Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 10
Текст из файла (страница 10)
, xn ), и мат Пустьn координатыв Θo∂yiрица Якоби ∂xневырождена. Рассмотрим кривую γ(t) = x1 (t), . . . , xn (t) в области Θ и её образ γe =j1 1nn 1n= y (x (t), . . . , x (t)), . . . , y (x (t), . . . , x (t)) .Имеем∂y i 1∂y i nẏ i =ẋ+...+ẋ ,(48)∂x1∂xnследовательно, касательный вектор преобразуется следующим образом:6tẏ 1 , . . . , ẏ n = J(ẋ1 , . . . , ẋn )t .(49)Отображение касательных пространств линейно, а значит, можно применить доказанную выше лемму. Пустьe тогда оно сохраняет углы.
Тогда по лемме Ge = F (A)G.существует конформное преобразование f : Θ → Θ,1n1Теперь из этого выведем, что углы сохраняются. Рассмотрим отображение (x , . . . , x ) 7→ (ex ,...,xen ). Метрикиотличаются на множитель, а значит, все углы сохраняются. Тем самым теорема доказана в обе стороны. 6. Дифференцирование векторных полей6.1. Производная по направлениюОпределение.
Функция f : Θ ⊆ Rn → R называется дифференцируемой в точке a, если существует линейнаяфункция df (x−a) такая, что f (x) = f (a)+df (x−a)+o(|x − a|). Функция f называется гладкой, если существуютеё частные производные и они непрерывны.6 Здесьстолбцы записаны как транспонированные строки для экономии места.28Определим понятие производной функцииf по направлению вектора w~ ∈ Θ в точке A следующим образом:возьмем кривую r(t) = r x1 (t), . . . , xn (t) , проходящую через точку A и такую, что ṙ(A) = (ẋ1 , .
. . , ẋn ) = w,~ иположим по определениюdf∂f i:= (f ◦ r)′ (t) = f (r(t))′ =ẋ = (grad f, w).(1)dw∂xiКорректность очевидна, так как значение производной зависит только от функции и самого направления.Определение. Пусть в каждой точке пространства задан вектор w. В этом случае говорят, что в пространстве задано векторное поле. Оно называется параллельным, если в каждой точке его векторы параллельнымежду собой, сонаправлены и одинаковы по длине.Рассмотрим теперь функцию f : M k → R, где M k — некоторое многообразие. Тогда можно определитьпроизводную функции f по касательному вектору w к M k .
Определение будет таким же, только нужно братькривую на многообразии, и корректность проверяется аналогично.Координаты (x1 , . . . , xk ) на поверхности можно локально продолжить до координат (x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn )в области пространства. В таких координатах области поверхность задается уравнениями xi = 0, i = k + 1, . . . , n.Функцию f тоже можно продолжить: f (x1 , .
. . , xk , xk+1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0), получится гладкаяdf=функция в области. Тогда касательный вектор w имеет координаты (y 1 , . . . , y k , 0, . . . , 0), следовательно, dw∂f= ∂xi yi , где i = 1 . .
. k, так как остальные координаты нулевые. Следовательно, производная по направлениюне зависит от от способа продолжения координат на область.6.2. Дифференцирование векторных полейОпределение. Пусть в области Θ задано векторное поле v и фиксирован вектор w. Производная векторdvного поля v по вектору w обозначается ∇w v := dwи определяется следующим образом. Пусть поле имеет1nii 1координаты v = v(X , .
. . , X ), где X = X (x , . . . , xn ). Рассмотрим кривую r(t) = x1 (t), . . . , xn (t) c касательным вектором w = ẋ1 , . . . , ẋn . Подставим r(t) в уравнение поля, т. е. рассмотрим сложную функциюv X 1 (r(t)), . . . , X n (r(t)) =: V (t). Тогда∇w v = Vt′ .(2)Через (∇w v)k будем обозначать k-ю координату производной. Имеем(∇w v)k =∂X k iẋ ,∂xi(3)n ioт.
е. ∇w v есть произведение матрицы ∂Xна вектор w. Определение ∇ не зависит от выбора кривой, так как∂xjкаждая её координата зависит только от вектора w и координат поля.Пусть теперь поле v определено не в области, а на многообразии M n , заданном уравнением r = r(X 1 , . . . , X n ),и вектор w касается M n .
Тогда операция ∇w v определяется аналогично, только нужно брать кривую, лежащуюна поверхности. Также можно определить производную поля v по полю w — всё абсолютно аналогично, тольконаправление w будет зависеть от точки.Лемма 6.1. f = const ⇔ df = 0, т. е. все частные производные равны 0.∂f Слева направо — очевидно. Наоборот: ∂x= 0 ⇒ функция f не зависит от xi для ∀ i ⇒ f = const.
iТеорема 6.2. Векторное поле v(X 1 , . . . , X n ) параллельно ⇔ ∇w v = 0 для всех векторов w в области. Слева направо утверждение очевидно. Обратно: пусть ∇w v = 0. Тогда, в частности, ∇ei v = 0. Значит,kkiвсе координаты нулевые, т. е. (∇ei v)k = ∂X∂xi = 0. Следовательно, функции X не зависят от x для ∀ i, а значит,они постоянны и все векторы поля постоянны. Рассмотрим частный случай векторного поля v на кривой r(t).
Введём операцию Dvdt как производную векторного поля по направляющему вектору кривой:Dv:= ∇ṙ v.dt6.3. Свойства операторов ∇ иDdtв аффинном пространстве0◦ Если v и w — гладкие векторные поля, то ∇w v - тоже гладкое поле.1◦ Линейность по полю: ∇w (λv1 + µv2 ) = λ∇w v1 + µ∇w v2 для ∀ λ, µ ∈ R. Непосредственно следует из линейности операции дифференцирования. df2◦ Формула Ньютона – Лейбница: ∇w (f v) = dwv + f ∇w v, где f (x1 , . .
. , xn ) — гладкая функция.29(4)Пусть поле w имеет координаты (Y 1 , . . . , Y n ). Имеем f v = (f X 1 , . . . , f X n ). Тогда(∇w v)k =∂X k idf k∂f X k i∂f i kY=YX+fY =X + f (∇w v)k .iii∂x∂x∂xdw| {z }| {z }∇w vdfdw3◦ Функциональная линейность по полю: ∇f w1 +gw2 v = f ∇w1 v + g∇w2 v. Умножение матрицы на вектор есть линейная операция. D:Теперь сформулируем свойства операции dtDv◦0 Если v — гладкое векторное поле, то dt — гладкая функция по t.1◦ Линейность:D(λ1 v1 + λ2 v2 )D(v1 )D(v2 )= λ1+ λ2.dtdtdt2◦ Формула Ньютона – Лейбница:D(f v)dfDv= v+f.dtdtdtСвойство 3◦ операции ∇ для операцииDdt(5)(6)(7)не имеет места.6.4.
Оператор ∇ на многообразии (ковариантное дифференцирование)Рассмотрим поверхность M n в пространстве Rmq и её касательное пространство T M в точке p. Предполагаем, что в случае псевдо-евклидова пространства на M n индуцируется риманова положительно определённаяметрика. Пусть v(x1 , . . . , xn ) — поле касательных векторов к поверхности, а w — некоторый касательный вектор. В T M определён оператор ∇w v. В общем случае вектор ∇w v не касается поверхности M n (например, насфере), и это плохо. Определим другую операцию дифференцирования так, чтобы не вылезать из касательногопространства.
Тот оператор, который мы определили выше, будем обозначать через ∇0w v, а новую операциюопределим так:∇w v := PrT M ∇0w v,(8)где PrT M есть ортогональная проекция на касательное пространство T M .Перечислим свойства новой операции ∇w v. Легко видеть, что имеют место свойства 0◦ -2◦ , и доказательстваих практически аналогичны.0◦ Пусть v и w - гладкие поля. Тогда ∇w v тоже гладкое. Ортогонализуем базис в T M . Заметим, что это гладкий процесс. Поскольку пространство не изотропное,то Rm = T M ⊕ T M ⊥ .
Проекция — гладкая операция, а значит, и ∇w v будет гладкой. 1◦ Линейность: проекция линейна, поэтому это свойство выполняется.2◦ Формула Ньютона – Лейбница: очевидно.Замечание. ∇ является внутренней операцией, и она зависит только от касательной плоскости в точке.6.5. Символы Кристоффеля и их свойства1n1mПусть поверхность M n в Rm— аффинные координаты вq задана уравнением r = r(x , .
. . , x ), а y , . . . , y1n1nпространстве. Рассмотрим касательные поля v(X , . . . , X ) и w(Y , . . . , Y ) на M , где X i = X i (x1 , . . . , xn ) иY i = Y i (x1 , . . . , xn ). Пусть T M = hm1 , . . . , mn i. Займёмся вычислением координат ∇w v. Имеем j∂X iii∇w v = ∇Y j mj v = ∇mj (X mi ) Y =mi + X ∇mj mi Y j .(9)∂xjВведём некоторые обозначения. Выражения Γkij := (∇mj mi )k называются символами Кристоффеля.Поменяв индекс суммирования i в формуле (9) на k, преобразуем её к виду∂X k∂X kkijkim+ΓmXY=+ΓXY j mk .kij kij∂xj∂xjОкончательно получаемk(∇w v) =∂X kki+ΓXY j.ij∂xjТаким образом, в n-мерном пространстве имеется n3 символов Кристоффеля.30(10)(11)Теперь рассмотрим кривую r = r x1 (t), .
. . , xn (t) ⊂ M n . Тогда Y i = ẋi , и длянатах поверхности получаем выражениеDvdtk=Ddtв криволинейных коорди-dX k+ Γkij X j ẋi .dt(12)Теорема 6.3. Координаты на поверхности являются аффинными тогда и только тогда, когда Γkij = 0. Если координаты аффинные, то очевидно, что все символы Кристоффеля нулевые. Наоборот, пустьΓkij = 0, то есть ∇mi mj = 0. Пусть w = Y j mj , тогда ∇w mi = 0 в силу свойства функциональной линейности.Но по теореме (6.2)7 векторы mi постоянны.
Рассмотрим какую-нибудь аффинную систему координат и запишем матрицу Якоби перехода к этим координатам. Поскольку вектора mi постоянны, то и эта матрица будетпостоянной, откуда и следует, что наша система координат также аффинная. Теорема 6.4. Символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам: Γkij = Γkji . Рассмотрим поверхность r = (y 1 , . . . , y m ) ⊂ Rm , где y i = y i (x1 , . . . , xn ), а xi — криволинейные координаты. Надо доказать, что ∇mi mj = ∇mj mi . Для этого достаточно доказать, что ∇0mj mi = ∇0mi mj (в продолженных∂rкоординатах).
Имеем mi = ∂xi . Тогда∂mi∂2r==∂xj∂xi ∂xj∂ 2y1∂ 2ym,..., i jij∂x ∂x∂x ∂x.(13)Поскольку все функции гладкие, то от порядка дифференцирования ничего не зависит. Теорема 6.5 (v2.0 by Shashkov). Пусть есть три векторных поля v1 , v2 , w на многообразии M ∈ Rm ,тогдаd(v1 , v2 )= (∇w v1 , v2 ) + (v1 , ∇w v2 ) .(14)dw Для ∇0w v это свойство можно проверить напрямую: пусть v1 = (X11 , . . . , X1n ), v2 = (X21 , . . .
, X2n ), w =∂X i∂X i1 ,v2 )= (X1i ∂xj2 )Y j +Y j ( ∂xj1 X2i ) = ∇0w v1 , v2 + v1 , ∇0w v2 . Далее имеем: ∇0w v1 = ∇w v1 +v1′ ,(Y 1 , . . . , Y n ). Тогда d(vdw∇0w v2 = ∇w v2 + v2′ (вектора v1′ и v2′ лежат в ортогональном дополнении к касательному пространству). Тогда1 ,v2 )(v1′ , v2 ) = (v1′ , v2 ) = 0, так как v1 , v2 — касательные, следовательно, d(vdw= (∇w v1 , v2 ) + (v1 , ∇w v2 ). Следствие 6.1.
Пусть есть 2 векторных поля v(t), w(t) в Rm на кривой r = r(t), тогда d(v, w)DvDw=, w + v,.dtdtdt(15)6.6. Тождества КристоффеляВыведем явные формулы для Γkij . Воспользуемся только что доказанной теоремой, применив её к векторамmi и mj . Имеем (mi , mj ) = gij , тогда∂gij= (∇mk mi , mj ) + (mi , ∇mk mj ) .∂xkТак как ∇mk mi = Γαik mα , то(16)∂gijα= Γα(17)ik gαj + Γjk gαi .∂xkПолученное равенство можно записать для любого набора индексов i, j, k.
Поэтому можно написать системууравнений, получающихся путём циклической перестановки индексов:∂gij∂xk∂gjk∂xi∂gkj∂xi7 Этаα= Γαki gαj + Γjk giα ,α= Γαij gαk + Γki gjα ,α= Γαjk gαi + Γij gkα .теорема про ∇0w v. Чего с этим делать простого еще не придумал31Из этой системы получаем первое тождество Кристоффеля (суммирование идёт по индексу α):1 ∂gjk∂gik∂gijΓαg=+−.(18)ij αk2 ∂xi∂xj∂xkПусть G−1 = g αβ .
Умножив каждое равенство Кристоффеляна g kβ и просуммировав по k, получим(0, α 6= β;kβΓα(суммирование по k и α). Поскольку gαk g kβ =тоij gαk g1, α = β,Γαij =1 kαg2∂gjk∂gik∂gij+−ij∂x∂x∂xk(19).Это второе тождество Кристоффеля (суммирование по k).Замечание. Из тождеств Кристоффеля следует, что символы Кристоффеля зависят только от метрики, тоесть дифференцирование есть внутренняя операция.Всё вышесказанное верно и для абстрактных многообразий с римановой метрикой.6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
