И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если положить, что о — ьО, то в силу (9) первое слагаемое в правой части равенства (10) будет стремиться к нулю, а второе — к Р(хь). Но так как, по предположению, Р(х)(0, то мы получаем, что ~(РЬ'а+ Ойг) бх ( О а прн указанном выше Ь(х) (и достаточно малом о). Тем самым наше утверждение доказано. Отсюда и из установленного в предыдущем параграфе необходимого условия минимума (вг/[й] )~ О) сразу вытекает следующая Теорем а 1 (Лежандр). Для того чтобы функционая ь У[у!= ] Р(х, у, у')бх ь Действительно, пусть (8) не выполнено, т. е.
в некоторой точке хе пусть Р(хь) < О. Покажем, что в этом случае функционал (7) примет при соответствующем выборе й(х) отрицательное значение. Для этого подберем Ь(х) так, чтобы в выражении (5) основной вклад давался бы слагаемым Рй', а член Ойг был бы мал. Положим 102 втогля влгиьция, достлточныв головня сллвого экстгвмямл [гл. и достигал на кривой у=у(х) минимума,. необходимо, чтобы вдоль этой кривой выполнялось условие гя > (условие Лежандра). Лежандр пытался доказать, что выполнение строгого неравенства Рг г,> 0 в кажлой точке экстремали у(х) является достаточным условием того, что эта экстремаль дает функционалу (1) минимум (слабый). Для этого он проводил следующее рассуждение.
Так как Ь(а)=Ь(д)=0, то для любой дифференцируемой функции ш(х) имеем (Ьяы'+ 2ЬЬ'ю) дх = / д (Ьзто) дх = О. /,, / д ,/ дх Поэтому выражение для второй вариации можно переписать так: ьзУ[Ь[= ~~РЬ' +2ЬЬто+Я+то) ЬЯ1 ах. ь Достаточность условия Рг „> 0 для минимума можно было бы доказать, если бы удалось подобрать функцию то так, чтобы выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, представляло собой полный квадрат.
Это, однако, не всегда возможно (как впервые указал Лагранж). Действительно, для этого функция ш должна удовлетворять уравнению РЯ+ ')=ш. Это уравнение всегда, конечно, разрешимо локально, но на достаточно большом отрезке может и не иметь решения *). В том, что выполнение неравенства Р„(х, у(х), у'(х)) ) 0 (11) во всех точках экстремали у = ух не может быть достаточным условием того, что эта экстремаль реализует минимум функционала (1), можно убедиться следующим образом. Это условие так же, как и условие характеризующее экстремаль, носит локальный характер, т. е. оно относится не ко всей кривой в целом, а к ее отдельным точкам. *) Например, если Р = — 1, Ц = 1, то получаем уравнение ге' + 1 + + ш' = о, откуда ш (х) = ся(с'— х).
если а — а > я, то на всем отрезке [а,а[ решения ие существует. и 22) исслздовлние квадглтичного ехнкционллл 1ОЗ Поэтому, если условие (11) выполняется для двух каких-либо дуг АВ и ВС, то оно выполняется и для составленной из них кривой АС. В то же время из того, что две части АВ и ВС некоторой кривой доставляют экстремум рассматриваемому функционалу вида (1), не следует, что вся кривая АС будет доставлять экстремум. Например, дуга большого круга на сфере есть кратчайшая из линий, соединяющих концы дуги, если эта дуга составляет меньше половины окружности и не будет кратчайшей (даже среди кривых, достаточно близких к ней), если она превышает половину окружности. Вместе с тем всякая луга большого круга на сфере является экстремалью функционала, представляющего собой длину кривой на сфере, и в каждой точке такой дуги выполнено, как легко проверить, для этого функционала условие Р,, ~ О. У'У' Следовательно, это условие (как и любой набор одних только локальных условий) не может быть достаточным для экстремума.
Несмотря на то, что условие Р ) 0 не обеспечивает минимум, сама идея приведения подынтегрального выражения в формуле для второй вариации к полному квадрату (с целью получения достаточных условий экстремума) оказалась очень полезной, а дифференциальное уравнение Р Я+ я') = ша, возникающее при попытке осуществить эту идею, приводит к новым необходимым условиям экстремума (уже не локальным!). Мы вернемся к этим вопросам в Я 22 и 23. 2 22. Исследование квадратичного функционала ь У(рьз+адА) Ых О В $20 уже была показана важная роль второй вариации в задаче о нахождении экстремума функционала. В частности, там было установлено, что если кривая у=у(х) реализует минимум некоторого функционала, то вторая вариация этого функционала неотрицательна. Для функционала ь У!у) = / Р(х, у, у')~1х (у(а)=А, у(Ь)=В) (1) й вторая вариация представляет собой квадратичный функционал.
Поэтому для дальнейшего изучения вариационной задачи (1) нам нужно предварительно исследовать свойства квадратичных функционалов, подобно тому, как исследование экстремумов функций нескольких переменных (в том числе нахождение достаточных 104 втогля влгилция. достлточныв головня сллвого экстгвмтмл [гл, ч условий) опирается на изучение свойств квадратичных форм (второго дифференциала). Итак, будем рассматривать квадратичный функционал*) ь ~ (Рй +Яйз)а'х а (2) иа множестве функций, удовлетворяющих условиям й(а) = й(Ь) = О. В $21 мы показали, что для неотрицательности такого квадратичного функционала необходимо (но не достаточно) условие Р(х) )~ 0 (а ( х ( Ь).
В этом параграфе мы найдем условия (необходимые и достаточные), при которых квадратичный функционал (2) будет положительно определен (т. е. строго положителен для всех допустимых й(х), кроме И(х) ям О). Напишем для нашего квадратичного функционала уравнение Эйлера *"). Получим — — (Рйг)+ ЯИ = О. «х (3) Это — линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнению (3) и граничным условиям И(а)=й(Ь)=0 *) Сейчас мы можем не помнить о том, что этот квадратичный функционал представляет собой вторую вариацию, н рассматривать его совершенно независимо. **) Не следует думать, что зто делается с целью нахождения минимума функционала (2). Ввиду однородности этого функционала его минимум равен илн 0 (в случае положительной определенности), ялн — со (в противном случае).
В последнем случае этот минимум, очевидно, нз уравнения Эйлера найти нельзя. Важную роль уравнения Эйлера (3) в исследовании квалратнчного функционала показывает формулируемая ниже теорема 1. удовлетворяет, очевидно, функция И (х) = О. Однако оно может, вообще говоря, иметь и другие решения, удовлетворяющие тем же граничным условиям. Введем следующее важное Определен ие. Точка х называется сопряженной с точкой; х= а, если уравнение (3) имеет решение, не равное нулю тождественно, обращающееся в нуль при х=а и при х=х. 3 а м е ч а н и е.
Если И (х) — некоторое ненулевое решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям И(а)=й(Ь)=0, то и сй(х), где с=сопя[ + О, будет таким же решением. Мы можем поэтому для определенности наложить на й(х) некоторое условие нормировки, например й'(а) = 1 (если й(х) ф 0 и й (а) = О, то обязательно й'(а) Ф 0). Это мы и будем делать в дальнейшем. Теорема 1. Если Р(х) >0 при а <х (Ь и отрезок !а, Ы не содержит точек, сопряженных с а, то квадратичный функционал ь У (Рйз+ ай'з) с(х и положительно определен для всех й(х) таних, что й (а) = й (д) = О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы докажем положительность функционала ~(Рй' +С~йз г!х (Р(х) ) 0), и (2') если сможем привести его к виду ()Р(" ) ь где у(...) — некоторое выражение, не равное нулю тождественно при й(х)~:=О. Лля этой цели добавим к выражению, стояшему под знаком интеграла (2'), величину вида д(тейт), где те(х) — некоторая дифференцируемая функция. Так как ь / с! (шйз) с(х = О (в силу й (а) = й (й) = 0), и то от этого значение рассматриваемого квадратичного функционала не изменится. !1остараемся теперь подобрать функцию ш(х) так, чтобы выражение Рй'~+с)йз+ — (тойз)=Я+те')йз+2тойй'+Р1Р (4) стало полным квадратом.
Это требование будет выполнено, если за ш(х) взять какое-либо решение уравнения Р(Я+и')=таз, (5) $22! ИССЛВДОВАНИВ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА 105 106 ВтОРАя ВАРиАция. ЛостАточные услОВия слАБОГО экстРемумА [Гл. ч Действительно, при этих условиях выражение (4) можно переписать в виде Итак, если уравнение (5) имеет решение, определенное на всем отрезке [а, Ь), то квадратичный функционал (2') может быть приведен к виду Ь (6) и следовательно, он неотрицателен. Если функция л(х) обращает этот функционал в нуль, то она очевидно является его экстремалью, т. е. решением уравнения (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
