И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 23
Текст из файла (страница 23)
др~ дН (», У1 ' Ул Ф~(х, У), Фл (х, У) ) ( 19 дх ау, а это и есть не что иное, как условия согласованности. Сейчас уже легко усмвтреть связь между введенной нами в 9 27 системой Гамильтона — Якоби, которая для случая вариационной задачи переходит в условия согласованности (9), и уравнением Гамильтона— Якоби (15), рассмотренным еще в 9 19. Для произвольной системы уравнений второго порядка поле представляет собой, как мы видели в 9 27, систему и уравнений вида у,'=Ф,(х, у), где функции Ф;(х, у) удовлетворяют системе Гамильтона — Якоби. Для случая вариационной задачи эта система Гамильтона — Якоби превращается в условия согласованности (9). На поле функционала мы наложили еще условие самосопряженности граничных условий в каждой точке.
Это приводит к тому, что поле функционала определяется уже не и функциями Ф,(х, у), а одной функцией д(х, у), по которой функции Ф;(х, у) определяются посредством равенств рг(х, у, Ф(х, у)) = л'г,(х, у). Функция л(х, у) играет, таким образом, по отношению к полю функционала роль своего рода потенциала. При этом, поскольку для функционала поле определяется уже не и функциями, а одной, то и условия согласованности для такого поля задаются не и уравнениями, а одним уравнением, т. е. система Гамильтона — Якоби заменяется уравнением Гамильтона — Якоби (15). Рассмотрим в (и + !)-мерном пространстве некоторую область 6, и пусть с = (сз, сн ..., сл) — точка, лежащая вне этой области. Рассмотрим, далее, семейство экстремалей функционала ь ~ Р (х, у, у') с(х, а й 28) 143 ПОЛЕ ФУНКЦИОНАЛА выходяших из точки с, и такое, что через каждую точку области 0 проходит одна н только одна экстремаль из этого семейства.
Тем самым в каждой точке (х, у,, ..., у„) области 0 задано направление у,'=ф,(х, у). (20) Определенное таким образом на 0 поле направлений мы назовем центральным полем. Теорема 5. Всякое центральное поле представляет собой поле функционала ь ~ Р(х, у, у')йх Покажем, что это поле направлений совпадает с исходным полем. Тем самым теорема будет доказана, так как исходное поле удовлетворяет условию согласованности (поскольку его траектории — экстре- мали), а поле, определяемое равенствами (22), самосопряженно в каждой точке в силу теоремы 1.
В 9 19 мы уже рассматривали функцию (21) (там мы ее обозначали В(х, уп ..., у„)) и показали, что яу (х, у) = Р ° (х, у, г), где з — вектор, касательный к экстремали, проходяшей через точку (х, у,, ..., у,) (см. стр. 91, формула (4б)). Отсюда видно, что поле направлений, определяемое равенствами (22), действительно совпадает с исходным полем. Мы скажем, что данная экстремаль Т окружена полем, если сушествует такая область О, содержашая экстремаль Т, что во всех точках этой области определено поле рассматриваемого функционала.
причем такое, что данная экстремаль ) является одной нз траекторий этого поля. (23) е (т. е. удовлетворяет условиям согласованности и самосопряженности). 1!Ок азате льс та о. Нужно показать, что поле направлений(20), ' полученное указанным выше способом, при каждом значении х удовлетворяет условиям самосопряженности.
Пусть ов У1 й(х у)= ) р(х. у у')с(х (2! ) ь где интеграл берется вдоль экстремали, соединяюшей точку (с, с,, ..., с„) с точкой (х, у,, ..., у„). Определим в области 0 поле направлений, положив Р (х, у, у')=дг (х, у) (1=1, 2, ..., и). (22) 144 тяогия поля. лостьточные головня сильного экстгемямь [гл. ч1 Из теоремы 5 вытекает важное Следствие. Если некоторая экстремаль [, заданная урав- нениями а — е, у,(а — е) (1=1, 2, ..., и), Из отсутствия на отрезке [а — е, Ь[ точек, сопряженных с а — е, следует, что никакие две экстремали из этого семейства, достаточно близкие к исходной экстремали [, не пересекаются при а ( х < Ь.
Эти достаточно близкие к [ экстремали определяют в некоторой, содержащей (, области 0 центральное поле, окружающее ). 5 29. Инвариантный интеграл Гильберти Пусть 0 — некоторая односвязная область в (и+ 1)-мерном пространстве переменных х, у,, ..., у, и пусть в О определено поле у =Ф (. ° у) (1) функционала /Е(х у у) х. й (2) Как было показано в предыдущем параграфе, поле направлений (1) представляет собой поле функционала (2) в том и только том случае, если функции ф;(х, у) удовлетворяют условиям самосопряженности др,(х, у, ф(х, у)) др (х, у, ф(х, у)) (з) и согласованности дгт (х, у, ф (х, у) ) др~ (х, у, ф (х, у) ) дуг дх Условия (3) и (4) в совокупности означают, что величина — Н(х, у, ф(х, у)) Нх+ ~ р,(х, у, Ь(х, у))с[у,.
(4) г-1 представляет собой полный дифференциал некоторой функции у;=уь(х) (а~(х~(Ь), не содержит точек, соиряженных с а, то эту экстремаль можно окружить нолем. Действительно, в этом случае можно выбрзть настолько малое е ) О, что 1) экстремаль [ можно продолжить на весь отрезок [а — е, Ь[; 2) отрезок [а — е, Ь[ не содержит точек, сопряженных с а — е. Рассмотрим совокупность экстремалей, выходящих из точки с координатами 9 29) ИНВАРИАНТН!!й ИНТЕГРАЛ ГИЛЪБЕРТА в (х, ун ..., у„). Как известно из анализа, эта функция (определенная с точностью до постоянного слагаемого) может быть записана с помощью криволинейного интеграла н(х, ун ..., у„)= ~ — Нг(х+ ~ р!е(уо (5) с 1=! взятого вдоль кривой С, идущей из некоторой фиксированной точки МБ = (хв, ув, ....
у'„') в точку М = (х, у,, ..., у„). Так как под знаком интеграла в (5) стоит полный дифференциал, то выбор кривой С не играет роли; значение интеграла зависит только от точек МБ и М, а не от выбора кривой С. Этот интеграл (5) называется инвариантным интегралом Гильберта. С помощью уравнений поля у' ,= Ф,(х, у) и функции Р, определяющей функционал (1), интеграл Гильберта можно записать следующим образом: У ~ ! ., и' и — Х А1, 1 ! .. ! 1., и] *-Р с с-! + )~~ р (х, у, Ф (х, у) ) агу! (6) 1=1 Итак, окончательно: инвариантным интегралом Гильберта (отвечающим данному полю) называется выражение (6), где фг(х, у)— функции, определяющие поле функционала. Если кривая С, по которой берется интеграл, является одной из траекторий поля, то вдоль нее г(уг=ф!(х, у)дх, и интеграл (6) сводится к интегралу Х" (' ')'х с взятому вдоль этой траектории.
Подчеркнем следующее, важное для дальнейшего обстоятельство. Если Т вЂ” некоторая экстремаль, являющаяся одной из траекторий поля, то интеграл Гильберта позволяет значение функционала (2) для этой экстремали записать в виде интеграла, который можно брать по любой кривой, соединяющей концы экстремали Т. 14б теоеия поля. достаточные головня сильного экстгемэмл [гл. и! В 30. функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума О п р е д е л е н и е. Пусть дан функционал ~ Р(х, у, у')дх.
а Функцией Всйерштрасса Е(х, у, г, ш) этого функционала называется следующая функция Зп+1 переменных: Е(х, у, г, ш)=Р(х, у, ш) — Р(х, у, г) — ~(ш! — г!)Р (х, у, г). !=1 ! (2) Таким образом, функция Вейерштрасса представляет собой разность между значением функции Р (рассматриваемой как функция последних и аргументов) в точке го и первыми двумя членами ее разложения Тейлора с центром в точке г. Отсюда видно, что функция Вейерштрасса может быть записана в виде Е(х, у, г, ш)= — г (и! — г)(сэь — гь)Р» (х, у, а+0(ш — г)), 1 ьч 2 лЬь' У!Уь г, ь-! (3) т. е. как остаточный член формулы Тейлора.
При и = 1 функция Вейерштрасса допускает следуюшую наглядно- геометрическую интерпретацию: рассмотрим Р(х, у, г) как функцию от г. Тогда Р(х, у, ш) — Р(х, у, г) — (ш — г) Ре (х, у, г) представляет собой расстояние (по вертикали) от кривой, изображаюшей функцию Р(х, у, г) до касательной к этой кривой, проведенной через фиксированную точку этой кривой. Целью данного параграфз является установление достаточных условий сильного экстремума для функционала ~ Р(х, у, у')дх. ь Напомним (см.
Я 24 и 25), что для достижения слабого экстремума достаточна следуюшая совокупность условий: 1) кривая у, = у,(х) является экстремалью, 2) вдоль нее матрица ( Р 1! положительно определенна, г!гь~ 3) отреаок [а, д[ не содержит точек, сопряженных с и. 147 % зо! ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА Каждый сильный экстремум является одновременно и слабым экстремумом, но, вообще, говоря, не наоборот, поэтому достаточные условия для сильного экстремума естественно искать следующим образом: «взять за основу» приведенные выше условия и затем дополнить их так, чтобы получить совокупность условий, обеспечивающих наличие не только слабого, но и сильного экстремума. Для нахождения этих дополнительных условий напомним прежде всего, что отсутствие сопряженных точек на рассматриваемой экстремали у, = у,(х) позволяет окружить эту экстремаль полем функционала (1) (следствие из теоремы б й 28).
Далее, по этому полю у, '=ф(х, у) можно согласно 9 29 построить инвариантный интеграл Гильберта л (» (., » Н*, (((-К ((*, л Р„(, » ((., »((~ » .~- с (' ! л +~ Р ° (х, у, ф(х, у))(1у!. (=! можно представить в виде интеграла Гильберта, взятого по кривой (.' л 1»(.. ». » (»*= 7 (»(», » (( — д ь» ( . », ((~ » -» ! т + ~ Р (х, у, ф)Фу(, (=! запишем разность / Р (х, у, у')с(х — / Р (х, у, у')с(х (4) Сравним теперь значение рассматриваемого функционала на данной экстремали у( = у((х), обозначим ее 7, с его значением на произвольной кривой (, заданной уравнениями у, = у((х) и удовлетворяющей граничным условиям.
Воспользовавшись тем (см. конец 9 29), что величину 148 теОРиЯ поля. ЛостАточные УслозиЯ сильнОГО экстРемУмА [Гл. ч! следующим образом: / Е(х, у, у')е[х — ( Е(х, у, у') ах = ~ Е(х, у, у') е(х— 1 ! л л — Е(х, у, ф) —,«~ ф1Е ° (х, у, ф) ~ дх+ ~Е ° (х, у, ф)ду! = ! 1=1 1=1 ь [ л - [ [л !., 1. 1! — л 1*, ~, 11-ь ~ !ь - ~ За„ !.. ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
