Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Геодезическая кривизнаПусть нам задано многообразие M n ⊂ Rm с локальной параметризацией r = r x1 , . . . , xn и локальным∂rx1 (t), . . . , xn (t) на M n . Пусть s - натуральный параметр для кривой, т. е.базисом mi = ∂xi , и кривая r(t) =drds = |v|dt, и ds = ε1 — касательный вектор длины 1. Обычная кривизна в евклидовом пространстве задается0формулой: kε02 = Ddsε1 .1Определение. Пусть Dεds = kg ε2 . Величина kg называется геодезической кривизной и представляет собой1кривизну линии внутри изучаемой поверхности.
Если Dεds = 0, то считаем, что kg := 0.Лемма 6.6. Если kg 6= 0, то ε2 ⊥ε1 . Имеем (ε1 , ε1 ) = 1. Продифференцировав, получим 0 =kg =6 0, то (ε2 , ε1 ) = 0 ⇒ ε2 ⊥ε1 . d(ε1 ,ε1 )dsЛемма 6.7. kg ε2 = Pr kε02 .В самом деле, kg ε2 =Dε1ds=2Dε1ds , ε1= 2kg (ε2 , ε1 ). Но так как0= Pr Ddsε1 = Pr(kε02 ). 6.8. Геодезические линииОпределим понятие кривых, являющихся аналогами прямых линий в Rm .Определение. Кривая r = r(t) на поверхности называется геодезической, если kg = 0, то естьDε1ds = 0.D(µε1 )Dv=dt =λds0.Замечание. Если для геодезической взять параметр t = λs , то ṙ = v = µε1 , а значит,Следовательно, для определения геодезической годится любой параметр, пропорциональный натуральному.Лемма 6.8.
Пусть дана кривая r = r(t), v = ṙ, ипропорционален натуральному.Покажем, что |v| = const. В самом деле,v = µε1 , и по теореме (2.2) имеем t = λs. ОтсюдаDvdt= 0. Тогда она будет геодезической и параметр tD(v,v)Dv= Dv= 0 ⇒ |v| = const. Следовательно,dtdt , v + v, dt1D( µv)Dε1λ Dv= µ dt = 0. Значит, кривая геодезическая. tds = d( λ)D0 ε1В своё время мы «объявили» прямыми по сфере и плоскости Лобачевского центральныеdsсечения этих поверхностей плоскостями. Покажем теперь, что они действительно «пряAмые» в геодезическом смысле.ε1Теорема 6.9.
На S2 и L2 геодезическими являются плоские центральные сечения.O Параметризуем кривую r(s) сечения сферы натуральным параметром. Её касательный вектор ε1 , очевидно, лежит в секущей плоскости и в касательной плоскости к~ — радиус-вектор точки на кривой. Он ортогонален касательнойповерхности.
Пусть OAD0 ε1D0 ε1~плоскости. Так как ds ⊥ε1 и OA⊥ε1 , то вектор ds тоже ортогонален к касательнойD0 ε11плоскости, и Dε= 0. Следовательно центральные сечения являются геодезическими. Ниже мыds = Pr dsдокажем, что других геодезических нет, а случай плоскости Лобачевского рассматривается аналогично: дляпсевдосферы все рассуждения с ортогональностью векторов переносятся дословно.
Определение. Рассмотрим поверхность M n , кривую r(t) на M n и поле v(t) касательных векторов к M n накривой. Будем говорить, что поле параллельно вдоль кривой, если Dvdt = 0.32Используя это определение, можно сказать, что кривая является геодезической ⇔ поле ε1 (s) параллельновдоль этой кривой.6.9. Дифференциальные уравнения для геодезическихКак мы знаем, k-я координата производной вектора v = (X 1 , . .
. , X n ) вдоль кривой r(t) = r x1 (t), . . . , xn (t)kkDv kkiравна Dv= dX= 0. Получаем систему уравнений:dtdt + Γij X ẋj . Кривая является геодезической ⇔dtdX k+ Γkij X i ẋj = 0, k = 1, n.dt(20)d2 xk+ Γkij ẋi ẋj = 0, k = 1, n.dt2(21)В нашем случае v(t) = ṙ = ẋ1 , .
. . , ẋn , и окончательно система имеет видОчевидно, что кривая является геодезической ⇔ она удовлетворяет этим уравнениям.А вот теперь применим теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения сзаданными начальными условиями, т. е. точкой ~x0 на поверхности и направлением ~v0 . Таким образом, в окрестности любой точки в заданном направлении выходит одна и только одна геодезическая. Отметим также, чторешение нашей системы гладко зависит от начальных условий.Теперь теорему о «прямых» на сфере и плоскости Лобачевского можно усилить утверждением о том, чтодругих геодезических, кроме центральных сечений, там не бывает.Для доказательства следующей теоремы нам понадобитсяОпределение.
Рассмотрим точку A(x1 , . . . , xn ) на поверхности и касательный вектор v(z 1 , . . . , z n ) в этойточке. Проведём геодезическую γ(t), такую, что γ̇(0) = v. Рассмотрим точку γ(t0 ) = (y 1 , . . . , y n ) — образ точкипри движении по геодезической за время t = t0 . Отображение (x1 , . . . , xn , z 1 , . . .
, z n ) 7→ (x1 , . . . , xn , y 1 , . . . , y n ).называется экспоненциальным отображением.Здесь и далее есть лажа. Только её плохо видно.Теорема 6.10. Для любых двух точек в достаточно малой окрестности существует единственная геодезическая, проходящая через эти две точки. Мы знаем, что найдётся такая окрестность нуля, что геодезические существуют при t ∈ [0, 1] для всехначальных условий из этой окрестности.Рассмотрим экспоненциальное отображение точки A(x1 , . . . , xn ) в точку B(y 1 , .
. . , y n ) за время t = α. Заметим, что координаты точки B также гладко зависят от начальных условий. Покажем, что матрица Якобинашего отображения невырождена, откуда и будет следовать утверждение теоремы.!∂y iD(x1 , . . . , xn , y 1 , . . . , y n )E∂xjJ==.(22)D(x1 , . . . , xn , z 1 , .
. . , z n )0 ∗~ = αv 1 + o(|v|) .Покажем, что det J 6= 0 в точке A. Вn самомделе, если точки A и B близки, то ABo∂y∂y iСледовательно, ∂z= αE. Отсюда следует, что det J 6= 0 в некоторой окрестности,i = (0, . . . , α, . . . , 0), т. е.∂z jiа значит, экспоненциальное отображение обратимо (по крайней мере локально). Из всего этого вытекает, чтосуществует геодезическая между любыми двумя достаточно близкими точками, так как для точки B с помощьюобратного отображения можно найти вектор v, такой, что геодезическая из точки A вдоль вектора v попадётв B. Заметим также, что такая геодезическая будет единственной.
Геодезические, выпущенные из одной точки во всех направлениях, образуют геодезический шар (если зафиксировать длину отрезка каждой геодезической).6.10. Полугеодезические координаты на двумерной поверхности в R3Определение. Если метрика поверхности имеет вид ds2 = (du1 )2 + g(u1 , u2 )(du2 )2 , то координаты (u1 , u2 )называются полугеодезическими.Лемма 6.11.
В полугеодезических координатах u1 -линии являются геодезическими. Рассмотрим некоторую u1 -линию γ. Её параметр s = u1 будет натуральным, так как при u2 = const имеемDm12α1ds = (du1 )2 , то есть ds = du1 и |γ̇| ≡ 1. Нам нужно доказать, что Dmds = 0. Поскольку ds = ∇m1 m1 = Γ11 mα ,33то нужно доказать, что Γα11 = 0 для ∀ α. Так как координаты полугеодезические, то g11 = 1 и g12 = 0, а значит,∂g11=0.Тогдаk∂u1 αk ∂g1k∂g1k∂g11g+−= 0,(23)Γα=112∂u1∂u1∂ukчто и требовалось.
Теорема 6.12. В окрестности любой точки поверхности существуют полугеодезические координаты. Проведём на поверхности произвольную гладкую линию r(v) с натуральной параметризацией. Введемновые координаты (v 1 , v 2 ). В качестве v 2 возьмём параметр кривой v, а из каждой точки кривой вдоль вектора~n⊥ṙ пустим геодезическую. В качестве второй координаты v 1 возьмем натуральный параметр этих геодезических.
На самой кривой вектора mi ортогональны, значит это действительно координаты. Остаётся показать,что они полугеодезические. В самом деле, g11 = 1, так как параметр u натуральный. Докажем, что g12 = 0. В11любой точке кривой r координаты ортогональны, а значит на этой кривой g12 = 0. Так как ∂g∂v i = 0, то1 12 ∂g12∂g12∂g121Γ11 = g+= g 12 1 .(24)112∂v∂v∂vα1112 ∂g12Теперь заметим, что Γα11 = (∇m1 m1 ) = 0, так как v -линии геодезические. Значит, g∂v 1 = Γ11 = 0. Поg12g12 ∂g12формуле для обратной матрицы g 12 = detG , откуда det G ∂v 1 = 0.
Тогда либо g12 = 0 и всё доказано, либо∂g121∂v 1 = 0. Но в этом случае g12 не зависит от v , а поскольку на кривой r имеем g12 = 0, то g12 ≡ 0. Следствие 6.2. Любую геодезическую можно (локально) включить в полугеодезические координаты. Проведем кривую, ортогональную этой геодезической. Через каждую точку на ней проведем ещё геодезические, и таким образом получим координаты. А теперь докажем экстремальное (и пожалуй, основное) свойство геодезических линий.Теорема 6.13. Геодезическая локально кратчайшая.u2 re Рассмотрим геодезическую r.
Проведём кривую γ, ортогональную ей, и включим rв полугеодезические координаты, тогда она будет некоторой u1 -линией. Рассмотрим другую кривую re, проходящую через точку A пересечения γ и r. Назовём точку в областиизменения параметра хорошей, если в ней можно выразить u2 через u1 , и плохой в противrном случае (на рисунке b1 и b2 — плохие точки).
На множестве χ хороших точек, выражаяu1b1b2координату u2 кривой re через u1 , получаем, что длина этого куска кривой будет равнаZχs1 + g22du2du12du1 ,(25)Rв то время как длина геодезической на хорошем множестве будет равна du1 , т. е. меньше, чем re. Для геодезической плохих точек нет вообще, а длина кривой re по плохому множеству неотрицательна. Короче говоря,наличие плохих точек делает кривую ещё длиннее, а для хорошего множества у нас есть формула (25). 6.11.
Продолжаемость геодезическихОпределение. Если геодезическая продолжается на поверхности бесконечно долго, то поверхность называется геодезически полной.Теорема 6.14. Для любого компакта K ⊆ M n геодезическую в нём можно продолжить до ∂K. Как уже было доказано, для любой точки существует окрестность, в которой геодезические существуюпо всем направлениям. Покажем, что можно найти такую систему шаровых окрестностей, что геодезическиепродолжаются до их границ. В самом деле, геодезическая гладко зависит от начальных условий, т.
е. для любоговектора v существует такая коническая окрестность, что геодезическая пройдёт через «дно» конуса. Таким образом, получаем покрытие окрестности конусами, а в силу компактности сферы найдется минимальный радиус,для которого это возможно по всем направлениям. Далее, покроем весь компакт такими окрестностями, выделим конечное покрытие, и таким образом для любой начальной точки найдется конечная система окрестностей,через которую геодезическая пройдёт за конечное время и выйдет на ∂K. Следствие 6.3. Компактная поверхность геодезически полна.346.12. Параллельный перенос на многообразияхnmПусть M ⊂ R — поверхность с римановой метрикой.Векторное поле параллельно, если ∇w v = 0 для всех w. На самом деле достаточно выполнение этого условияkkki2для w = mi , то есть достаточно, чтобы ∇mj v = ∂X∂xj + Γij X = 0 — система из n уравнений.Определение.
Пусть дано касательное векторное поле v = v(t) на кривой r = r(t) ∈ M n ⊂ Rm . ОноD0 vnназывается параллельным вдоль r(t), если Dvdt = 0, т. е. dt ⊥M .Пример 12.1. Возьмем геодезическую r(s) и рассмотрим поле v = ṙ. Оно параллельно, так как по определению геодезической Dvds = 0.Сформулируем некоторые свойства полей, параллельных вдоль кривой.1◦ Если поле v параллельно, то λv тоже параллельно.Dv dtdt2◦ Определение параллельности не зависит от параметризации кривой: Dvdτ = dt dτ = 0 · dτ = 0.◦3 Если поля v1 и v2 параллельны, то поле λ1 v1 + λ2 v2 также параллельно.Лемма 6.15. Пусть векторные поля a и b параллельны по кривой r(t). Тогда (a, b) = const.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
