И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 19
Текст из файла (страница 19)
достьточныз головня сллзого экстгвмтмь [гл. ч (1,(Ь) представляет собой при этом, очевидно, первую вариацию функционала (1)). Применив формулу Тейлора, легко получаем, что при Ьг(а) = Иг(д) = О (т. е. в случае закрепленных концов) вторая вариация функционала (!) имеет вид ь| ь в ! ! ьг - — ' / [ г, г, „чч-ь д г „а,а',-~- г, г,,ж~',) г, !г! г, ь=! !,ь=! Полагая Ь=(Ь, И,, ..., Ь„) и рассматривая матрицы Гхю Г, Гт т, составленные из производных Г, Г ., Г как линейные операторы, мы можем пере!!та !те гть писать выражение (3) в следующей компактной форме: РУ[И[=О [(Г„И, Ь)+(Г„,Ь ~)+(Г„,, ~,;)[йх.
а Интегрируя по частям *), приведем выражение второй вариации функционала (1) к виду ь 1 [(РЬ', Ь)+ЯЬ, Ь)[йх, ь где 1 1! й 2 тт' ~ 2~ хх йх тт)' Как и в случае одной неизвестной функции, легко проверить, что в квадратичном функционале '[ [(РИ', Ь)+ЯЬ, Ь)[с[х а (4) Ь (а) = Ь (Ь) = О, *) Легко проверить, что обычная формула интегрирования по частям справедлива для скалярных произведений. «основной вклад» дает член (РИ', Ь'), точнее говоря, верна следую- щая теорема: длн того чтобы квадратичный функционал (4) при- нимал неотрицательные значения для всех И(х) таких, что й 25) ясловия якови для еянкцион»лов от нвскольких етнкций 1!9 необходимо, чтобы квадратичная форма (РИ', И') не принимала отрицательных значений.
У с л о в н е Я к о б и. Напишем теперь для квадратичного функционала (4) систему уравнений Эйлера дл„л; —,' ~~л„а~)-о 1ь=~,ь,...,,» 1Ы 1=1 или, в сокращенных обозначениях, ОИ вЂ” — (РИ.') = О. их Здесь О1» и Є— элементы матриц Р и О соответственно. Систему (5) уравненйй Эйлера для квадратичного функционала, представляющего собой вторую вариацию функционала (1), назовем системой Якоби этого исходного функционала. Определение !. Пусть »1»=(»ц, Ицо ..., И,л), (6) Ил =(И„» „, ..., „л) — решения системы (5), удовлетворяющие соответственно начальным условиям Ьп1(а) = (О, О, ..., 0), (7а) ЬО1'(а)= (О, О, ..., 1, .
„О) (7б) (т. е. ИО>(а) образуют строки нулевой, а Иыр (а) — единичной матриц). Точка х называется сопряженной с точкой х = а, если в ней обращается в нуль детерминант Ь1, (х)»ы (х) ... И,л (х) »гц (х) »22 (х) ... И,л (х) (8) Ьл!(х) Иля (х) ' ' ' Илл(х) Справедлива следующая Теорема 1. Если отрезок (а, И) не содержит точек, сопряженных с а, и матрица Р положительно определенна, то квадратичный функционал (4) положительно определен. Доказательство этой теоремы проводится по тому же плану, что и доказательство теоремы 1 9 22.
Пусть В' — произвольная 120 втовля ваеилция. достлточныв головня славого экстгвмтмл (гл. ч дифференцируемая матрица, удовлетворяющая условию самосопряженности Тогда ь ь Ь / — „(ЮЬ, Ь) ах = / (В" Ь, Ь) + 2 ~ (1г'Ь, Ь') = О а й * а для всякого Ь, удовлетворяющего граничным условиям (7а). Поэтому мы можем к выражению, стоящему под знаком интеграла (4), прибавить (1Р"Ь, Ь)+2(Ж'Ь, Ь'), не изменив значения этого интеграла. При этом получим /((РЬ', Ь')+ (ЯЬ, Ь)+2(В'Ь, Ь!)+(Ж"Ь, Ь)) Их.
О Постараемся теперь подобрать матрицу йт так, чтобы выражение, стоящее в (9) под знаком интеграла, стало полным квадратом. Для этого достаточно потребовать, чтобы матрица 1Р' удовлетворяла следующему уравнению: В' — 1т'Р 'Ф'+9=0, (10) которое мы назовем «матричным уравнением Риккати». Действительно, при этом подынтегральное выражение в (9) приводится к виду (РЬ', Ь')+2(ФИ, Ь')+(%Р ~)УгЬ, Ь), т. е (Рч*Ь',4-Р 'тЬ, Рч*Ь'+Р ьиЬ') (так как Р— положительно определенная симметричная матрица, 'И то Рд существует, является симметричной и положительно определенной и имеет обратную матрицу Р ~~.
Повторив рассуждения, проведенные в случае скалярной функции Ь(х) (стр. 10б), можно показать, что РжЬ +~ ь(Р'Ь не может быть равно нулю при всех х, а ( х ( Ь, если только ЬфО. Поэтому функционал (9), а значит и (4), принимающий те же значения, что и (9), положительно определенный. Наконец, если отрезок (а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а, то в матричном уравнении Риккати (10) можно сделать замену, положив (р = —, и'и-'. (!1) Получим (12) ф 25] головня якови для егнкционллов от нвскольких егнкций 121 Это — матричная форма системы Якоби.
Решение уравнения (12), удовлетворяющее начальным условиям У(0)=0, У'(0)=Е, ~ [(Рй', И')+Яй, И)1 дх, а где Р— положительно определенная симметричная матрица, положительно определен для всех И(х) таких, что И(а) = И(Ь) =О, то отрезок (и, Ь1 не содержит точек, сопряженных с а. Доказательство этой теоремы опирается, как и в случае одной неизвестной функции, на следующую лемму: Лемма. Если й(х) =(й,(х), ..., И„(х)) — решение системы (5), обращающееся в нуль в точках а и Ь, то ь ~ 1(РИ', И')+(1ей, й))их= О. а Ее справедливость вытекает из равенства ь ь / ( — — „(Рй')+()И, й)дх = /1(РИ', И')+Яй, И))дх, а а получающегося интегрированием по частям с учетом граничных условий для И. Далее доказательство теоремы 2 проводится следующим образом. Рассмотрим положительно определенный квадратичный функционал ь ('((!(Рй, И)+(Ой, И)1+(1 — В)(й, И)) дх.
а (13) и есть система (6) решений уравнений (5) с начальными условиями (7). Если нет сопряженных точек, т. е. детерминант (8) не обращается в нуль на отрезке (а, Ь), то по формуле (11) находится матрица (Р', с помощью которой выражение, стоящее под знаком интеграла в функционале (4), приводится к сумме квадратов. Это означает положительную определенность функционала (4). Теорема доказана.
Теорем а 2. Если квадратичный функционал 122 втозая вагилция. достаточныи головня славого экстгвмтмл [гл. ч Ему отвечает система уравнений Эйлера (4=1, 2, ..., л), (14) которая при 1=1 переходит в систему (5), а при 1=0 — в систему Д" =О.
) [(РК, д')+(Ягг, л)[пх а ((РИ', 1г) ) 0) положительно определен в том и только том случае, если отрезок [а, 5[ не содержит точек, сопряженных с а. Все сказанное выше относилось к квадратичному функционалу. Вернемся теперь к произвольному функционалу вида ь (15) и рассмотрим некоторую его экстремаль. Точку х, сопряженную с а по отношению к квадратичному функционалу, представляющему собой вторую вариацию данного Предположим, что на отрезке [а, Ь) существует точка х, сопряженная с а, т.
е. такая, в которой обращается в нуль детерминант (8). Это равносильно тому, что найдется линейная комбинация решений (6), не равная нулю тождественно и обращающаяся в нуль при х=ха. Далее, предположив, что система (14) имеет ненулевое решение, обращающееся в нуль в некоторой точке (х, 1), где а с. х ( К и повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2 $ 22, получаем, что наличие такой точки противоречит положительной определенности функционала (13). В частности, при 1 = 1 получаем, что нетривиальное решение системы (5) не может обращаться в нуль при а ( х ( Ь. Наконец из леммы вытекает, что при условии положительной определенности функционала (4) точка 5 тоже не может быть нулем какого-либо нетривиального решения системы (5). Тем самым доказательство заканчивается.
Те же самые рассуждения показывают„что если от функционала (4) потребовать лишь неотрицательность (а не положительную определенность), то при этом ни одна из внутренних точек отрезка [а, Ь[ не может быть сопряженной с а. Соединив теоремы 1 и 2, получаем следующий результат. Квадратичный функционал 3 25) головня якови для этнкционллов от нвскольких эянкций 123 функционала, мы будем называть сопряженной с а и по отношению к функционалу (15), а систему уравнений Эйлера для второй вариации назовем системой Якоби данного функционала.
Так как неотрицательность второй вариации есть необходимое условие минимума для любого функционала, то с помощью только что сформулированного следствия непосредственно получается Т е о р е м а 3 (необходимое условие Якоби для функционалов, аависящих от нескольких функций). Для того чтобы экстремаль у,=у;(х) (1=1, 2, ..., и), доставляла минимум функционала ь ~ Р(х, у, у')ах, а необходимо, чтобы интервал (а, д) не содержал точен, сопряженных с а.
Мы определили точку, сопряженную с а, как ту точку, в которой обращается в нуль детерминант, составленный из и независимых решений системы Якоби, выходящих из данной начальной точки. Этому основному определению равносильны следующие два, в формулировке которых участвуют лишь экстремали рассматриваемого функционала (12) (а не решения системы Якоби). О п р е д е л е н и е 2. Пусть из начальной точки выходит п экстремалей (ун(х), уа(х), ..., У„(х)) (1=1, 2, ..., и) под близкими между собой, но линейно независимыми направлениями. Точка х называется сопряженной с а, если в этой точке детерминант Уп (х) Ую(х) ... У„(х) У22 ( ) У22 (х) ' ' ' Угп (х) Улг (х) Уп2 (х) Улп (х) представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при а ( х ( х. О п р е д е л е н и е 3.
Точка х называется сопряженной к а, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки и бесконечно близких к данной экстремали, такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль и этя точки пересечения имеют точку х своим пределом. Эквивалентность этих определений устанавливается с помощью рассуждений, аналогичных проведенным в случае одной функции(3 24) 124 втогля влгилция. достлточныз головня сллзого экстгвмямл (гл.
ч Д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я. Сформулируем в заключение совокупность условий, достаточных для того, чтобы кривая у(х) = (у,(х), у,(х), ..., у„(х)) доставляла функционалу ь У Р (х, у, у') вгх а слабый минимум. 1. Данная ° кривая является экстремалью, т. е. удовлетворяет системе уравнений Эйлера à — — Р ° =0 (1=1, 2, ..., и). 2. Матрица, составленная из производных ге ° Уггл положительно определенна при а (х (Ь. 3. Отрезок (а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а. Доказательство достаточности этих условий опирается на теорему 2 настоящего параграфа и проводится аналогично доказательству достаточности соответствующих условий для случая одной функции. ф 26. Связь условий Якоби с теорией нвадратичиых форм в конечиомериом пространстве *) В й 22 было доказано, что квадратичный функционал ~(Рй" +абаз))ал (Р(л) > 0) а положительно определен для всех й(х) таких, что Ь(а)=Ь(Ь)=0, в том и только том случае, когда отрезок (а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
