Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Заметим, что минус единицв матрице чётное число, так как определитель положительный. Теперь соединим эту матрицу непрерывнымпутём с единичной матрицей, доказав тем самым то, что SO(n) линейно связна. Непрерывно изменяя углыϕi , можно добиться того, что все блоки R(ϕi ) будут единичными. Сгруппировав минус единицы в пары, заме−1 0тим, что матрицаесть матрица поворота на угол π. Значит, такие блоки также можно перевести0 −1в единичные, после чего матрица превратится в единичную. Линейная связность подмножества несобственныхпреобразований доказывается аналогично.
Теперь рассмотрим группу O(3, 1). Скалярное произведение в ортонормированном базисе пространства R31задаётся формулой (a, b) = xx′ + yy ′ − zz ′ . Изотропные вектора лежат на конусе x2 + y 2 − z 2 = 0. Поверхностьx2 + y 2 − z 2 = 1 называют единичной псевдосферой, а x2 + y 2 − z 2 = −1 — мнимоединичной псевдосферой.Посмотрим где могут лежать вектора ортонормированного базиса (e′1 , e′2 , e′3 ). Пусть e′3 = (α, β, γ), тогда e′1 и′e2 лежат в ортогональном дополнении, т.
е. имеют такие координаты (x, y, z), что αx+βy −γz = 0. Эта плоскостьявляется сопряженной плоскостью к e3 . Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, на которой лежатконцы векторов e′1 и e′2 , является эллипсом. Таким образом, ортонормированные базисы — это в точности тройкивзаимносопряженных векторов.Теорема 5.8.
Группа O(3, 1) состоит из 4 компонент. По аналогии с предыдущей теоремой легко видеть, что имеется как минимум 4 компоненты. Ориентацияможет сохраняться или не сохраняться, и вектор e′3 может либо оставаться на верхней полости гиперболоида,либо нет. Очевидно, что непрерывно из одной компоненты в другую перейти нельзя. Остаётся показать связность каждой из них. Рассмотрим случай компоненты SO(3, 1), содержащей единичную матрицу4 , остальные 34 SO(3, 1),вообще говоря, двусвязно22варианта — аналогично. Рассмотрим какой-нибудь положительно ориентированный базис (e′1 , e′2 , e′3 ). Как ужеговорилось, вектора e′1 и e′2 лежат на эллипсе.
Непрерывным вращением можно повернуть их так, чтобы онибыли направлены по полуосям эллипса. Остаётся повернуть вектора e′2 и e′3 вокруг e′1 так, чтобы они совпали скоординатными осями. Таким образом, мы перевели наш базис в стандартный базис (e1 , e2 , e3 ), что и требовалось. 5.5. Геометрия на сфере и гиперболоидеРассмотрим сферу S2 , заданную уравнением x2 + y 2 + z 2 = 1 в пространстве R3 и нижнюю полость L2двуполостного гиперболоида x2 + y 2 − z 2 = −1, т. е. мнимую псевдосферу в пространстве R31 .
Сферическуюгеометрию называют римановой, а геометрию на гиперболоиде — геометрией Лобачевского.Теорема 5.9. На поверхности L2 из R3 индуцируется (риманова) положительно определённая метрика.~ = (x0 , y0 , z0 ). Касательная плоскость Возьмем произвольную точку A ∈ L2 и рассмотрим вектор e′3 := OA2к L в этой точке имеет уравнение (x − x0 )x0 + (y − y0 )y0 − (z − z0 )z0 = 0 и является ортогональным дополнениемк e′3 . В этой плоскости (a, a) > 0, так как это ортогональное дополнение к мнимому единичному вектору.
OОпределение. Прямыми на сфере будем называть центральные сечения сферы плоскостями. Прямыми на плоскости Лобачевского будем называть сечения L2 плоскостями, проe′1ходящими через начало координат.Теперь оправдаем данное определение. Как мы сейчас увидим, для таких прямыхвыполняется неравенство треугольника.e′3e′2Теорема 5.10. Для любых трёх точек A1 , A2 , A3 на L2 или на S2 , расстояния между которыми равны l1 , l2 , l3 , выполняется неравенство l1 + l2 > l3 ,причём равенство достигается только тогда, когда точки лежат на однойпрямой.~ i . Достаточно доказать, что 1◦ Геометрия Лобачевского. Пусть e′i = OAch (l1 + l2 ) > ch (l3 ), так как ch x — монотонно возрастает при x > 0.
Имеемqq2(18)ch(l1 + l2 ) = ch l1 ch l2 + sh l1 sh l2 = ch l1 ch l2 + ch l1 − 1 ch2 l2 − 1 > ch l3 .Рассмотрим матрицу Грама G = (gij ) для векторов e′1 , e′2 , e′3 . Имеем ch l3 = ch ∠(e′1 , e′2 ) = −g12 = (e′1 , e′2 ), ианалогично ch l1 = −g23 , ch l2 = −g13 . Переписав неравенство (18) через коэффициенты матрицы G, получаемq2222 − 1) (g 2 − 1) > −g(g23(19)12 − g23 g13 ⇔ g12 + g13 + g23 + 2g12 g13 g23 − 1 6 0.13Заметим, что в ортонормированном базисе det G = det(−E) < 0. Значит, при переходе к базису e′i знак определителя сохранится, т.
е.−1 g12 g13 det G = g12 −1 g23 < 0.(20)g13 g23 −1В левой части неравенства (19) получилось в точности явное выражение для det G, а мы уже показали, чтоdet G < 0. Равенство будет достигаться в точности тогда, когда вектора e′i лежат в одной плоскости (т. е. наодной прямой Лобачевского), поскольку определитель Грама обратится в нуль.2◦ Сферическая геометрия. Доказательство почти аналогичное первому пункту.
На сфере отрезком считаетсята из двух дуг центрального сечения, длина которой меньше π. Поэтому в том случае, когда сумма длины двухсторон больше π, неравенство очевидно. В противном же случае достаточно показать, что cos (l1 + l2 ) 6 cos (l3 ),так как cos x монотонно убывает при x ∈ [0, π]. Имеемppcos l1 cos l2 − 1 − cos2 l1 1 − cos2 l2 6 cos l3 .(21)Используя обозначения пункта 1◦ , приходим к неравенствуq2 ) (1 − g 2 ) ⇔ 1 − g 2 − g 2 − g 2 + 2g g gg23 g13 − g12 6 (1 − g2312 23 13 > 0.12231313(22)Если вектора e′i ортонормированны, то их матрица Грама единичная, и det G = 1 > 0. Знак det G инвариантен,следовательно 1 g12 g13 det G = g12 1 g23 > 0.(23)g13 g23 1 23Отсюда следует, что и выражение в левой части неравенства (22), которое совпадает с det G, также всегдаположительно (за исключением того случая, когда ei компланарны).
5.6. Группы движений S2 и L2Будем обозначать группу движений множества E через Isom E. Как мы знаем, на евклидовой плоскостисуществует и единственно преобразование, переводящее один ортонормированный репер в ортонормированный.Как мы сейчас увидим, сфера и плоскость Лобачевского в этом отношении ничуть не хуже.Теорема 5.11.
Преобразование S2 и L2 , переводящее ортонормированный репер в ортонормированный, существует и единственно. Группой движений S2 является O(3), а группой движений L2 — «часть» группыO(3, 1), сохраняющая нижнюю полость гиперболоида. Существование следует из того, что существуют соответствующие ортогональные преобразования пространств R3 и R31 , переводящие один репер в другой. Докажем единственность.
Пусть f и fe — преобразования,переводящие репер (P, e1 , e2 , e3 ) в репер (P ′ , e′1 , e′2 , e′3 ). Рассмотрим произвольную точку A ∈ L2 и её образыf (A) и fe(A). Покажем, что они совпадают. Проведём прямую (центральное сечение) AP . При изометрическомпреобразовании сохраняются длины дуг, следовательно, прямая перейдёт в прямую. В самом деле, если бы этобыло не так, то нарушилось бы неравенство треугольника: любую кривую можно аппроксимировать ломаными,а сумма длин их будет больше, чем длина отрезка и меньше, чем длина кривой, а по условию расстояния сохраняются. Значит, образами отрезка центрального сечения AP при преобразованиях f и f ′ будут также некоторыеотрезки центральных сечений.
Но при изометрии сохраняются и углы, а это значит, что углы между векторомe′i и отрезками f (AP ) и fe(AP ) будут совпадать. Значит, направление образа дуги AP определено однозначно.Следовательно, и образ точки A определён однозначно, что и требовалось доказать. Группы преобразований будут трёхмерными, так как каждое преобразование можно представить матрицей 3 × 3. Условие ортогональности (или псевдоортогональности) даёт 6 соотношений на 9 членов матрицы,следовательно, остается 3 независимых параметра.Замечание.
Имеет место следующее очевидное строгое включение: {ортогональные преобразования} ⊂⊂ {аффинные преобразования} ⊂ {проективные преобразования}. В проективной группе содержится аффинная группа, а значит, вместе с ней группа движений сферы и плоскости Лобачевского.5.7. Модель Клейна плоскости ЛобачевскогоРассмотрим плоскость Лобачевского L2 и обычную евклидову плоскость α, заданную уравнением z = −1.Рассмотрим центральную проекцию конуса x2 + y 2 − z 2 = 0 и L2 на плоскость α. Образ конуса при этом преобразовании (т.
е. окружность на плоскости α) называется абсолютом. Вся плоскость Лобачевского, очевидно,при нашем преобразовании биективно отобразится на внутренность круга, границей которого является абсолют.Прямые на плоскости Лобачевского, т. е. центральные сечения гиперболоида, перейдут в хорды абсолюта. Всяэта конструкция и называется моделью Клейна геометрии Лобачевского. Заметим, что в этой модели хорошовидно, что через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести сколь угодно много прямых, параллельных данной, т.
е. нарушается так называемый пятый постулат Евклида (аксиома параллельных). В этоми состоит отличие геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии.Теперь вспомним, что проективная плоскость RP2 — это связка прямых, проходящих через начало координат.Теорема 5.12. Группа движений L2 совпадает с множеством P проективных преобразований связки,которые сохраняют абсолют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
