И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Это преобразование переводит некоторую кривую Т, заданную уравнениями у,=ч1,(х) (1=1, 2, ..., л), 81 $ 16] сЕОРЕМА НЕТЕР то преобразованная кривая (* задается уравнением у* = ч] (х* — с) =-- ч]* (х*) (а ( х' — с .~ы д). Имеем ьас Ьаа ~]Т"]=/ ( „'~ )й*= / ('„"„. ')й"= а+а ачс ь =- /("'„' )'й р уы а 2, Интеграл l]Т] = ~ ху' йх а может служить примером функционала, не инвариантного относительно преобразования (4).
Посмотрим, как он меняется при применении к нему этого преобразования. Проведя те же выкладки, что и в предыдущем примере, получим ь+с ь+а з['(']= / х" ( ч („)) йх*= / х*( ч(„х, )) йх*= а+а а -С-а ь ь = / (х+с)( „) йхр у]Т]+с / ( „' ) йх. Пусть теперь имеется совокупность обратимых преобразований переменных х, у,, ..., у„, зависящая от некоторого параметра а: х*=срв(х, у,, ..., у„, а), (1 =1, 2, ..., и), (5) у*, =срс(х, уп ..., у„, а), причем функции срв и срс дифференцируемы, а значению а=О отвечает тождественное преобразование, т. е. р(х, у,, ..., у„,О)=х, ср,(х, уп ..., у„, О)= — у,. Имеет место следующая Те о р е м а (Нетер). Каждому преобразованию вида (б), оставляюи]ему интеграл (1) инвариантным, отвечает некоторый первый интеграл системы уравнений Эйлера.
Явный вид этого первого интеграла будет указан ниже. 82 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕПИй ЭЙЛЕРА [ГЛ. !Ч Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы мы проведем сейчас для частного случая преобразований вида У,. =!я!(х, Уп ..., У„, а). (5') (1(оказательство теоремы Нетер в общем случае, в том числе н для функционалов, содержащих несколько независимых переменных, будет дано в гл. Ч!1.
Заметим, что для нескольких независимых переменных сама формулировка этой теоремы несколько изменяется.) Считая величину а бесконечно малой, имеем У*, — У = о~',.„(Х, УА, О) а + О (и). Положим дт!(х, уг„а) ) да о 0 т. е. у, — у, =ау. +о(п). Считая, что кривая, определяемая уравнениями у! = у; (х). есть экстремаль, напишем выражение для вариации функционала (1), отвечающее переходу от у, к у, +пф!. Воспользуемся полученной в й 11 формулой (11) для вариации. Учтя, что в нашем случае х не варнируется, т. е.
йхо=йхг=0, а дуг =пфп получаем а): а 1а, Ы = а ~~р~ гт л ло Так как по условию функционал (1) инвариантен относительно преобразования (5), то вариация Ы этого функционала, отвечающая Ьу!=пфг, равна нулю. Приравнивая Ы нулю, получаем т. е. *) Здесь мы под Ьу; понимаем главную линейную относительно а честь приращения у!, а не само зто приращение (как было выше). Легко видеть, что это не оказывает влияния нв результат, не зато сразу избавляет нас от возни с малыми высших порядке!ь й 16) ТЕОРЕМА НЕТЕР Так как это справедливо для любых двух точек хз и хп то это означает, что вдоль каждой экстремали и ~~,'г р фс = сопз(, (6) 1=1 т.
е. Х д х,,а ~ со 1=! Итак, мы построили по заданному преобразованию (3), оставляющему инвариантным функционал (1), выражение, сохраняющее постоянное значение вдоль каждой экстремали, т. е. построили некоторый первый интеграл системы уравнений Эйлера. Теорема доказана. Посмотрим, что дает нам теорема Нетер в уже знакомом пам случае, когда подынтегральная функция р не зависит от х явно. Независимость Р' от х означает, что интеграл (1) инвариантен относительно преобразования х'= х+а, У1 =У; Действительно, оно переводит интеграл ХР(х, Уг, У,')йх и ~ г" (х+а, у,, у,.)ах. Эти два интеграла равны между собой для произвольного интервала (а, Ь) в том и только том случае, если гт не зависит от х явно, Вычислив вариацию функционала (1), отвечающую преобразованию (7), получим т 3/= УХ (Р— — Г, т ьуг й — Н ( — и) ~"'.
т Приравнивая это выражение нулю и рассматривая его лишь на кривых, удовлетворяющих уравнениям Эйлера, получаем Н(уо р,)), =Н(уг, р)!... т. е. Н=сопз( вдоль интегральной кривой. Таким образом, мы снова получаем уже установленный в й 13 результат: для функционалов, не зависящих от времени явно, функция Н представляет собой первый интеграл соответствующей системы уравнений Эйлера. / клноничяский вид тглвнвний эйлввл [гл. ш Я 17.
Принцип наименьшего действия Рассмотрим некоторые применения полученных в предыдущих параграфах общих результатов к задачам механики. Пусть нам дана некоторая система материальных точек с массами т,, тт, ..., т, и координатами х,, уг, г; (1=1, 2, ..., п). Будем предполагать при этом, что никаких связей на рассматриваемую систему не наложено. Кинетическая энергия такой системы равна Т= ~и т' (хй-~-У'-(-г'.). Предположим также, что система обладает потенциальной энергией, т. е.
что существует такая функция*) и= и(1, хг, Уо г), (2) что компоненты силы, действующей на 1-ю точку, равны ди ди ди ХГ= х ' Уг= д ' е' = дг Положим Это выражение мы будем называть функцией Лагранжа рассматриваемой механической системы. 1, представляет собой, очевидно, функцию от координат и скоростей частиц, составляющих рассматриваемую систему, и времени.
Пусть в момент времени 1 система находится в некотором фиксированном положении. Эволюция рассматривземой системы с течением времени описывается некоторой кривой в Зп-мерном пространстве, определяемой уравнениями хр — — х;(Г), Уг — — Уг(Г), г,=гг(1) (1=1, 2, ..., и). Среди всех кривых, проходящих через начальную точку, та, которая описывает фактическое движение рассматриваемой системы под влиянием действующих на нее сил, удовлетворяет следующему условию, называемому принципом наименьшего действия: Движение системы за промежуток времени (Гс, Г,) описывается теми функциями х,(С), у,(1), г;(1), 1= 1, 2, ..., и, которые дают минимум интегралу (4) Сам интеграл (4) называется действием.
") Здесь С означает время, а точка — дифференцирование по д 85 ф 18] влконы сохглнения Покажем, что этот принцип эквивалентен обычным уравнениям движения системы п точек. Если функционал (4) достигает минимума, то должны удовлетворяться уравнения Эйлера дА — — =О, д дй дт дх~ и дЬ вЂ” — =О, дГ дуг и дь' — — =О дГ дгг дхг дЕ (1=1, 2, ..., а).
(5) дуг дь' дгг Принимая во внимание, что потенциальная энергия У зависит только от хи ун г, (и не зависит от хп у,, г,), а Т представляет собой сумму квадратов скоростей с коэффициентами —, мы можем т~ 2 переписать уравнения (5) в виде дУ вЂ” — — — тх =О, дхг дт дУ вЂ” — — — ту =О, ду~ дт дУ вЂ” — — — тггг =О. даг дт дУ дУ дУ Так кзк производные — —, — —, — — представляют собой дхг ' дуг ' длг компоненты силы, действующей на 1-ю частицу, окончательно получаем т;х,=Хо "% = )'г а это и есть обычные уравнения движения для системы нз л свободных материальных точек.
Принцип наименьшего действия справедлив и в том случае, когда на рассматриваемую систему наложены некоторые связи. В этом случае допустимые кривые, на которых рассматривается функционал (4), должны удовлетворять наложенным связям, т. е. применение принципа наименьшего действия к системе со связями, приводит к вариационной задаче на условный экстремум. ф 18.
Законы сохранения л 7 (х +у +аз), г 1 Рассмотрим снова механическую систему из л материальных точек с кинетической энергией 86 канонический Вид РРАВнРний эйлеРА [ГЛ. ЪМ потенциальной энергией у= (у(г, х,, ун г) (2) и функцией Лагранжа 1.= Т вЂ” (г, (3) Как было показано в предыдущем параграфе, уравнения движения этой системы могут быть получены из принципа наименьшего действия, т. е. из условия минимума интеграла (4) Посмотрим, что представляют собой для этого интеграла канонические переменные (см.
й 14). Для нашего случая имеем дЕ дь' дь' р„= . =т х,, р = . =туп р = —.=тг., дх~ ' ~ У ду~ ' ' дг~ т. е. р', р', р,' представляют собой компоненты импульса г-й частицы, и л Н = ~~ (хгр„+ УР' + г Р) — Ь = 2 Т вЂ” ( Т вЂ” (Г) = Т+ (Г т. е.
Н есть полная энергия системы. Замечание. Утверждение, что Н есть полная энергия, будет справедливо и в том случае, если мы вместо декартовых координат дь' введем обобщенные координаты д, (докажите это). Выражения —. ддг в этом случае называются обобщенными импульсами системы (они, конечно, отличаются от обычных импульсов). Пользуясь видом подынтегральной функции в функционале (4), мы можем найти те или иные функции, сохраняющие постоянные значения вдоль каждой из траекторий системы, т.
е. получим таи называемые законы сохранения. 1. Закон сохранения энергии. Пусть рассматриваемая система консервативна, т, е. ее функция Лагранжа 1. не зависит явно от времени (это означает, что СГ не зависит от времени). В этом случае, как было показано выше, Н= сопзг вдоль каждой экстре- мали, т. е. полная энергия консервативной системы остается при движении постоянной. 2. Закон сохранения импульса. Пусть Ь не меняется при параллельном переносе, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
