И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Легко видеть, что всегда Действ ительно, е =У[ам...,а )=у[ам..., а, О[, (10) а добавление еше олного аргумента может только уменьшить мини- муи функции. Отсюда и из установленной выше ограниченности функ- ционала 3 снизу следует, что существует предел Иш )11=), (11) Мы показали схолимость числовой последовательности [ь 1, соста(н~ вленной из минимумов функционала ~ [Ру -[ — ду~) с(х, в на совокупностях функций вида ~~', а„ч1п пх в=1 при т=1, 2, ... Теперь естественно было бы попытаться доказать сходииость последовательности тех функций уы(х)= Х ав зш пх в=1 ) ( у +1ч'у ) о ") Семейство функций %', заданных на [а, Ь), называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная С, что 1ф(х) ~ (С для.
всех фйч" н всех а(х(Ь. Оно называется равностепенно непрерывным, если для каждого е > О найдется такое З > О (одно я то же для всех ф), что [ф(х,) — ф (хе)1 < а, как только ~ х, — х, ) < З дла всех фи Т, на которых соответствующие минимальные значения принимаются. Сначала мы сделаем несколько меньше, а именно покажем, что последовательность,'у (х) [ содержит неноторую равномерно сходящуюся подпоследовательность. Покажем лля этого, что совокупность Функций [у (х)[ равномерно ограничена и равностепенно непрерывна *). Действительно, из сходимости последовательности 3 381 сопственныв еянкции и значения злдлчи штзгмл — литвилля 203 следует ее ограниченность. Таким образом, при всех лг, где М вЂ” некоторое постоянное число.
2"!пятому Ру„г(х < М+ ( !ку 2(х <М+) 22~ 22 ™и о о и так как Р (х) ь О, и о ппп (12) Из этого неравенства легко получаем, что функции у равностепеино непрерывны н равномерно ограничены. Действительно, из условия у (О)=О вытекает, что к 2 ) у (х))2 = 1 у' (х)2!х о Воспользовавшись неравенством Коши — Буняковского, отсюда получаем Г к 12 к ) у (х))2 = ~ / у' (х)г(х~ < ~ у' (х)г(х < М,я, о о т. е.
(Ум(х)) равномерно ограничены. Далее, так как )У (,) — У (2) ) У (х)ггх < / 21х ) У' (х) с2х < М,,)хя — х,), к, (13) У22,' У22Г ' ' ' ' У222' Положим (14) !пп у (х)=у(х) л .+,к ') Теорема Арцела состоит в том, что из каждой равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной последовательности можно выбрать равномерно скодящуюся подпоследовательность. то )у (х)) равностепенно непрерывны. Согласно теореме Арцела и) из последовательности Ун уя, ..., у,...
можно выбрать равноиерно сходящуюся подпоследовательность 204 пгямыв мвтоды влвивционного исчислвния (гл. чш и покажем, что эта предельная функция удовлетворяет уравнению Штурма — Лиувилля (1). Трудность здесь состоит в том, что в интеграле й ~ (Ру' + Яуг )йх о (15) ) (Е(ч)у)йх=О, о где (.[Ц= — (Р(.) +д,~, то у дважды дифференцируема и Е (у)= О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проинтегрируем выражение ~ 1 — (Р~')'+Се,"ч) у ах = О о по частям. Получаем Е 1 — Р7уйх+ ~ — Р'~'уйх+~ (;1,(уйх= а о о я к / к Г ( ' =( — ееу» т(е((еэж~и т)г~(()яуа)и~~*— о о о о о о / к — г(ч(еаза* — с( ~1"'(1" яра)ш . о о о мы не можем непосредственно перейти к пределу при й -ь оо, так как нам ничего не известно о сходимости производных у (х).
Поэтому из того, что при каждом А функция у (х) реализует минимум интеграла (15) в соответствующем конечномерном пространстве, еще не вытекает сразу, что предельная функция у(х) дает минимум функционала (1). Для того чтобы обойти укаэанное затруднение, докажем предварительно следующую лемму. Лемма. Если для любой функции ч(х), имеюисей непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяюгцей граничным условиям (2), выполнено равенство ф 38) сОБстйенные Функции и значения зАВАчи штуРИА — лиувилля 205 Пусть ч(х) выбрана так, что-у.'(я)=0. Тогда два последних члена в полученном выражении обращаются в нуль, и мы получаем равенство к х к / .Р~УА' у .у 1((чуу*)уу]у*=о о о о о для любой дважды непрерывно дифференцируемой 1,(х), удовлетворяющей условиям ч(0)=Г(я)=0 и 1,'(я)=0. Отсюда с помощью интегрирования по частям легко получается, что выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, представляет собой многочлен первой степени к к у — Ру-';-1 Руу*ч- у ~(оуу*) уу=,у-,*.
ууу) о о о Так как в этом равенстве как правая часть, так и второе и третье слагаемые в левой части имеют производные, то имеет производную и выражение — Ру. Поэтому равенство (16) можно продифференцировать почленно. Получаем х о Так как функция Р(х) не обращается в нуль и дифференцируема, то существует у'. Поэтому, дифференцируя Ру как произведение и приводя подобные члены, окончательно получаем — Ру'+ / Я,уАУх= си о (17) Так как здесь правая часть и второе слагаемое в левой части равенства дифференпируемы, то существует (Ру')'. Лифференцируя (17) почленно, получаем — (Ру')'+ (),у = 0. Л'= йш 4",. уп.+ О Лемма доказана.
Вернемся теперь к нашей основной задаче и покажем, что функция у(х), представляющая собой предел построенной нами подпоследовательности (у „(х)~, удовлетворяет уравнению (1) при ),, равном 206 пгямыв методы влгилционного исчисления [гл.
чп3 Точка (ап аэ, ..., а ), в которой квадратичная форма з достигает минимума, определяется, согласно теории условного экстремума, из уравнений Умножив каждое нз этих равенств на произвольное постоянное А'") и просуммировав по и от 1 до и, получим [ ['.'('.+(а — Г) .'..! =0. о (19) где ч (х) = .~ А~„"' з(п (гх. а=! (20) Пусть ч — произвольная дважды дифференцируемая функция, удовлетноряющая граничным условиям (2). Тогда коэффициенты А~~ 1 можно при каждом гл = 1, 2, ...
выбрать так, что Отсюда следует, что (.[Г [-ьА[Г[ при гл — ьоо, Пусть теперь в равенстве (19), которое можно переписать в виде ( г-["вг[у ггх=>ж ~ у~(~пх а о (21) гл пробегает послеловательность значений гла, отвечающую сходящейся к функции у(х) подпоследовательности [у (х)). Мы можем при этом в равенстве (21) перейти к пределу. Получим Ф к ~ Е Д у г(х = ),01 [ уГ. ~1х о о (22) ' ("-4 "--[ "[= .=- (['( )[Л . ~" )0" а*; о [ 1в=г + (Я (х) — Л ) ~~~г~ а„з(п лх ~ э(п 7гх ~ ах = О, ()г = 1, 2, ..., т). (18) а=1 й 38) совстванныа еункции и знлчвния зАдАЧИ штуРмА — лиувнлля 207 для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции ~(х).
В силу доказанной выше леммы отсюда получаем, что у(х) имеет две непрерывные производные и с)у) =Ли у. Действительно, достаточно в указанной лемме положить Я, (х) = Я (х) — Л" >. Итак, мы показали, что у(х) удовлетворяет уравнению (1). Выше мы определили у(х) как предел некоторой подпоследовательности )у (х)) последовательности (у (х)). Покажем, что последовательность )у (х)) сама сходится к у (х). Для этого воспользуемся тем, что если Л задано, то решение уравнения — (Ру')'+ "гу = ) у. удовлетворяющее граничным условиям у (о) = у (') = о и условию нормировки ~ уз(х) г(х = 1, о определено с точностью до знака.
Рассмотрим такое решение, и пусть в точке хз это решение отлично от нуля у(хв) Ф.О. Выберем знак у у(х) так, что у(х ) ) О. Знак у (х) будем выбирать так, что уя(хв))~0 при каждом лг. Если )у (х)) не сходится к у(х), то из )у (х)) можно выбрать вторую подпоследовательность, сходящуюся к некоторому другому решению у(х) Ф у(х). В силу указанной выше единственности (с точностью до знака) решения, удовлетворяющего условиям (2) и (4), у(х) = — у(х), но тогда у(х ) ( О, что невозможно, так как у (хз))~0. Таким образом, уж(х) — Ру(х) (равномерно), если только выбирать соответствующий знак у у (х).
Мы доказали существование функции у(х), которую обозначим теперь уы) (х), отвечающей одному собственному значению уравнения Штурма — Лиувилля. Следующая собственная функция ут(х) и отвечающее ей собственное значение 'лкь могут быть найдены так. Ьудем искать минимум интеграла (3) при условиях (2) и (4) и дополнительном условии ортогональности уп> (х) уой (х) с(х = О. Положим у~О (х) = ~~~ Ь сйп йх. А=1 208 пРямые методъ< ВАРЯАниоиного исчисления [гл.
нн! Подставив это выражение в интеграл (3) вместо у(х), мы снова получим некоторую квадратичную форму. Будем рассматривать эту квадратичную форму на совокупности функций вида т ~ ()А 5!П (ЕХ, Ф-1 удовлетворяющих условию ортогональности их к построенным выше функциям у (х), т. е. равенству т и / т );.( "[~.--)"=' А-1 О 5=1 (23) и так как функционал (3) ограничен снизу, то существует предел Л< > = Ягп Л< ). При этом, очевидно. Л<'> ( Л<е>. Построив последовательность функций у<'>(х)= ~ <<А51пйх (т=!, 2, ...), а=! каждая из которых реализует соответствующий минимум Л и удо(е) влетворяет условию ортогональности х.(-"('у . -)"= о мы можем показать, что эта последовательность равномерно сходится к некоторой предельной функции у<э) (х), удовлетворяющей уравнению — (ру у+ду=лш)у, граничным условиям у(0)=у( )=0, Равенство (23) представляет собой уравнение (т — 1)-мерной плоскости в т-мерном пространстве, проходящей через начало координат.
Ее пересечение со сферой, определяемой условием (4) есть сфера размерности и — 1. На этой сфере наш функционал (1) сводится опять-таки к квадратичной форме. Применяя теорему Вейерштрасса, видим, что эта квадратичная форма достигает на этой (и — 1)-мерной сфере минимума, который мы обозначим Л .
Ясно, что (е) (5) (е) л, ~(л $ 381 совстввнныв еянкции и знлчвния задачи штяямл — лнтвилля 209 условию нормировки ~ у' (х) а'х = 1 о и условию ортогональности к у<О(х): й ~ у<и (х) у (х) г(х = О. о (24) Повторяя аналогичные рассуждения, можно получить собственные вначения )тп Лю ... н отвечающие им собственные функции унн(х), у(4)(х) и т. д. Таким образом, убй(х) представляет собой собственную функцию уравнения (1), отвечающуо собственному значению Лгы.
Так как ортогональные между собоц функции не могут быть линейно зависимы, а каждому собственному значению Л отвечает лишь одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция, то имеет место строгое неравенство Л )Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
