Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Число pназывается положительным индексом инерции, а q — отрицательным.Определение. Базис псевдоевклидова пространства называется ортонормированным, если в нем матрицаГрама имеет нормальный вид. Псевдоевклидово пространство V со скалярным произведением (a, b) называетсяизотропным, если существует такой ненулевой вектор a ∈ V , что a⊥V , т. е.
(a, x) = 0 ∀ x ∈ V .Теорема 5.1. Пространство V изотропно ⇔ скалярное произведение на нём вырождено. Пусть скалярное произведение вырождено, тогда в нормальном виде будут нули на диагонали, и достаточно взять базисный вектор en , тогда (en , x) = 0 ∀ x ∈ V , т. е. пространство изотропно. Если же ононевырожденно, то в базисе, соответствующем нормальному виду, для любого вектора a = (x1 , . . .
, xn ) имеем(a, x) = 0 ∀ x ⇔ (a, ei ) = ±xi = 0, т. е. все координаты нулевые. Псевдоевклидово пространство обозначается Rnq . Очевидно, что Rqn ∼ Rnn−q . В частности, Rn ∼ Rn0 ∼ Rnn .Определение. Ортогональным дополнением к подпространству W ⊂ V называется подпространствоW ⊥ := {a : a⊥W } = {a : (a, x) = 0 ∀ x ∈ W } .Далее будем считать, что скалярное произведение на V невырождено.3 Безэтого плохо. Возьмём (a, b) = 0 всегда. Тогда следующие теоремы не верны.193(2)Теорема 5.2.
Пусть дано пространство V и подпространство W ⊂ V . Тогда dim W ⊥ = dim V − dim W. Пусть V = he1 , . . . , en i, и этот базис ортонормированный. Возьмем вектор x = (x1 , . . . , xn ). Пусть W == ha1 , . . . , ak i, и пусть ai = (a1i , . . . , ani ) в базисе V . Имеем x⊥W ⇔ (x, ai ) = 0, i = 1, k. Получаем системуa1i x1 + . . . + api xp − ap+1xp+1 − . . .
− ani xn = 0,ii = 1, k.(3)Вектора ai линейно независимы, следовательно, ранг её равен k и размерность пространства решений равнаn − k, т. е. dim W ⊥ = n − k. Следствие 5.1. (W ⊥ )⊥ = W . В самом деле, очевидно, что W ⊂ (W ⊥ )⊥ . Но из теоремы следует, что dim(W ⊥ )⊥ = n − (n − k) == k = dim W , а это означает, что строгого вложения быть не может. Теорема 5.3.
Подпространство W изотропно тогда и только тогда, когда W ∩ W ⊥ 6= {0}. Если a 6= 0 и a ∈ W ∩ W ⊥ , то a⊥W и W изотропно. Если W изотропно, то существует a 6= 0, такой чтоa⊥W , т. е. a ∈ W ⊥ и W ∩ W ⊥ 6= {0}. Следствие 5.2. W изотропно тогда и только тогда, когда W ⊥ тоже изотропно. V = W ⊕ W ⊥ тогда итолько тогда, когда W не является изотропным.Все изотропные вектора, т. е. такие что (a, a) = 0, образуют изотропный конус, задаваемый уравнениемx122+ .
. . + (xp ) − xp+122− . . . − (xn ) = 0.(4)Теорема 5.4. В псевдоевклидовом пространстве Rnq существуют изотропные подпространства любой размерности от 1 до n − 1. Без ограничения общности можно считать, что p 6 q. Рассмотрим набор векторов a1 , . . . , aq :ai := (1, 0, . . . , 0, 1 , . .
. , 1 , 0, . . . , 0).p+1p+i(5)Очевидно, что пространства Wi := ha1 , . . . , ai i изотропны и имеют размерности от 1 до q (так как вектор a1ортогонален всем векторам ai , i = 1, . . . , q). Тогда пространства Wi⊥ также будут изотропными и будут иметьразмерности от p до n − 1, но q > p, поэтому утверждение можно считать доказаным.Другой вариант: Рассмотрим векторa := (1, 0, . .
. , 0, 1 , 0, . . . , 0).p+1(6)и пространство W := hai. Оно, очевидно, изотропно. Пространство W ⊥ также изотропно, поэтому, там найдетсявектор a1 , ортогональный всему W ⊥ . Дополним его до базиса a2 , . . . , an−1 . Тогда пространства Wi := ha1 , . . . , ai i,i = 1, . . .
, n − 1 очевидно будут искомыми. Теорема 5.5. Любой неизотропный вектор можно включить в ортонормированный базис, умножив наподходящий коэффициент λ. Проведём индукцию по размерности пространства n = dim V . При n = 1 базис состоит из одного вектораλa, где λ — такое число, что (λa, λa) = ±1. Шаг индукции: пусть теорема доказана для размерности dim V < n.Возьмем W := hai — одномерное неизотропное подпространство, тогда W ⊥ будет (n − 1)-мерным неизотропнымподпространством, а в нём по предположению индукции существует базис из неизотропных векторов. 5.2.
Псевдоортогональные матрицыОпределение. Через Eq будем обозначать единичную матрицу размерности n, в которой у последних q единиц на диагонали инвертирован знак. Такие матрицы будем называть псевдоединичными. Матрица называетсяпсевдоортогональной, если она переводит ортонормированный базис в ортонормированный.Теорема 5.6.
Пусть C — матрица перехода между двумя ортонормированными базисами. Тогда следующие условия эквивалентны:1.2.3.4.C — псевдоортогональная матрица;C t Eq C = Eq ;C −1 = Eq C t Eq ;C t также псевдоортогональна.201 ⇔ 2 G′ = C t GC, а так как базисы ортонормированны, то G′ = G = Eq . Наоборот: если G′ = G = Eq ,то оба базиса ортонормированны и C будет псевдоортогональной.2 ⇔ 3 C t Eq CC −1 = Eq C −1 ⇔ C t Eq = Eq C −1 ⇔ Eq C t Eq = C −1 , так как Eq−1 = Eq .3 ⇔ 4 C −1 Eq = Eq C t ⇔ CC −1 Eq = CEq C t ⇔ Eq = CEq C t = (C t )t Eq C t , следовательно, по условию 2tматрица C t также будет псевдоортогональной. В обратную сторону — аналогично, поскольку C = (C t ) . Определение.
Оператор A : Rnq → Rnq называется псевдоортогональным, если Ax, Ay = (x, y).Очевидно, что оператор псевдоортогонален ⇔ его матрица в ортонормированном базисе псевдоортогональна ⇔ он переводит ортонормированный базис в ортонормированный.5.3. Геометрия пространства R21p(a, a). Псевдодлиной праRtвильно параметризованной кривой, т. е.
такой, что v =6 0 и (v, v) 6= 0, называется величина s(t) = |v|dt.Определение. Псевдодлиной неизотропного вектора называется величина |a| :=0Псевдодлина кривой не зависит от параметризации по тем же причинам, чтои обычная длина. Она сохраняется при псевдоортогональном преобразовании, таккак оно сохраняет скалярное произведение.Теперь рассмотрим пространство R21 . В нём скалярное произведение задаётся вхорошем базисе формулой (a, b) = xx′ − yy ′ , и два вектора будут ортогональными,если они симметричны относительно прямой y = x.Стандартный базис e1 , e2 при псевдоортогональном отображении переходит вортонормированный базис e′1 = (X, Y ), e′2 = (Y, X). Следовательно, матрица перехода может иметь один из следующих видов:X Y−X YX −Y−X −YC=,,,.Y X−Y XY −X−Y −Xe′2e2e′1e1(7)Параметризуемединичную псевдоокружность, заданную уравнением x2 − y 2 = 1. Выражая x через y, полу√чим r(t) = (± 1 + t2 , t).Найдём вектор скорости:tṙ = (± √, 1),1 + t2(v, v) =−1,1 + t2i.|v| = √1 + t2(8)Пусть σ — псевдодлина псевдоокружности.
Тогдаσ(t) = iZt0pdt√= i ln t + 1 + t2 .1 + t2(9)В данном случае длина получилась чисто мнимая. Это не очень удобно, поэтому имеет смысл вынести i исчитать псевдодлиной мнимую часть полученного выражения. Вспоминая, что в нашей параметризации y = t,окончательно получаемpσ = ln y + 1 + y 2 .(10)Выражая y через σ, получаем параметризацию псевдоокружности через её длину:y=eσ − e−σ= sh σ,2x = ch σ.(11)Таким образом, если псевдодлину использовать в качестве параметра, то все псевдоортогональные матрицыимеют один из четырех видов:ch σ sh σ− ch σ sh σch σ − sh σ− ch σ − sh σ,,,.(12)sh σ ch σ− sh σ ch σsh σ − ch σ− sh σ − ch σОпределение. Псевдовращением называется преобразование с матрицей видаch σ sh σ.sh σ ch σ21(13)Вектор называется единичным, если (a, a) = 1, и мнимоединичным, если (a, a) = −1.
Если вектора a и bоба единичные, то (a, b) = ch θ, где θ — длина дуги псевдоокружности между концами векторов. Если векторамнимоединичные, то (a, b) = − ch θ. В самом деле, примем за e1 вектор a, тогда a = (1, 0) и b = (ch θ, sh θ).Следовательно (a, b) = ch θ. Второй случай доказывается аналогично.На пространстве R21 возникает гиперболическая геометрия и тригонометрия. Вычислим ch(θ1 + θ2 ). Пусть~a = (ch θ1 , sh θ1 ) и ~b = (ch θ2 , − sh θ2 ), тогдаch(θ1 + θ2 ) = ~a, ~b = ch θ1 ch θ2 + sh θ1 sh θ2 .(14)Пусть β := th σ =sh σch σ ,тогда1 − β2 = 1 −sh2 σ11= 2 ⇒ ch σ = p,ch2 σch σ1 − β2βsh σ = th σ ch σ = p.1 − β2(15)Если использовать β в качестве параметра, то псевдоортогональные матрицы примут вид:√1 2 √β 2√ 1 2 −√ β 2−√ 1 2 √ β 2−√ 1 2 −√ β 21−β 1−β1−β 1−β1−β 1−β1−β 1−β, β, , ββ111√β 2 √1 2√√√√√√−−−−.2222221−β1−β1−β1−β1−β1−β1−β(16)1−β5.4.
Преобразования в пространствах Rn и RnqЗафиксируем в пространстве V некоторый базис, тогда существует взаимно-однозначное соответствие междуотображениями f : V → V и их матрицами Cf . Все преобразования пространства, очевидно, образуют группу.Рассмотрим группы ортогональных и псевдо-ортогональных преобразований O(n) и O(n, q) соответственно.Теорема 5.7.
Группа O(n) состоит из двух компонент: собственных и несобственных преобразований. В группе O(n) есть по меньшей мере 2 компоненты: det C = 1 и det C = −1. Они не эквивалентны,поскольку матрицу с положительным определителем нельзя непрерывно перевести в матрицу с отрицательнымопределителем, сохранив невырожденность матрицы. Докажем, что компонент ровно 2. Пусть A ∈ SO(n) —какое-то собственное преобразование. Существует базис, в котором его матрица A имеет вид:E−ER(ϕ1 )A=(17),...R(ϕm )где первые k векторов отображаются тождественно (подматрица E), следующие l векторов умножаются на −1(подматрица −E), а R(ϕi ) представляют собой повороты на некоторые углы ϕi .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
