Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Следствие 2.1.dsdt= |v|, |dr| = ds.2.2. Натуральный параметрЗаметим, что величину s =Rtt0|v|dt можно выбрать в качестве параметра кривой, так какdsdt= |v| =6 0.Определение. Такой параметр называется натуральным.В дальнейшем, как правило, через s будем обозначать натуральный параметр, а через t — любой другой.Теорема 2.2. Параметр t является натуральным параметром s тогда и только тогда, когда в этойпараметризации |v| = 1. Параметр t равен λs тогда и только тогда, когда |v| = const.
ds1 Первое утверждение теоремы следует из второго. Пусть t = λs, тогда |v| = drdt = dt = λ = const.sНаоборот: если |v| = const, то ds = |v|dt ⇒ s = |v|t и t = |v| . 2.3. Кривизна кривойПусть кривая задана натуральным параметром t = s. Обозначим v = drds =: ε1 (это обозначение ещё встретится), причем |ε1 | = 1.
Тогда при движении по кривой конец вектора ε1 будет двигаться по единичной сфере.Вектор ε′1 будет лежать в касательной плоскости к сфере, следовательно, ε′1 ⊥ε1 . Можно было доказать этопо-другому: параметр s натуральный, значит, |ε1 | ≡ 1 и (ε1 , ε1 ) ≡ 1. Продифференцировав тождество, получим(ε1 , ε′1 ) + (ε′1 , ε1 ) = 2(ε1 , ε′1 ) = 0 ⇒ ε1 ⊥ε′1 .Определение. Кривизной гладкой кривой называется величина dε1 d2 r =.k(s) := (1)ds ds2 Определение. Точка на кривой называется точкой спрямления, если в этой точке кривизна равна 0.Пусть кривая имеет ненулевую кривизну.
Тогда можно рассматривать вектор ε2 :=Определение. Вектор ε2 называется главной нормалью.ε′1k .Теорема 2.3. Кривая имеет на некотором участке нулевую кривизну ⇔ этот участок прямолинейный. Справа налево утверждение очевидно (продифференцируйте уравнение прямой!). Слева направо: по′′2формуле Тейлора r = r0 + r′ ∆s + r ∆s+ .
. .. Если k(s) = |r′′ (s)| = 0, то останется только член первого порядка,2и кроме того, ε1 = const = ~c, так как ε′1 = 0. Получилось уравнение прямой вида r = r0 + ~cs. Теорема 2.4. Расстояние от кривой до своей касательной в точке спрямления (и только в ней) являетсявеличиной третьего порядка малости относительно ∆s. Имеемε1kε2 2 r′′′ 3∆r = ∆s +∆s +∆s + .
. .(2)1!2!3!Возьмем произвольную прямую, проходящую через точку r0 с направляющим вектором m, таким что |m| = 1.Тогда расстояние до этой прямой будет равно 112′′′3d = [m, ∆r] = [m, ε1 ]∆s + [m, kε2 ]∆s + [m, r ]∆s + . . . .(3)26Расстояние d будет третьего порядка малости ⇔ вектор m коллинеарен вектору ε1 и коллинеарен вектору kε2 .Но так как вектора ε1 и ε2 ортогональны, то это возможно тогда и только тогда, когда k = 0. 1 Болеестрогое доказательство было дано в курсе математического анализа во 2 семестре. (Прим. наб.)82.4. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся окружностьОпределение.
Пусть k(s0 ) 6= 0. Плоскость, натянутая на вектора ε1 и ε2 и проходящая через точку r(s0 ),называется соприкасающейся плоскостью.Пример 4.1. Рассмотрим окружность r(ϕ) = (R cos ϕ, R sin ϕ). Найдём натуральный параметр:длина дугиравна s = Rϕ, следовательно ϕ = Rs . Переходя к параметру s, получим r(s) = R cos Rs , sin Rs . Тогдаss1 ssε1 = − sin , cos, ε′1 =− cos , − sin.RRRRRСледовательно, ε2 = − cos Rs , − sin Rs , и кривизна k = R1 .(4)Определение.
Если в некоторой точке k 6= 0, то величина R = k1 называется радиусом кривизны (в направлении ε2 ). Окружность радиуса R, проведённая в соприкасающейся плоскости в точке, находящейся нарасстоянии R от кривой в направлении вектора ε2 , называется соприкасающейся.Теорема 2.5.
Расстояние от кривой до соприкасающейся окружности является величиной третьего порядка малости от ∆s. Эта окружность — единственная с таким свойством. Проведём произвольную окружность через точку r0 . Пусть k — кривизна кривой в точке r0 , ek — кривизнаокружности.
Для кривой разложение в ряд Тейлора имеет вид11r = r0 + ε1 ∆s + kε2 (∆s)2 + r′′′ (∆s)3 + . . . ,26(5)а для окружности11re = r0 + εe1 ∆s + ekeε2 (∆s)2 + re′′′ (∆s)3 + . . .26Расстояние между этими точками равно11d = (ε1 − εe1 )∆s + (kε2 − ekeε2 )(∆s)2 + (r′′′ − re′′′ )(∆s)3 + . . .26(6)(7)Эта величина будет третьего порядка малости тогда и только тогда, когда ε1 = εe1 и kε2 = ekeε2 . Посколькувектора ε2 и εe2 единичные, то k = ek.
Значит, наша окружность совпадает с соприкасающейся. Теорема 2.6. Соприкасающаяся плоскость — единственная плоскость, такая, что расстояние от кривойдо неё третьего порядка малости от ∆s. Возьмём произвольную плоскость с нормальным вектором ~n, проходящую через точку r0 . Тогда расстояние до кривой будет равно112′′′3d = |(~n, ∆r)| = (~n, ε1 )∆s + k(~n, ε2 )(∆s) + (~n, r )(∆s) + .
. .(8)26Для выполнения условий теоремы необходимо и достаточно (~n, ε1 ) = 0, (~n, ε2 ) = 0, что и означает совпадениеданной плоскости с соприкасающейся. Если плоская кривая имеет в некоторой точке ненулевую кривизну, то касательная в этой точке лежит поодну сторону от кривой.При рассмотрении плоских кривых можно определить кривизну со знаком. Пусть ε1 = (cos α(s), sin α(s)),где угол α — наклон касательной к оси Ox. Тогда ε′1 = α′s · (− sin α(s), cos α(s)), следовательно k(s) = |α′s |. Дляплоских кривых можно убрать модуль, и по определению полагают k = α′s .2.5. Трёхгранник Френеε′Мы ввели в рассмотрение вектора ε1 = r′ (s) и ε2 = k1 , где k — кривизна кривой.
Дополним их до базиса.Определение. Вектор ε3 := [ε1 , ε2 ] называется вектором бинормали. Репер r(s), ε1 , ε2 , ε3 называется трёхгранником Френе.Теорема 2.7 (Френе). Имеют место формулы Френеε′1 = kε2 ,ε′2 = −kε1 + κε3 ,ε′3 = −κε2 .Матрица перехода от базиса εi к базису ε′i называется матрицей Френе и имеет вид0k0−k0 κ .0 −κ 09(9)(10) Рассмотрим два базиса {ε1 , ε2 , ε3 }, соответствующие точкам s и s + ∆s. Пусть Π — матрица переходаот εi (s) к εi (s + ∆s).
Так как оба базиса ортонормированны, то эта матрица ортогональна. Следовательно,Πt Π = E. Продифференцируем равенство: (Πt Π)′ = (Πt )′ Π + Πt (Π)′ = 0. Устремим ∆s → 0, тогда Π → E.В пределе получаем равенство (Πt )′ + (Π)′ = 0, т. е. (Π′ )t + Π′ = 0. Следовательно матрица Π′ кососимметрична.Первую строку этой матрицы, т. е. первую формулу Френе мы знаем, следовательно, знаем и первый столбец,а по диагонали стоят нули. Таким образом, матрица Френе имеет вид0 k 0−k 0(11)00Осталось два места, противоположные по знаку. Обозначим их κ и −κ, получим утверждение теоремы. Определение. Функция κ(s) называется кручением кривой в точке s.Название функции κ объясняется следующими теоремами.Теорема 2.8.
Кривая имеет нулевое кручение на некотором участке ⇔ на этом участке кривая плоская. Если кривая на некотором участке лежит в плоскости, то вектора ε1 и ε2 лежат в этой же плоскости(это следует из определения производной вектор-функции). Тогда вектор ε3 коллинеарен нормали к плоскости,т. е.
ε3 = const ⇒ ε′3 = κε2 = 0 ⇒ κ = 0. Если же κ = 0, то ε3 = const = (A, B, C). Рассмотрим функциюf (s) = (r(s), ε3 ) = Ax(s) + By(s) + Cz(s). Тогда f ′ (s) = (r′ (s), ε3 ) + (r(s), ε′3 ) = (ε1 , ε3 ) + 0 = 0, так как ε1 ⊥ε3 .Следовательно, f (s) = (r, ε3 ) = const, а это есть уравнение некоторой плоскости. Определение. Если в некоторой точке кривая имеет нулевое кручение, она называется точкой уплощения.Теорема 2.9. Точка r0 есть точка уплощения ⇔ расстояние от кривой до соприкасающейся плоскостичетвёртого порядка малости от ∆s. Вектор нормали соприкасающейся плоскости совпадает с ε3 с точностью до знака.
Условие теоремывыполняется тогда и только тогда, когда (r′′′ , ε3 ) = 0. Имеемr′′′ = (kε2 )′ = k ′ ε2 + kε′2(9)(r′′′ , ε3 ) = k ′ (ε2 , ε3 ) − k 2 (ε1 , ε3 ) + kκ(ε3 , ε3 ) = kκ.| {z }| {z }| {z }0Поскольку k 6= 0, то κ = 0. k ′ ε2 + k(−kε1 + κε3 ),01Теорема 2.10 (Геометрический смысл кручения). Коэффициент κ — это угловая скорость вращениясоприкасающейся плоскости вокруг вектора ε1 . Если κ > 0, то соприкасающаяся плоскость вращается вположительном направлении (по часовой стрелке, если смотреть в направлении вектора ε1 ).
Пусть ∆ϕ — угол поворота соприкасающейся плоскости, т. е. угол поворота вектора ε3 вокруг ε1 . Тогда|κ| = |ε′3 | =|∆ε3 ||∆ε3 | ∆ϕ=·.∆s∆ϕ ∆s(12)Устремив ∆s к нулю, получим, что |κ| = |ϕ′s |, так как первый множитель в (12) есть предел отношения длинысекущей к длине дуги при стремлении последней к нулю. Лемма 2.11. Если трехгранник e1 , e2 , e3 вращается вокруг вектора ω = (α, β, γ) с угловой скоростью |ω|,то скорости вращения концов векторов равныe′1 = γe2 − βe3 ,e′2 = −γe1 + αe3 ,т.
е. матрица перехода от e1 , e2 , e3 к e′1 , e′2 , e′3 равна0γ −β−γ0α .β −α 0e′3 = βe1 − αe2 ,(13)(14)~ Докажем, что скорость вращения конца вектора ei равна e′i = [ω, ei ]. Действительно, этот ωε1вектор ортогонален векторам ω и ei , т. е. e′i ⊥ω и e′i ⊥ei , как и векторное произведение. Скоростьαконца вектора при вращении равна |ω| sin α (длине проекции на ω), где α — угол между ω и ei , авеличина |ω| sin α есть в точности площадь параллелограмма, натянутого на вектора ω и ei , так как|ei | = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
