И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вместе с тем она должна удовлетворять условию л'(л)+ — й(х) =О, Р откуда, положив х=а и вспомнив, что й(а)=0, получаем й'(а)=0. Но, в силу теоремы единственности для дифференциальных уравнений решение (3), удовлетворяющее условиям л(а) = л'(а) = О, есть тождественный нуль. Это означает, что функционал (6) — положительно определенный. Остается показать, что при отсутствии на отрезке [а, Ь[ сопряженных с а точек уравнение (5) имеет решение, определенное на всем этом отрезке. Это уравнение представляет собой так называемое уравнение Риккати.
Заменой переменных его можно свести к линейному уравнению второго порядка. Действительно, положив и' ш= — — Р, и (7) где и — новая неизвестная функция, мы получим уравнение — — (Ри')+ 9и = О, Н Нх *) Если отрезок [а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а, то, в силу непрерывности зависимости решения уравнения от начальных условий, найдется столь малое а > О, что отрезок [а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а — а. Тогда решение, удовлетворяющее начальным условиям Д (а — е) =О, Д'(а — е) = 1, ие обращается в нуль на отрезке [а, Ь).
т. е. уравнение Эйлера для функционала (2'). Если на отрезке нет точек, сопряженных с а, то это уравнение имеет решение и(х), не обращающееся в нуль на отрезке [а, Ь) е), а тогда существует и определенное на всем отрезке [а, Ь) решение уравнения (5), определяемое формулой (7). й 22] исследовАние кВАЛРАтичного ФункциОнАлА 107 Итак, если отрезок [а, Ь] не содержит точек, сопряженных с и, то функционал (2') положительно опредетен. Теорема доказана. Приведение квадратичного функционала ь ~ (РЬ' +1ЕЬг) с[х а к виду (6) представляет собой континуальный аналог приведения квадратичной формы к сумме квадратов.
Отсутствие на отрезке [а, Ь] сопряженных точек — это аналог известных условий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. (Подробнее об этом будет сказано в й 26.) Теорема 1 представляет собой, собственно говоря, реализацию той идеи Лежандра, о которой мы упоминали на стр. 102. Покажем, что отсутствие на отрезке [и, Ь] сопряженных точек не только достаточно, но и необходимо для положительной определенности функционала ь 1 (РЬ" + ОЬЕ) с[х.
а Теорема 2. Если квадратичный 4ункционал ь ] (РЬ' + Ш)йх, а где Р(х).Р 0 (и (х (Ь), положительно определен для всех Ь(х) таких, что Ь (а) = Ь (Ь) = О, то отрезок [и, Ь[ не содержит точек, сопряженных с и. Идея доказательства состоит в следующем. Мы строим семейство положительно определенных квадратичных функционалов, зависящее от некоторого параметра 1, которое при г=! дает наш функционал (2), а при 1 = 0 — простейший квадратичный функционал ь У Ьжйх, а для которого вообще не существует сопряженных точек. Затем мы доказываем, что при непрерывном изменении параметра г от 0 до 1 сопряженные точки на отрезке [и, Ь] не могут возникнуть.
Для доказательства нам понадобится следующая 108 втогля вавиьция. достаточныв тсловия слагого экстгямтмл [гл. ч Л е м м а. Если функция й = й (х) удовлетворяет уравнению — — (Рй')+ЯЬ=О и граничным условияль их й (а) = й (Ь) = О, (8) то для нее [ (Рй' + Яйг)с!х= О, а Йоказательство леммы непосредственно вытекает из равенства ь ь О= /( — — "(Рй)+гтй]йдх= / (Рй" +байя)дх которое получается интегрированием по частям с учетом (8). Перейдем теперь к доказательству теоремы.
Если функционал ь (Рй'г+ Яйг)сгх положительно определен, то и функционзл а (9) очевидно, положительно определен при всех ~, 0 ( 1 ( 1. Рассмотрим, далее, отвечающее функционалу (9) уравнение Эйлера [[1Р+(! 1)] Ь ) +1ЯЬ О, (10) и пусть й(х, Г) — решение этого уравнения такое, что й(а,1)=0, й„'(а, С)=1. Это решение представляет собой непрерывную функцию параметра Е При 1=1 оно переходит в решение й(х) уравнения (3), удовлетворяющее условиям й(а)=0, й'(а)=1, а при Г = 0 — в удовлетворяющее тем же начальным условиям решение уравнения й"=О, т. е. в функцию й.=х — а.
Заметим, что если й(ха, Сь)=0 в некоторой точке (х, ~ь), то в втой точке й„(х . 1з) + О. действительно, й (х, с) при каждом фиксированном 8 удовлетворяет уравнению (10), и если бы равенства й(х, Ф )=0 и й„'(х, ~з)=0 выполнялись одновременно, то, в силу теоремы единственности для дифференциальных уравнений, было бы й(х, 1з)=0 при всех х, а (х (й; это же невозможно, так как по условию й„'(а, 8)=1 при всех 1, 0 (~ ( !. )(опустим теперь, что на отрезке [а, й] есть точка, сопряженная с а, т. е.
что функция й(х, 1) обращается в нуль в некоторой точке хан>, лежащей внутри отрезка [а, й]. й 221 исслвдовлниа квадглтнчного втнкцнонала 109 Рассмотрим совокупность всех точек (х, Г), удовлетворяющих условию Ь(х, Г) = О. Это некоторая кривая в плоскости (х, Г). Действительно, в каждой точке, в которой Ь(х, Г)= — О, производная Ь (х, г) отлична от нуля и по теореме о неявных функциях, равенство Ь(х, г)=0, определяет в окрестности каждой та- Ф кой точки непрерывную функцию х=х((). На втой кривой лежит, по предположению, точка х">.
Но такая кривая, начавшись в точке (х~ан, 1): а) не может окончиться внутри прямоугольника а (х ( К 0 ( г ( 1, так как зто противо- У речило бы непрерывной зависи- г мости решения Ь (х, Г) от пара- з'-.л л'-Ф х метра 7; Рис. 7. б) не может пересечь отрезок х = Ь, так как тогда мы в силу леммы получили бы противоречие с положительной определенностью функционала (9) при всех (; в) не может пересечь сторону 1=1, так как тогда при некотором г мы получили бы, что Ь (х, С) = 0 и Ь' (х, ~) = 0 одновременно; г) не может пересечь сторону ~ = О, так как при г = 0 уравнение сводится к Ь" = О, а соответствующим решением является функция Ь = х — а, которая нигде, кроме точки х = а, а нуль не обращается; д) не может пересечь сторону х=а, так как тогда при неко- ЛЬ(х, Г) ~ тором Г было бы ~ ' — — 0 в противоречие с предположе- дх нием.
Но отсюда следует, что такой кривой вообще не существует. Наконец, точка хгн не может совпадать и с х=б, иначе мы полуо ь чили бы, в силу доказанной леммы, что ) (РЬ'~+ЯЬа)с(х=О для а некоторой ненулевой функции, удовлетворяющей условию Ь(а)= = Ь(Ь) = О. Но зто противоречит положительной определенности нашего функционала.
Теорема доказана, Теми же самыми рассуждениями, которые мы провели при доказа- тельстве теоремы 2, устанавливается следующий результат. 110 втогья ввяиьция. достьточныв условия сльвого экстгвмгмь [гл, ч Теорема 2'. Если квадратичный функционал ь ~ (РИ' +ОИз)йх (И(а)=И(Ь)=0) а неотрицателен, то решение уравнения — й (РИ')+ОИ= О, удовлетворяющее начальным условиям И(а)=0, И'(а)=1, не обращается в нуль ни в какой внутренней точке отрезка [а, Ь[. ь Действительно, если функционал [ (РИ' +ЦИг)йх неотрицатеа лен, то квадратичный функционал (9) положительно определен при всех Г, кроме, может быть, г = !.
Доказательство теоремы 2 при этом остается в силе, за исключением последнего абзаца (ссылка на лемму). Поэтому при условиях теоремы 2' равенство И(Ь)=0 не исключается. Объединив теоремы 1 и 2, мы можем сформулировать следующий окончательный результат. Для того чтобы квадратичный функционал / (РИ' +ОИг)йх (Р(х) ь 0 при а (х (Ь) е был положительно определен для всех И(х) таких, что И (а) = И (Ь) = О, необходимо и достаточно, чтобы отрезок [а, Ь[ не содержал точек, сопряженных с а.
ф 23. Сопряженные точки. Необходимое условие Якоби 1. Применим результаты, полученные в предыдущем параграфе для квадратичного функционала, к простейшей задаче вариационного исчисления, т. е. к исследованию функционала ~ Е(х, у, у') с1х а с граничными условиями у(а)=А, у(Ь)=В. (2) 3 23) сопгяжвнныв точки. нвовходнмов вплавив якози 111 Рассмотрим некоторую экстремаль у = у(х) этого функционала и вычислим его вторую вариацию в окрестности этой экстремали. Как было показано в 3 21, вторая вариация функционала (1) записывается в виде ь ~ (РЬ + |~й ) йх ь (3) где 1 1! и 2 тт' ~ 2( т тт)' их (4) Определен не 1.
Уравнение Эйлера — — „" (Рй)+бай=О квадратичного функционала (3) называется уравнением Якоби исходного функционала (1). Определение 2. Точка х называется сопряженной с точкой х=.а по отношению к функционалу (1), если она сопряженна с х= а по отношению к квадратичному функционалу (3), представляю|целу собой вторую вариацию функционала (1). Воспользовавшись теоремой 2' предыдущего параграфа, получаем непосредственно следующий важный результат. Т е о р е м а (необходимое условие Якоби). Для того чтобы зкстремаль у=у(х) давала минимум функционалу ь Г" (х ь ~ (Р "+ ()Ь ) йх ь неотрицателен, то интервал (а, Ь) не содержит точек, сопряженных с а.
Из сопоставления этих двух фактов вытекает утверждение теоремы. 2. Ыы определили уравнение Якоби для функционала (1) как уравнение Эйлера для квадратичного функционала ь ) (РЬ' + Мйх и необходимо, чтобы интервал (а, Ь) не содержал точек, сопряженных с а. Д о к а з а т е л ь с т в о. В 3 20 было доказано, что неотрицательность второй вариации есть необходимое условие минимума. Далее, в силу теоремы 2' 3 22, если квадратичный функционал ь 112 втоуля вауиация.
достаточныв условия славого экстувмумл (гл. ч представляющего собой вторую вариацию. Это же уравнение можно получить и с помощью следующего рассуждения. Пусть у =- у (х) — экстремаль. Выясним, какие условия нужно наложить на Ь(х), чтобья проваринрованная функция у(х)+ й(х) тоже была экстремалью. Подставим у(х)+Ь(х) в уравнение Эйлера Р (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
