Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 2
Текст из файла (страница 2)
к. касательные вектора приразных параметризациях будут коллинеарны, и касательные прямые совпадут.В дальнейшем через r0 будем обозначать точку на кривой в момент времени t0 , а ∆r := r(t0 + ∆t) − r(t0 ).Вектором v часто будем обозначать касательный вектор.Теорема 1.2. Расстояние от точек кривой до касательной является величиной 2-го порядка малостиот ∆t. Касательная прямая — это единственная прямая с таким свойством.e где Re — члены ряда порядка > 2. Рассмотрим кривую r = r(t).
По формуле Тейлора имеем ∆r = v∆t+ R,Возьмемпроизвольнуюпрямуюl(t)=r+at,где|a|=1.Расстояниеотточкиr0 + ∆r на кривой до прямой 02eравно [a, ∆r] = [a, v]∆t + [a, R]∆t + . . . . Для того, чтобы это расстояние являлось величиной второго порядкамалости от ∆t, необходимо и достаточно, чтобы [a, v] = 0, т. е. вектора a и v коллинеарны. Но это и означает,что l задаёт касательную прямую. 1.2. Гладкие поверхностиОпределение.
Гладкая поверхность — это фигура, которая локально в каждой точке a0 допускает описание∂r∂rгладкой функцией r = r(u1 , u2 ), где r0 = r(0, 0) = a0 . При этом вектора m1 = ∂u1 (0) и m2 = ∂u2 (0) неколлинеарны. Заметим, что определение гладкой поверхности, как и гладкой кривой, не зависит от выборасистемы координат.В частности, плоскость задается гладкой функцией r = r0 + m1 u1 + m2 u2 , где m1 и m2 не коллинеарны.Теорема 1.3.
Поверхность можно задать тремя эквивалентными способами:1. Так, как в определении;2. С помощью гладкой функции z = f (x, y);53. С помощью гладкой неявной функции F (x, y, z), для которой grad F 6= 0.1 ⇒ 2 Напишем два вектора m1 и m2 один под другим, получим матрицу ∂x∂y∂z111∂u∂u∂u.A := ∂x∂y∂z∂u2∂u2(2)∂u2Условие неколлинеарности векторов m1 и m2 эквивалентно тому, что rk A = 2, т. е. в матрице есть ненулевойглавный минор, не равный нулю. Без ограничения общности, ∂x∂y 1∂u1 6= 0, ∂u(3)∂y ∂x∂u2∂u21тогда существуют гладкиеобратные функции u = u1 (x, y) и u2 = u2 (x, y).
Следовательно, z = z(u1 , u2 ) =12= z u (x, y), u (x, y) = f (x, y), т. е. z — гладкая функция от x и y.2 ⇒ 1 Положим x = u1 , y = u2 , z = f (u1 , u2 ). Тогда m1 = (1, 0, fu1 ), а m2 = (0, 1, fu2 ), и они, очевидно,неколлинеарны.2 ⇒ 3 Рассмотрим уравнение F (x, y, z) := f (x, y) − z = 0, тогда grad F = (fx , fy , −1) 6= 0.3 ⇒ 2 Пусть grad F 6= 0, тогда, без ограничения общности, Fz 6= 0. По теореме о неявной функции можноразрешить F (x, y, z) = 0 относительно z, т.
е. z = f (x, y). 1.3. Геометрический смысл параметров. Криволинейные координаты Теорема 1.4. Существует локальная биекция между точками поверхности и парами (u1 , u2 ), т. е. uiесть локальные координаты на поверхности. Ясно, что каждой паре координат (u1 , u2 ) соответствуетточка поверхности. Это соответствие биективнопо теореме о неявном отображении: (x, y, z) ↔ x, y, z(x, y) ↔ (x, y) ↔ (u1 , u2 ). zОпределение.
Пусть r = r(u1 , u2 ). Зафиксируем координату u2 ,тогда получим кривую r = r(u1 , u20 ) = r(u1 ) на поверхности. Такие кривые называются u1 -линиями. Аналогично, зафиксировав координатуm2u1 , получим u2 -линию. Совокупность всех этих линий называется коm1ординатными линиями.xТеорема 1.5. Координатные линии «разных сортов» пересекаются, а линии «одного сорта» (при разных значениях зафиксированных параметров) не пересекаются и не касаются.y Допустим, что две линии одного сорта имеют общую точку на поверхности. Но тогда этой точке будутсоответствовать две пары координат, а это противоречит предыдущему утверждению.
1.4. Карта поверхностиОпределение. Картой поверхности называется пара (U, ϕ), где U — область в R2 , а отображение ϕ ставитв соответствие точке на поверхности с криволинейными координатами (u1 , u2 ) точку с координатами (u1 , u2 ) вобласти U . Как было доказано ранее, такое отображение биективно.Теорема 1.6. Гладкие кривые на поверхности переходят в гладкие кривые на карте. Пересечение переходитв пересечение, касание — в касание, касательный вектор (ẋ, ẏ, ż) — в касательный вектор (u̇1 , u̇2 ).Как мы знаем, существует биекция между точкамикарты (u1 , u2 ) и точками поверхности (x, y, z).112Пусть она задаётся формуламиu = u x, y, f (x, y) и u = u2 x, y, f (x, y) . Рассмотрим гладкую кривуюr(t) = x(t), y(t), f (x(t), y(t)) на поверхности.
Подставляя функции x, y в формулы для u1 и u2 , получаемt-параметрическое задание гладкой кривой на карте.∂r 1∂r 2Посмотрим на координаты касательного вектора v на карте: имеем v = ṙ = ∂u= m1 u̇1 + m2 u̇2 .1 u̇ + ∂u2 u̇Таким образом, касательный вектор v имеет на карте координаты (u̇1 , u̇2 ), т. е. переходит в касательный векторк кривой на карте. Можно рассматривать несколько карт одной и той же поверхности. Установим связь между координатамиодной и той же точки поверхности на разных картах.Определение.
Диффеоморфизмом областей U и V называется биективное отображение f : U → V , такоечто f, f −1 — гладкие отображения.Теорема 1.7. Между областями двух карт U (u1 , u2 ) и V (v 1 , v 2 ), отображающимиодин и тот же фрагi∂uмент поверхности, существует диффеоморфизм.
Матрица Якоби J = ∂vj есть матрица перехода от6 i∂r∂r′∂vбудет матрицей обратнойбазиса {m1 , m2 } к базису {m′1 , m′2 }, где mi = ∂u,аm=,аматрицаI=ii∂v i∂ujзамены базиса. Первое утверждение очевидно, поскольку отображения f и g точек поверхности на карты суть диффеоморфизмы, и потому отображение g ◦ f −1 является диффеоморфизмом общих фрагментов карт.Для базиса V имеем∂r ∂u1∂r ∂u2∂u1∂u2m′i =·+·=m+m.(4)12∂u1 ∂v i∂u2 ∂v i∂v i∂v i ′ ′m1m1m1m1Отсюда следует, что=J. По симметричным соображениям=I.m′2m2m2m′21.5. Касательная плоскостьОпределение. Касательной плоскостью к поверхности в точке M0 называется плоскость, проходящая черезточку M0 и натянутая на вектора m1 и m2 .Это определение корректно, так как не зависит от параметризации поверхности: если мы возьмём другиепараметры v 1 и v 2 , то по предыдущей теореме вектора m′1 и m′2 линейно выражаются через m1 и m2 , т.
е. лежатв той же плоскости.Теорема 1.8. Касательная плоскость к поверхности состоит из всех касательных векторов к кривым наповерхности, проходящим через точку касания. Пусть кривая задается уравнением r = r(t), r(t0 ) = M0 . Имеемṙ =∂r 1∂r 2u̇ +u̇ = m1 u̇1 + m2 u̇2 ∈ hm1 , m2 i ,∂u1∂u2(5)т. е.. вектор скорости кривой лежит в касательной плоскости.
Теперь возьмём произвольный вектор ~a := (α, β) вкасательной плоскости, и найдём кривую, для которой он будет касательным. Пусть наша поверхность задаётсяуравнением r = r(u1 , u2 ). Подставим u1 = u10 + αt, u2 = u20 + βt. Тогдаṙ =′′∂r 1∂r 2u̇ +u̇ = m1 u10 + αt t + m2 u20 + βt t = αm1 + βm2 = ~a.∂u1∂u2(6)Теорема 1.9.
Если поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0, то уравнение касательной плоскости вточке M0 = (x0 , y0 , z0 ) имеет вид(7)Fx (x − x0 ) + Fy (y − y0 ) + Fz (z − z0 ) = 0.Частные производные берутся в точке M0 . Рассмотрим кривуюна поверхности, проходящую через точку M0 и заданную уравнением r = r(t).Тогда F x(t), y(t), z(t) ≡ 0.
Продифференцировав тождество, получим Fx ẋ + Fy ẏ + Fz ż = 0 ⇔ (grad F, ṙ) = 0.Вектор ṙ = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) лежит в касательной плоскости. Значит, её уравнение и есть (7). Теорема 1.10. Расстояние от точек поверхности до касательной плоскости является величиной 2-гопорядка малости от ∆t. Касательная плоскость — это единственная плоскость с таким свойством.e где Re — члены ряда порядка > 2. Возьмем По формуле Тейлора имеем ∆r = m1 ∆u1 + m2 ∆u2 + R,произвольную плоскость с нормальным вектором ~n, таким что |~n| = 1. Расстояние от точки r0 + ∆r поверхностиe Чтобы не было членов первого порядка,до этой плоскости равно d = (∆r, n) = (~n, m1 )∆u1 + (~n, m2 )∆u2 + (~n, R).необходимо и достаточно, чтобы (~n, m1 ) = 0 и (~n, m2 ) = 0, что равносильно условиям ~n⊥m1 и ~n⊥m2 , т.
е. это иесть касательная плоскость. 2. Теория гладких кривых2.1. Длина дуги кривойВ курсе математического анализа Pдлина кривой вводилась как предел длин вписанных ломаных при стремлении длин звеньев к нулю: s = lim∆ri . Мы же определим длину иначе.∆t→0Определение. Длина гладкой кривой r = r(t) от точки r(t0 ) до точки r(t) равна s =Rtt07|ṙ|dt.Длина не должна зависеть от параметризации кривой. Действительно, перейдем к другому параметру τ ,тогда t′τ 6= 0.
Пусть, например, t′τ > 0, тогда |rt′ |dt = |rt′ |t′τ dτ = |rτ′ |dτ , и интеграл (длина) не изменится.Теорема 2.1. Длина кривой (в нашем определении) совпадает с пределом длин вписанных ломаных1 .P По определению интеграла s = lim|vi |∆ti , а в другом определении, раскладывая ∆ri в ряд Тейлора,∆t→0~ — некоторый ограниченный вектор. Оценим разность полученных сумм:~ 2 , где Rполучим ∆ri = vi ∆ti + R∆ti2~|∆ri | − |vi |∆t 6 |R|∆t → 0 при ∆t → 0. Таким образом, определения эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
