ —,— — ) и(х) — е .т — . (12) дх» дх ) ~ дх* дх» ) » » 1=! Аа дх» дх! Собирая вместе полученные нами формулы (10), (11) и (12), находим (13) дй (х') ди (х) 1 дф ~т д'и дх', дх» ~ дх, ллл дх! дх» / ' Главную линейную относительно а часть разности ди* (х*) ди (х) дх» дх» мы обозначили Зи„ . Пользуясь этим обозначением и обозначениями (4) и (б), мы можем соотношение (13) переписать в таком виде: л + .'а'"Ьй" .
д (аи) (14) 1=! Итак, соберем вместе полученные нами формулы. Имеем х', — х, е р! (х) = йх,, и*(х') — и (х) еф = Ьи, и' (х) — и (х) — еф = йи, л л ф = ф — ~~!, ф!и„, 'т. е. йи = йи — ~ и, йхп !=! л ! ! л) Следует помнить, что а считается функцией от х, т. е. при вычислении — значение и не фиксируется. (К сожалению, несовершенство общедф дх» принятых обозначений для частных производных опять-таки не позволяет пам отразить зто в самих формулах!) 5 33] основная еовмтлл для влвилции в слячлв пвввмвнной очллгти !73 !ди1 где 3 ~ — ! — главная линейная часть выражения (дха 1 ди'(х') ди (х) дхЕ, дхь Для частного примера, приведенного на стр. 169, все эти соотношения легко усмотреть непосредственно из рис.
10. 3. Основная формула лля вариации функционала. Теперь мы уже можем вычислить интересуюшую нас разность !ей = ./]и* (х*)1 — У (и (х)]. Для этого сведем прежде всего в выражении для з'(и*(х)] интегрирование п(е 0* к интегрированию по области О. Так как дх,*. дт! — =3 +з —, дха Еа дхь ' то якобиан ( ' " ") равен (с точностью до величии выше пере!(х„..., х„) вого порядка относительно е «)) и 1+ е~~) ! Поэтому л 0 Е=! — Р (х, н, и „ ..., и ) сЕх. « л « «Е=/ Л,е,,е,.~.е,е «Т,е„, е„,, .е~ те~ ]'е .! а а ! а=! а=! «) Действительно, 1+« — «в дт! две дх, дх, Š— 1+ Е— дт, дт, дхе дхе дтл «в Ох, дтл Е— дх, л =- Д (1+,,'~ )+.(.) Е=! л =1+« ~~ +ОЕ(е) Х~ дт! дх! Е=! Е ... 1+е— дте дтп дх„''' дх дт! Е— дха Воспользовавшись формулой Тейлора и выписывая лишь члены пер- вого порядка относительно е, получаем 174 влеилционные задачи с частными пгоизводными [гл.
чп Выписанные члены представляют собой главную линейную относи- тельно е часть Ы, т. е. вариацию ок функционала /(и). Заменив л здесь би на Ги + ~~.', ик Ьх, и Зик на к ~ к, (йи) + ~.", ик. йх, "~~л (см. (6) и (14)), получим л л л йу= / ~ Р„~3ха+Г„йи+Ри~~~„ик йх +~Р„(йи)„+ а агю а=1 а=! и л и «=1 а=1 (15) Для этого в выражении (15) сумму с~~ ~к йха+ Х Р(йха)к + Х риик йха+ и~а~ и'и, ил к 3хг а=| л=г а лиг 1,а1 'а запишем как *и) л Х д л=г ~~~ ~и (еи) заменим на л л — (ге,, йи) — ~1 — (Гик )йи а=1 к=! *) Иными словами (поскольку интеграл от дивергепции сводится к интегралу, взятому по границе области), мы приводим выражение для вариации к такому виду, чтобы производные от вариаций аи входили лишь з граничные члены.
"и) См. сноску на стр. 172, Как и в рассмотренном в й 31 случае фиксированной области О, поставим задачу: записать вариацию как интеграл от выражения вида и) А(х) йи+б!ч (., ). и 33[ основная еовм)(лл для влвиьции в слтчля пвввмвнной овллсти !75 (аналог интегрирования по частим). Окончательно получаем л л 3»'= / ~~Є— (~)м — Р,, 3и+ ) — (Р„„Ги)+ о »=1 »=1 л .(-» — (Р В )] л*. с)) » 1 Это и есть оснОвная формула для вариации.
Перепишем ее еще раз, подставив вместо йи и 3х» их выражения (5) и (4). Получим л л ))=./'Цл.— д,— „' л.„»-(-г,' —,', 1».„)Н-» ь)]л . ((л Итак, если дан функционал »'[и! = ~ Р(х, и, и»„.. „и, )йх о и дано преобразование х,*= Ф,, (х, и, и»л ..., и,, е), 1= 1, 2, ..., п, и'=)р(х, и, и„„..., и,, е), то вариация Ы функционала з', т. е. главная линейная относи- тельно е часть разности з'[и*(х*)! — У[и (х)! представляется формулой (17), где д (р)(х, и, и»„..., и, )= — Ф)(х, и, и;„..., и,, е)~ и д ф(х, и, и»„..., и, )= — )е'(х, и, и, ..., и», е)1 Заметим, что в том частном случае, когда независимые переменные х) не вариируются, а вариируется только функция и (и ее производные), в форме (16) последнее слагаемое исчезает, и мы получаем несколько более простое выражение л 1 л =/'[['-Х вЂ”:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
