И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 29
Текст из файла (страница 29)
законы сохглняния 183 Принцип стационарного действия ЗА=О приводит к уравнениям Эйлера з дЕ %1 д дЛ =О, ди~ дх» / ди~ '1 ь о ~ дхд! определяющим функции ии т. е. представляюшим собой уравне- ния поля. 2. Законы сохранения для полей. Теорема Нетер, из- ложенная в предыдущем параграфе, дает общий способ вывода за- конов сохранения, т. е. построения таких величин, представляюших собой комбинации функций поля, которые не меняют со временем, Такие величины называются инвариантами поля. Пусть интеграл ( С(ио -~ — '-)йх инвариантен относительно совокупности преобразований х*,=Ф,. (х, и, и,„..., и,„, е)=х,+~~.",ер~'>+ ..., иа = Фа (х, и, и, ..., и „„, а) = и„+ ~~~~ з.ф~"~+ а А,= т фно(х, и)+Тлрн(х, и)=О дЛ Из каждого такого соотношения может быть получен некоторый инвариант поля.
действительно, проинтегрируем равенство (6) по некоторому четырехмерному объему, ограниченному двумя плоскостями хе=а и хе=1 (т. е. отвечаюшим двум фиксированным моментам времени) й цилиндрической поверхностью хтг+хтя+ хая= а Поскольку выражение (6) есть дивергенция, этот интеграл, взятый по четырехмерной области, можно преобразовать в интеграл, взятый по границе этой области. Получим О=~ йтА„~х = ~(А„и)гЬ, (8) где ~й — элемент площади поверхности, ограничивающей рассматриваемую четырехмерную область, а и — нормаль к этой поверхности. зависящих от р параметров е=(еп з, ..., е). Тогда согласно теореме Нетер имеют место р соотношений вида б!ч А,=О, (6) где (7) 184 вляилчионныв задачи с частными пгоизводными (гл.
чн Считая в соответствии с обычными физическими представлениями, что на бесконечности поле достаточно быстро убывает, мы можем, положив гс-ьсо, отбросить в правой части (8) интеграл по боковой цилиндрической поверхности. При этом останется лишь интеграл по двум трехмерным плоскостям ха=а и хэ — — д. На этих плоскостях (А„, и) сводится к временнбй компоненте Аз вектора А„ а интегрирование по г(а — к интегрированию по пространственным координатам. Таким образом, из (8) получаем А„(хг хг хз д)'Ухгггхз'(хз / А„(хп хз, хз, а)г(х,г(хгг1хз=О, т.
е. величина дб д(л ) (9) не зависит от времени. Итак, мы показали, что из инвариантности действия (2) относительно совокупности преобразований (5) действительно'вытекает наличие соответствующего числа инвариантов поля, представимых формулами (9). Рассмотрим конкретные законы сохранения, отвечающие тем преобразованиям переменных, которые фактически встречаются в физике. Обычно во всех физических теориях предполагается, что функционал, представляющий собой действие, ннвариантен относительно параллельных переносов (по всем четырем осям) н относительно преобразований, образующих полную группу Лоренца з). Выясним, к каким законам сохранения приводит эта инвариант- ность. Тензор энергии-илгнульса.
Пусть лагранжиаи Ь(х, и, и„,, ..., и,.) инвариантен относительно параллельных переносов, т. е. относительно преобразований й(х*)=и (х). х*, = х, + зп ~) Полной группой Лоренца называется совокупность преобразований четырехмерного пространства, оставляющих инзариантной квадратичную форму хг + хз + хз — ха г г 2 2 и ие меняющих направления времени. 11етерминант матрицы такого преобразования равен + 1. Совокупность тех преобразований, для которых этот детерминант равен +1, образует подгруппу, называемую собственной группой Лоренца.
$ 34! птинцип стлционлвного действия. законы сохвлнзния 185 — Ъч два чьч диа ель = — г — ех = — ~ — еп леа дх~ ~ .Й дх~ Следовательно, соотношения (б), вытекающие из теоремы Нетер, з этом случае имеют вид д — ь дх~ а соответствующие инварианты (9) поля записываются следующим образом: З( два) дхг Величина (19) называется тензором энергии-импульса, а не зависящий от времени интеграл Р„= ~ Т,г(х,гьк и'х (11) носит название вектора энергии-импульса.
Его нулевая компонента Рз есть энергия поля, а остальные три компоненты суть компоненты импульса. Замечание. Если рассматриваемое поле скалярно, т. е, если и имеет лишь одну компоненту, то тензор энергии-импульса удовлетворяет, очевидно, условию симметрии Т,= Т,"' Если же и имеет несколько компонент, то полученное нами выражение (10) уже не будет, вообще говоря, симметричным тензором е). Однако, его можно заменить симметричным тензором, отличающимся е) условие симметрии тензора знергии-импульса существенно с физической точки зрения. Здесь, однако, мы ие имеем воэможности подробно обсуждать этот вопрос.
В этом случае имеем бх~ — — ен Ви„= О, т. е. ~~о=3,. =~ ( 1 при 1=к, О при 1+к, т. е. ф<ю = О, а 186 влгилционные задачи с частными птоизводными [гл, чп от полученного нами выражения (10) лишь на величину, дающую при интегрировании по х,, хз, х, нуль. Так как в физические рассмотрения входит всегда не сам тензор энергии-импульса, а его интеграл по х,, хз, хз, то такая замена всегда возможна. Тензор момента количества движения. Как уже было сказано выше, функционал ).(х, и, ивн ..., и„)е)х для каждого поля, имеющего определенный физический смысл, должен быть инвариантен относительно преобразований Лоренца. Каждое из этих преобразований можно записать следующим образом: хг=х,+~я х)м)), (12) ть! где а = — а 1! )! — параметры, определяющие данное преобразование"), а оп — вю ьзз 1 зоо Таким образом ох! — — ~ у~ х)м,!.
(13) )+! Двенадцать величин м,.)() +)) связаны соотношениями м)! — — — м),; следовательно, среди них имеется лишь шесть независимых. За эти независимые параметры можно взять те м)), для которых ) с ). В соответствии с этим равенство (13) преобразуем так: и ъ и,г йх,=,,а х,~я=~а хг,б) = 1+~ ~Ф1 =,я ннх)ш )й)+~~~ ~у~ х а )о) = ~~' а (енх 3 — й~~х о~~), ) <! )>с ' )<с ' где сумма берется по всем парам )', ), для которых ) <1 и, как обычно, ~ О при )чь), о'= 1 1 при )= )'. Формулы (12) определяют преобразование независимых переменных хм хз, хз, хо. Нужно еще указать, каким образом преобразуются функции поля и(х).
Если рассматриваемое поле скалярное, го пре- образования Лоренца никак не действуют на и(х), т. е. имеет место равенство и* (х') = и (х). (14) *) Каждая нз величин и)! представляет собой угол поворота в плоскости (хь х)). й 34! пгинцип стлционлгного двйствия. законы сохранения 18У Следовательно, для скалярного поля %т ди Зи = — г — 1хь л4дх; Перейдем от ех, и би к функциям р~ ! и ф~"~ в соответствии с формулами (4), (5) предыдущего параграфа. Получим Т!!!' !) = А их!е! — К!!х!е!, (15) ф!!' '! = ~~) — (8!!х Ь! — япх 8!) (15') дх! ! Преобразования (12) зависят от шести параметров. Следовательно, из инвариантности функционала (2) относительно этих преобразований вытекает шесть равенств вида (6), где вместо индекса к нужно брать все шесть комбинаций индексов у и 1 такие, что у' е; 1, а вместо '~! и ф" — их выражения (15) и (15'). Мы получаем окончательно — ды — '" г' ).ь~в' ! — дл и!~=о.
дх! Введем обозначение М1' = ~ — у~~х — —" йггхг1+ У. ~д!!х 8! — 81/х.8!] (=,)" д б ) Определим, далее, величины М! при у ) 1, положив и М'! = — М!!. Выражения М! образуют тензор третьего ранга, антисимметричный !! по !' и Е Он называется тензором момента количества движения.
Воспользовавшись полученным выше выражением (1О) для тензора энергии-импульса, мы можем записать тензор момента количества движения следующим образом: М! =а. х Т, — а х,Т!. Л !! ! и Закон сохранения момента количества движения состоит в том, что в соответствии со сказанным выше (стр.
184) интеграл Менах! 1х,~ха не зависит от времени, т. е. представляет собой инвариант поля. Если рассматривается не скалярное, а какое-нибудь другое поле, например векторное, то преобразование Лоренца действует не только иа координаты 188 - вляилционныя задачи с частными пгоизводными (гл. чп (хь х,, х,, хг), ио и на комповентьс функции поля. В случае векторного поля и = (и„иг, иг и,): и„',(х*) = иь(х)+ ~~>, 'язс си,(х) еСс.
с,,-ьс Следовательно, для векторного поля Ьиа= ~я~~ Ба',и,(х)едС с,Фс 'с~ ди» Ьис, = Ьиа — г — Ьхс. л'а дхс с Проведя выкладки, аналогичные проделанным выше для скалврного поля, получим для тензора момента количества движения векторного поля сле- дующее выражение: Мс =д хСТс — д хсТС вЂ” х Ь,и,(х), д Н с сс с чььч дА Сс где Т, и Тс — компоненты тензора энергии-импульса. ф ЗБ.
Примеры: уравнение Клейна — Гордона и уравнения Л1аксвелла где ( ) †операт Даламбера дг д' дг дг П= — + — + — —— дхг дхг дхг дхго Это уравнение, с помощью которого в теоретической физике описывается поле нейтральных (т. е. не заряженных) скалярных частиц со спином нуль (например, яз-мезонов), может быть получено из принципа стационарного действия как уравнение, отвечающее лагранжиану с.= — ) ила( — ) — — й(х).
ь=о (2) Для этого лагранжиана общее выражение тензора энергии-импульса принимает вид и аа и ди ди Т =й д — Дас, дха дхс В этом параграфе мы рассмотрим кратко в качестве иллюстраций два вида полей: поле скалярных нейтральных частиц и электромагнитное поле. 1.рассмотримтак называемое уравнение Клейна — Гордона, (д — шг) и (х) = О, (1) $ 35) зезвнянив кляйна — гогдона и зелвнвния максвелла !89 откуда плотность энергии рассматриваемого поля равна з з о а плотность вектора импульса равна Т' = — — —, и = 1, 2, 3.
ди ди дха дх„' Тензор момента количества движения для лагранжиана (2) принимает вид 2. Уравнения Максвелла. В качестве второго конкретного примера возьмем уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Состояние электромагнитного поля задается вектором электрического поля Е и вектором электромагнитного поля Н. Эти величины связаны между собой (при отсутствии зарядов) известными уравнениями Максвелла го1Е= — —, го1 Н= —, дН дг" дхз ' дхз (3) 51чН=О, 51зЕ=О.
Эти уравнения можно свести к одному уравнению, если выразить Е и Н через компоненты четырехмерного вектора (А,, Аз, Аз, Ао) электромагнитного потенциала, положив Е=йтабАо — —, Н=го1А дА дхо ' (4) (здесь А =(Ап Аз, Аз)). По заданным Е и Н потенциал (А,, Аз, Аз, Ао) определяется этими соотношениями неоднозначно. Величины Е и Н не меняются, если потенциал (А,, Аз, Аз, Ао) заменить потенциалом (Аь Аз. Аз, Ао) по формуле Аз(х)=А„(х)+ — (а=1, 2, 3, О), (5) тде г (х) — некоторая функция. Преобразование (5) называется градиентным преобразованием второго рода. Для того чтобы избежать такой неоднозначности, на четырехмерный вектор 1Аз) можно наложить.некоторые дополнительные условия. Обычно в качестве такого дополнительного условия берется так называемое условие Лоренца з (6) а о 190 вагиационные задачи с частными пгоизводными (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
