И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление (1118004), страница 28
Текст из файла (страница 28)
'.]-+Х вЂ”:.П л. -)] * о [1. »=1 »=1 совпадающее с формулой (4) й 31. Обычно формулой вариации функционала приходится пользоваться тогда, когда и (х) представляет собой экстремальную поверхность 176 влвиационныа задачи с члатными пгоизводными [гл; чц этого функционала, т. е. удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера л г - т,— ~„=о. Ъ-1 д л Ь дх, ил,— а=1 В этом случае выражение для вариации сводится к р л л и- / Д ' 1л„, ь>-Р), ' ~ль*л]а ла1 о а-1 а-1 в общем случае и к (19) в случае, когда независимые переменные х, не вариируются. 4.
Обобщения на случай нескольких функций или нескольких параметров. Формулы, аналогичные формулам (16) — (!9), можно, конечно, получить и в том случае, когда рассматриваемый функционал зависит не от одной функции и, а от нескольких, т. е. если и является не скалярной величиной, а векторной. Если и =(и,, ..., и ), то, например, формула (!6) для вариации принимает вид л= / ф~ л„,— Ъ+ ль л л дхл другое, также часто полезное для приложений обобшение полученных нами выше формул для вариации состоит в следующем.
Будем считать, что совокупность преобразований, переводящих х и и в х* и и*, зависит не от одного параметра е, а от нескольких. Иначе говоря, будем считать, что величина е также представляет собой вектор е = (е,, ..., е,). Если соответствующие преобразования писать в виде Р ди1 ди,„ а 1 Р иа=1р,(Х, и, — ', ..., — ", Е) и,+ ) Е„ф)а)(Х, и) аа1 $ ЗЗ] ОснОВВАя ФОРмулА для ВАРВАпии В случАе пегеменной овллсти 177 и под Ьха, био Ьи, понимать следующие выраженмя: г аха= ~е„<р(аю(х, и), г Зи, = ~е фою(х, и), а ! Ст ди~ Зиг = Зи, — г — Зха, ~Й дха Будем рассматривать преобразования независимых хы ..., х„и функции и = и(х), имеющие вид Ф) х*= ФА(х, и, иан ..., и„), и'=Ч'(х, и, и,„..., и, ) переменнык (2!а) (21б) Интеграл (20) мы назовем инвариантом данной совокупности преоб- разований, если ~ г".(х, и, и „..., и„)с(х= ~ Р(х*, й, й„..., и',)ах' о о* для каждого из преобразований, принадлежащих этой совокупности.
Здесь интеграл слева берется по любой области изменения переменнык х„..., х„, а справа — по соответствующей области изменения переменных х'„..., х„". Ф) Подчеркнем еще раз, что прн таком преобразовании функция и переменных хь ..., х„ пеоеходнт в функцию и" переменных хп ..., х*„, так как нз равенств (21а) мы можем определить х„ ..., х„ (з следовательно, я и, и , ..., и 1 как функции от х', ..., х*„ н затем подставить эти выра- А) жения в (2!6). то формула (16 ) сохранится без всяких изменений и в рассматриваемом общем случае. 6. Теорема Нетер. Из полученнот нами формулы вариации функционала вытекает одна из важных теорем варнационного исчисления — теорема Нетер об инвариантных вариационных задачах, которая для случая одного независимого переменного была доказана нами в $16.
Сформулируем прежде всего определение инвариант- ности функционала. Пусть дан функционал У[и) = ~ ге (х, и, и,, ..., и, ) с(х. (20) о 178 вавиационныв задачи с частными пгоизводными [гл. чп Иными словами, если е — поверхность, заданная уравнением и = и(х), а е' — поверхность, заданная уравнением и'= и*(х*), в которую а переводится преобразованием (21), то инвариантность функционала (20) означает, что У[о*] =7[о]. Для случая п = 1, т. е. применительно к функционалам от линий, понятие инварнантности уже вводилось в $ 16.
Там же были рассмотрены и простейшие примеры. Приведем еще один пример. функционал (22) ичвариантен относительно преобразований х*= х соя а+ у 5!п а, у' = — х яп а+ у сова, (23) и =и. Действительно, пусть е — поверхность, заданная уравнением и = =,7(х, у). Найдем уравнение поверхности е', получающейся из а преобразованием (23).
Из первых двух равенств (23) получаем, что х = х* соя а — у' з!и а, у = х* з!и а+ у'соа а, следовательно, о' задается уравнением и' = / (х* сов а — у яп а, х' яп а + у' сов а). Запишем это уравнение так: и'=у'(х', у'). Тогда имеем У[ ] / /[( —.)+( —,,)]дх ду = о /' / дУ дУ ~' г дУ дУ У'1 ° = / л! [( — сова+ — з!па) +( — — в[па+ — сова) ]г(х'дуа, ,l ~дх ду ) 1 дх ду о Вернувшись в этом интеграле к прежним переменным х и у, по- лучим 7[ *[= ~ ~ [(Ц +(Я 1ахс(у=.г[е]. о Упражнение. Пусть У [е] = [ [ — дх ду, Р l'ди ,l,/ д о вычислить у[а], если е' получается из е преобразованием (23). й 33[ основная еогмгль для вьвиьции в слтчьв пвгнмвнной овльсти 179 Теор ем а Не те р.
Пусть задана совокупность преобраьо. ваний х"„,=Фд(х, и, и„,„..., а, е) хь+ееь, и*= яг(х, и, и,;, ..., и,, е) и+еф. (24) Тогда из инвариантности функционала ./[и[= ~ Р(х, и, ию, ..., и~ )г(х о (25) относительно преобразований (24) следует, что (26) еде ф=ф — ~ <рьи„. и ~в~ — ~Р„„ф(Ю+Р~~">1=О, а= — 1, 2, ..., р, (26р) ь-1 где д'[ див л т( ) ь ~ ф(ю — и ~ и ф(а) ф(ю ~ у(юи а и — любая экстремальная поверхность. Наконец, если функционал (25) зависит от векторной функции и=(и,,..., и ), то соотношения (26р) заменяются соотношен~ .ми лвм дхь,~, д ( д« ) ~( + Доказательство теоремы Нетер сразу же вытекает из обшей формулы (17) для вариации.
Действительно, если функционал (25) инварнантен относительно преобразований (24), то вариация этого Здесь Уь — — 9ь[х, и, и„„..., и, ) и У=ф(х, и, и„„..., и„) опРеделяются формулами (24), и и — произвольная экстремальная поверхность функционала (25). Если преобразования (24) зависят не от одного параметра, а от р параметров е=(е,, ..., е,), то из инвариантности функционала (25) относительно такой совокупности преобразований следует существование р линейно независимых соотношений 180' влзиационныв задачи с чАстными птоизводными.
(гл. чп функционала (отвечающая перехпду от х, и к х', и*) равна нулю. Если и = и(х) — экстремальная поверхность, то для нее г„— У,— г„=о, и л'а дх~ ".са а=1 и формула (17) принимает вид Так как область 6 здесь произвольна, то отсюда следует я ~~ д ~Ряг ф+ЕРаЧ~=О а=1 что н требовалось доказать. Для случая преобразований, зависящих от нескольких параметров, доказательство не содержит ничего нового, поэтому мы его опускаем.
3 а и е ч а н и е 1. Если и = и (х) — произвольная функция (не экстремаль), то для нее из инвариантности функционала (25) относительно преобразований (24) вытекает соотношение | я и г'и — Х х ~"х ~~" Х х ~ и» ф+Р%,~. (27) «=1 а=1 Замечание 2. Если и= 1, то соотношение (26) принимает вид —,' ~р'„Я+гр1=о, Р„„ф+ Ру = сопз1 т. е. (28) Если этот функционал инвариантен относительно совокупности пре;,' образований зависящих от'р параметров, то отвечающая ему системвй' уравнений Эйлера имеет р линейно независимых первых интегралод() :4 вдоль каждой экстремали и = и(х).
Иначе говоря, соотношение (28)" представляет собой первый интеграл системы уравнений Эйлера,.' отвечающих функционалу ь ( г" (х, и, и')с~х. а 5 33) основная'эогмяла для вавиации в слгчав пвгямвнной овллсти 181 вида (28). Мы пришли к тому частному случаю теоремы Нетер, который был изложен в й 16. Пусть некоторый функционал ) Р(х, и, и е ..., и,„)г(х инва- а риантен относительно группы преобразований, зависящих не от нескольких параметров, а от некоторого числа произвольных функций. Тогда имеет место вторая теорема Нетер, согласно которой между левыми частями уравнений Эйлера, отвечающих вариационной задаче; инвариаитиой относительно группы преобразований, вависящих от р произвольных функций, существует р тождественных соотношений, т.
е. р этих уравнений являются следствиями остальных. Простейший пример такой инвариаитности дают параметрические задачи, рассмотренные нами в Э 8. Действительно, преобразования, оставляющие инвариаитной соответствующую вариационную задачу,— это всевозможные замены параметра. В случае параметрической-задачи на плоскости рассматривается функционал (28) инвариантный относительно преобразований С=С(т), к=х, у=у. Группа этих преобразований зависит от одной произвольной функции 1(т), поэтому между левыми частями отвечающих этой задаче уравнений Эйлера должно существовать одно тождественное соотношение. Действительно, в этом случае имеет место равенство х'(Р— — „Р,.
)+у'(Є— — „г Рт ) =О, которое было доказано непосредственной проверкой еще в Э 8. Еще один интересный пример преобразований, зависящих от произвольной функции (так называемое градиеитиое преобразование в электродииамике), мы рассмотрим в следующем параграфе. Мы ие будем останавливаться на доказательстве теоремы Нетер для групп преобразований, зависящих от произвольных фуикций, и ие будем выписывать в общем виде тех соотношений между уравнениями Эйлера, существование которых утверждает вторая теорема Нетер. 182 ВАРИАЦИОННЫЗ ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !ГЛ.
Чп ф 34. Принцип стационарного действия для полей. Законы сохранения 1. Выше уже указывалось, что принцип стационарного действия может быть применен к системам с бесконечным числом степеней свободы. В 3 35 это было показано на примерах струны, мембраны и пластинки. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим применения принципа стационарного действия и теоремы Нетер к теории поля. Состояние всякого поля характеризуется некоторой функцией и = и(х, у, г, !) координат и времени, называемой функцией поля. Эта функция может быть величнной различной природы — скаляром, вектором, тензором и т.
д. В зависимости от этого различают скалярные, векторные, тензорные и т. д. поля. Если функция и имеет несколько компонент, то их обозначим и,, ..., и . При выводе уравнений поля обычно, так же как мы делали это выше для струны или мембраны, вводится соответствующая функция Лагранжа, из которой и получаются уравнения поля. В случае системы с конечным числом степеней свободы функция Лагранжа пишется обычно в виде суммы, взятой по всем материальным точкам, входящим в рассматриваемую систему.
Для поля такая сумма заменяется, естественно, интегралом по пространственным переменным х, у, г от некоторой функции, называемой плотностью функции Лагранжа или, короче, лагранжианом*) Л (!) = ~ Ь (!, х, у, г) Фх «(у «(г. Интеграл от лагранжиана по всем четырем переменным, т.
е. А= ) «,(1, х, у, г)Фх«(ус(гШ, (2) 1. = 1. (и, — ') . (3) ») С этим положением дел мы уже фактически встречались в Я 35, хотя термин «лзгранжнан» там не вводился. представляет собой действие. Здесь интеграл берется по некоторой области четырехмерного пространства — времени. Ниже, для придания большей симметрии формулам, мы будем вместо обозначений х, У, г и Г пользоватьсЯ обозначеиннми хп лз, ла и хз, а интегрирование по этим переменным будем обозначать символом ~ ...«(х. Обычно йо всех физических теориях считают лагранжиан функцией от функций поля и!(х!, хз, хз, хе) и их первых производных: э 34] пгинцип стлционлгного двйствия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
