Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

(Прим.наб.)161◦ r = r(x1 , . . . , xn ), где xi = xi (u1 , . . . , uk ) — гладкая функция;∂r2◦ Вектора mi := ∂ui , i = 1, k линейно независимы, т. е. матрица Якоби (1) имеет ранг k. ∂x1∂x1. . . ∂uk∂u1J =∂xn∂u1...(1)∂xn∂ukПри k = 1 получается гладкая кривая, при k = 2 — гладкая поверхность. Очевидно, что u1 , . . . , uk будутлокальными координатами на поверхности — это следует из теоремы о неявном отображении.Рассмотрим локальный(m1 , . . . , mk ), зависящий от точки.

Если заданы другие координаты (v 1 , . . . , v k ),n базисoто матрица Якоби J =∂ui∂v jявляется матрицей перехода от mi к m′i :m′i =∂r ∂uα∂uα∂r==m.α∂v i∂uα ∂v i∂v i(2)Аналогично трёхмерному случаю определяются координатные линии: фиксируем все координаты, кромеодной. Получается правильно параметризованная кривая на поверхности, так как её касательный вектор естьодин из векторов mi , который всегда ненулевой.Теорема 4.1. Размерность многообразия определена однозначно. Пусть одно и то же многообразие задаётся двумя уравнениями: r = r(u1 , . .

. , uk ) и r = r(v 1 , . . . , v l ).Допустим, что k > l. Тогда∂ui∂ui ∂v α=δ=.(3)ij∂uj∂v α ∂ujПоскольку rk(A × B) 6 min(rk A, rk B), то получаем противоречие: матрица слева — единичная ранга k, асправа — строго меньше k. Многообразие также можно задавать неявной функцией.Пусть задана система уравненийF1 (x1 , . . . , xn ) = 0,(4)...1nFp (x , . . . , x ) = 0, ∂Fi имеети все функции гладкие. Если в каждой точке, удовлетворяющей системе, матрица Якоби J = ∂xjполный ранг, то решением системы является многообразие размерности n − p. Покажем, что это эквивалентноеопределение.

Будем считать, что минор ранга p находится в правой части матрицы J. Тогда по теореме о неявномотображении существует выражение последних p координат через первые k := n − p координат. Примем координаты x1 , . . . , xk за параметры и получим требуемое: r = r(x1 , .

. . , xk ). Матрица Якоби будет невырожденной,так как∂r= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, ∗, . . . , ∗).(5)ik∂xiРассмотрим кривую r = r(t) на многообразии, заданном уравнением r = r(u1 , . . . , un ). Касательный векторк кривой в базисе xi имеет координаты (ẋ1 , . . . , ẋn ). Тогда в локальном базисе этот вектор имеет координаты∂r i1ni(u̇1 , . . . , u̇n ). В самом деле, имеем v = drdt = (ẋ , . . . , ẋ ) = ∂ui u̇ = mi u̇ .Теорема 4.2. Координаты на k-мерном многообразии всегда можно расширить до координат во всём пространстве Rn так, что некоторая окрестность многообразия будет задаваться в этих координатах системой uk+1 = .

. . = un = 0. Возьмём векторы m1 , . . . , mk в некоторой точке A0 на многообразии. Дополним их до базиса в Rn векторами mk+1 , . . . , mn . Покажем, что это и есть искомый базис. Действительно, точка принадлежит поверхноститогда и только тогда, когда последние n−k координат нулевые. Теперь покажем, что если мы сдвинемся не оченьдалеко от точки A0 , то базис останется базисом. В самом деле, вектора m1 , . . . , mk суть гладкие функции от координат, а их дополнение до базиса от координат точки вообще не зависит. Поэтому определитель hm1 , .

. . , mn iесть непрерывная функция, не равная нулю в точке A0 . По локальному свойству она не обращается в нуль и внекоторой её окрестности. Короче говоря, если базис чуть-чуть пошевелить, то он останется базисом. 4.3. Евклидова метрика в криволинейных координатахПусть в области Q ⊂ Rn введены криволинейные координаты (u1 , . . . , un ). Определения угла между кривыми,матрицы Грама и т.д. переносятся на многомерный случай дословно с точностью до количества координат.

Есликоординаты являются ортонормированными координатами, то очевидно, что G = E. Если координаты являютсяаффинными координатами, то G = const.17Пусть ω — ограниченная область в Rn , тогда ее объём в хороших прямоугольных координатах равенZV = dx1 . . . dxn .(6)ωПри замене координат имеем G′ = J t GJ. В данном случае G = E, поэтому G′ = J t J. В итоге получаемследующую формулу:ZZ p1n|G′ |du1 . . .

dun .(7)V = |J|du . . . du =ωωРассмотрим примеры криволинейных координат.1◦ Полярные координаты:1x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, G =00, ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 .ρ2(8)2◦ Цилиндрические координаты:1x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, G = 0000 , ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 .10ρ203◦ Сферические координаты:10x = ρ cos ϕ sin θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos θ, G = 0 ρ2 sin2 θ0000  , ds2 = dρ2 + ρ2 sin2 θdϕ2 + ρ2 dθ2 .ρ2(9)(10)4.4. Риманова метрикаОпределение. Будем говорить, что в области U задана риманова метрика, если:1◦ В каждой точке x ∈ U задана симметричная положительно определённая матрица G = {gij (x)};2◦ Функции gij (x) гладкие;3◦ При переходе к другим координатам G преобразуется по правилу G′ = J t GJ, где J — матрица Якоби.Скалярное произведение можно восстановить по матрице G: пусть a = ai ei , b = bj ej , тогда (a, b) = gij ai bj .Коэффициенты матрицы G — это gij = (mi , mj ), где mk = (0, . .

. , 0, 1, 0, . . . , 0). Косинус угла между кривыми rkи re в этой метрике определяется по формулеcos ϕ =(a, b)(dr, der)=.|a||b||dr||der|(11)Объём в римановой метрике не зависит от выбора координат, так как если G′ = J t GJ, тоZ pZ pZ pZ pV =|G′ |dv 1 . . . dv n =|J t ||G||J|dv 1 .

. . dv n =|G| |J|dv 1 . . . dv n =|G|du1 . . . dun|{z}ωωωАналогично длина дуги кривой не зависит от координат и равна s =заменаR(12)ω|v|dt.4.5. Изометрия метрикe ⊂ Rn c метриками Римана G и Ge соответственно. Говорят, чтоОпределение. Пусть даны области U, Ue изометричны, если существует диффеоморфизм областей U и Ue , сохраняющий длины кривых.метрики G и GЗамечание. Аналогично определяется изометрия k-поверхностей.e изометричны ⇔ метрические тензоры G и Ge совпадают в некоторыхТеорема 4.3. Метрики G и Ge.криволинейных координатах областей U и Ue в некоторых координатах u1 , .

. . , un области U и координатах ue Пусть G = Ge1 , . . . , uen области U.1niПостроим искомый диффеоморфизм.Точке (x , . . . , x ) ∈ U в координатах u поставим в соответствие точку iс теми же самыми координатами в ue . Очевидно, что это отображение удовлетворяет определению изометрии.e , сохраняющий длины кривых.Пусть теперь нам дано, что существует диффеоморфизм областей U и UЛемма 4.4. Длины векторов при изометрии сохраняются.18e имеет касательный вектор ve. Проведем в области U кривую с касательным вектором v, ее образ в UДопустим, что в некоторой точке R|v| =6 |ev | (дляопределённости |v| < |ev |).

Тогда неравенство верно и в некоторойRокрестности этой точки. Значит, |v|dt < |ev |dt, т. е. длина кривой не сохранилась. Противоречие. Из леммы следует, что сохраняются все скалярные квадраты. Но скалярное произведение двух произвольныхвекторов можно выразить через скалярные квадраты по формуле (a, b) = 21 (a + b, a + b) − (a, a) − (b, b) , а значитсохраняется и скалярное произведение любых векторов, т. е. gij = (ui , uj ) = (eui , uej ) = egij . Теорема доказана. Следствие 4.1. Изометрия влечет полное совпадение геометрий (углы, длины, объемы и т. д.

одинаковые),поскольку все эти величины описываются через метрические тензоры.Рассмотрим несколько примеров эквивалентных метрик.Пример 5.1. Метрика ds2 = du2 + u2 dv 2 на поверхности эквивалентна евклидовой метрике в полярныхкоординатах ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 . Геометрия на этой поверхности эквивалентна геометрии на плоскости.Пример 5.2. Рассмотрим цилиндрические координаты, они задают метрику ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 . Наповерхности цилиндра ρ = const, а это значит, что метрика цилиндрической поверхности имеет вид ds2 == a2 dϕ2 + dz 2 .

При замене координат x = aϕ, y = z, получим dx = adϕ, dy = dz, и метрика принимает видds2 = dx2 + dy 2 . Таким образом, это евклидова метрика.e — карта области U .Пример 5.3. Пусть дана область U ⊂ Rn c римановой метрикой ds2 = gij dui duj . Пусть Ue совпадут, следовательно они изометричны.Записи метрик в U и UВообще, метрика эквивалентна евклидовой, если в некоторой системе координат G = E. Заметим, что накривой любая метрика эквивалентна евклидовой, так как ds2 = |v|2 dt2 и всегда можно перейти к натуральномупараметру, при котором |v| = 1 и g11 = 1.5. Неевклидова геометрия5.1.

Псевдоевклидовы пространстваОпределение. Пространство V над R называется евклидовым, если на нем задано невырожденное скалярноепроизведение (a, b) со свойствами:1◦ (a, b) = (b, a);2◦ (a1 + λa2 , b) = (a1 , b) + λ(a2 , b);3◦ (a, a) > 0, если a 6= 0.Базис называется ортонормированным, если в нём матрица Грама единичная. Пространство называетсяпсевдоевклидовым, если выполняются только первые два свойства скалярного произведения.Известно, что любую симметричную билинейную функцию можно привести к нормальному виду:1p1−1(1)q−10Определение. Число p + q называется рангом билинейной функции (1), а (p − q) — сигнатурой.

Характеристики

Список файлов лекций