Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Кривизна кривой равна отношениюsприращения дуги на окружности к приращению на кривой k = deds .Аналогичное отображение существует и в пространстве.[m1 ,m2 ]Определение. Рассмотрим кривую r(u1 , u2 ) и единичный вектор ~n := |[m. Сопоставим точке поверх1 ,m2 ]|ности конец вектора ~n, лежащий на единичной сфере.
Такое отображение называется сферическим.При помощи сферического отображения выведем ещё один геометрический смысл гауссовой кривизны.Теорема 6.23. Рассмотрим область малой площади ∆s на поверхности и ∆es — образ этой области на∆esсфере при сферическом отображении. Тогда lim ∆s= |K|.∆s→0 Возьмём «хорошую» систему координат, т. е. такую, что уравнение поверхности имеетRR вид z = f (x, y) инаправления Ox, Oy являются главными. Тогда площадь куска поверхности равна ∆s = [m1 , m2 ]dxdy, гдеΩΩ — область изменения параметров.qНайдём координаты сферического образа куска поверхности.
Обозначив через L число 1 + fx2 + fy2 , имеемre := ~n =[m1 , m2 ]11= (−fx , −fy , 1) q= (−fx , −fy , 1) .|[m1 , m2 ]|L1 + f2 + f2xНайдём вектора частных производных по параметрам на сфере: ′11∂er(−fx , −fy , 1) + (−fxx , −fyx, 0) ,me 1 :==∂xL xL∂erme 2 :==∂y(44)y ′11(−fx , −fy , 1) + (−fxy , −fyy , 0) .L yL(45)(46)Отсюда, молчаливо воспользовавшись теоремой о среднем, получаемRR|[me 1, me 2 ]| dxdy∆es|[me 1, me 2 ]|lim= lim RR→.(47)∆s→0 ∆s∆s→0|[m1 , m2 ]| dxdy|[m1 , m2 ]|В начале координат fx = fy = fxy = 0 и [m1 , m2 ] → (0, 0, 1).
Значит, [m1 , m2 ] → 1, а me 1 → (−λ1 , 0, 0) иsme 2 → (0, −λ2 , 0). Поэтому [me 1, me 2 ] → |λ1 · λ2 |, т. е. lim ∆e=λ·λ=|K|.12∆s∆s→06.15. Комплексные структуры на поверхностяхОпределение. Пусть нам задана поверхность и две системы координат (две карты): (u1 , u2 ) и (v 1 , v 2 ).Тогда на общей части поверхности одни координаты можно выразить через другие: ui = ui (v 1 , v 2 ). Сопоставимкоординатам (u1 , u2 ) число z := u1 + iu2 ∈ C, а координатам (v 1 , v 2 ) — число w := v 1 + iv 2 ∈ C. Говорят, что наповерхности задана комплексная структура, если можно выразить z через w и w через z.Теорема 6.24.
На сфере S2 существует комплексная структура9 .9 Для тех, кто ещё не забыл, что такое инверсия, теорема должна быть очевидной без всяких выкладок. Из геометрическихсоображений отображение карт есть инверсия относительно единичной окружности на плоскости xOy, а в биективности и гладкоститакого преобразования (а следовательно, и в наличии обратного отображения) сомнений быть не должно.38 Осуществим стереографическую проекцию сферы из южного и северного полюсов S и N соответственно.Пусть A′ = (x′ , y ′ ) — проекция точки A из северного полюса, и A′′ = (x′′ , −y ′′ ) — проекция из южного полюса(здесь знак «минус» взят для удобства).
Пусть z = x′ + iy ′ и w = x′′ + iy ′′ .′′ON1Заметим, что если ρ = OA′ и ρe = OA′′ , то ρeρ = 1. В самом деле, ρ1e = OAOS = OA′ = ρ .Следовательно, zw = 1, так как |z||w| = ρeρ = 1, а аргументы у них противоположные, то есть arg(zw) = 0.Следовательно, z = w1 и на S2 удалось ввести комплексную структуру. Комплексная структура на S2 связана с метрикой.
В комплексной форме метрика сферы имеет видds2 =4(dx2 + dy 2 )(1 +x2+2y2)=4dzdz.(1 + zz)2(48)1Выразим x и y через z и z. Имеем x = 12 (z + z), y = 2i(z − z). Тогдаdz = dx + idy, dz = dx − idy. Если в этой метрике подставить z = w1 , то получимds2 =4dwdw.(1 + ww)2(49)Справедливо и более общее утверждение.Теорема 6.25. На любом двумерном замкнутом связном компактном гладком многообразии можно ввести комплексную структуру.397. ПрилажениеВ заголовке этого раздела не случайно буква «о» заменена на «а». Это не опечатка, а вполне правильнаяхарактеристика данного фрагмента лекций....Сформулируем некоторые свойства угла ∆ϕ:e1◦ ∆ϕe не зависит от выбора векторного поля a и точки, из которой начинается поворот, и является внутренним инвариантом поверхности.2◦ ∆ϕe близок к 2π при маленьком контуре, так как метрика близка к метрике плоскости.3◦ При изменении направления обхода ∆ϕe меняет знак.4◦ ∆ϕe не зависит от ориентации поверхности, так как если сменить ориентацию, то положительный обходконтура будет в другом направлении.Теорема 7.1 (Интегральная формула для ∆ϕ).e Дана кривая r(t) = u1 (t), u2 (t) и касательное единичное поле a(t) на ней, поле b⊥a.
Тогда Z Z ∂a ∂b∂a ∂b∆ϕe=,−,du1 du2 .(1)∂u1 ∂u2∂u2 ∂u1SИмеемDaDa du1Da du2= 1+ 2.dtdu dtdu dtСледовательно,∆ϕe=−I (2)I DaDaDa12., b dt = −,bdu+,bdudtdu1du2(3)Возьмём внутри контура некоторую точку, опишем вокруг неё маленькую окрестность U , и гладко продолжимполя a и b на всю область, за исключением области U . Применяя формулу Грина к полученному множеству10,получаемZZ ∂Da∂Da1212∆ϕe=−,bdudu−,bdudu− 2π.(4)∂u1 du2∂u2 du1SДобавка 2π возникает при интегрировании по ∂U , так как если устремить радиус окрестности к нулю, то угол0поворота вектора стремится к 2π. В последнем равенстве заменим D на D0 . Тогда Ddta = dadt .
Таким образом, Z Z ZZ ∂da∂da∂a ∂b∂a ∂b12122π + ∆ϕe=−,bdudu−,bdudu=,−,du1 du2 . (5)∂u1 du2∂u2 du1∂u1 ∂u2∂u2 ∂u1SSПри выводе формулы для ∆ϕe мы использовалиоперации внутреннего и внешнего дифференцирования.RRСейчас мы получим формулу вида ∆ϕe =K(A)dσ, где K — функция от точек поверхности. Имеем dσ =Spp[m1 , m2 ]du1 du2 = |G|du1 du2 . Поделим и умножим на |G|, получим 1∂a ∂b∂a ∂bpK(A) =,−,.(6)∂u1 ∂u2∂u2 ∂u1|G|Лемма 7.2. Полученная функция K(A) действительно является функцией точек поверхности, т. е.
независит от выбора векторных полей a и b. Если у нас есть функции K1 (A) и K2 (A), и существует такаяRRточка A, что RRK1 (A) 6= K2 (A). Тогда они несовпадают и в некоторой окрестности S этой точки. Тогда ∆ϕ1 =K1 (A)dσ 6=K2 (A)dσ = ∆ϕ2 , но ∆ϕe—Sвнутренний инвариант поверхности. Противоречие. Поскольку ∆ϕ + ∆ϕe = 0, получаем так называемую формулу Гаусса – Бонне:ZZIKdσ + kg ds = 2πS(7)S10 ЕслиHRR “ ∂Q` ´(P, Q) — векторное поле класса C1 D , то[P (x, y)dx + Q(x, y)dy] =−∂xD∂D40∂P∂y”dxdy.Теорема 7.3. В случае двумерной поверхности в R3 функция K(A) совпадает с гауссовой кривизной поверхности.
Вычислим функцию K в каждой точке A. Сдвинем начало координат в точку A и повернём поверхностьтак, что плоскость xOy станет касательной, а направления Ox и Oy — главные. Тогда поверхность можно задатькак z = f (u1 , u2 ), где u1 = x и u2 = y. Вычислим функцию K(A) в точке A = (0, 0). Имеем m1 = (1, 0, fx′ ),m2 = (0, 1, fy′ ). Поскольку плоскость xOy касается поверхности, то fx′ = fy′ = 0 и det G = 1.
Теперь выберемвекторные поля. Положимm11=qa :=(1, 0, fx′ ) ,(8)|m1 |21 + (fx′ )а векторное поле b получим с помощью ортогонализации векторов m1 , m2 .′′Приступим к вычислению K(A). Поскольку fx′ (A) = 0, а fxx(A) = λ1 , имеем′∂a∂a 1′′′′ · (1, 0, fx′ ) + q 1== q(0, 0, fxx) = (0, 0, fxx) = (0, 0, λ1 ) .1∂u∂x22′′1 + (fx )1 + (fx )(9)x′′Так как направления Ox и Oy главные, то fxy= 0. Тогда∂a∂a1′′==0+ q0, 0, fxy= ~0 ⇒2∂u∂y21 + (fx′ )∂a ∂b,∂u2 ∂u1= 0.(10)∂bОстаётся найти третью координату вектора ∂y.
Имеем b = αm1 + βm2 , где α и β — функции, зависящие отточки. Имеем∂b∂m1∂m2= α′y m1 + α+ βy′ m2 + β.(11)∂y∂y∂y1В этом равенстве в точке A координаты z у векторов m1 и m2 нулевые. Кроме того, ∂m∂y = 0, так как в точке A∂b′′′′направления Ox и Oy главные и fxy= 0. Следовательно ∂y(A) = β ∗, ∗, fyy= β (∗, ∗, λ2 ). Найдём коэффициент∂bβ: в точке A имеем b = m2 , поэтому β(A) = 1. Значит, ∂y = (∗, ∗, λ2 ). Таким образом, K(A) = λ1 λ2 = K. 41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
