Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций по классическойдифференциальной геометрииЛектор — Евгений Григорьевич СкляренкоII курс, 4 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.2.3.4.5.6.Введение. Основные понятия1.1. Гладкие кривые . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Геометрический смысл параметров. Криволинейные координаты1.4. Карта поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Касательная плоскость .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................555667Теория гладких кривых2.1. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Натуральный параметр . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .2.3. Кривизна кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся окружность2.5. Трёхгранник Френе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Вычисление кривизны и кручения . . . . . . . . .
. . . . . . .2.7. Построение кривой по кривизне и кручению . . . . . . . . . ....................................................................................................................................................7788991111Теория поверхностей3.1. Первая квадратичная форма . . . . . . .
. . . . . .3.2. Площади областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Внешняя геометрия и вторая квадратичная форма3.4. Главные направления и главные кривизны . . . . .3.5. Вычисление главных кривизн и направлений . . . ...................................................................................................................................121213141515Многообразия в Rn4.1. Криволинейные координаты в n-мерном пространстве4.2. Понятие многообразия . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .4.3. Евклидова метрика в криволинейных координатах . .4.4. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5. Изометрия метрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................................161616171818Неевклидова геометрия5.1.
Псевдоевклидовы пространства . . . . . . .5.2. Псевдоортогональные матрицы . . . . . . .5.3. Геометрия пространства R21 . . . . . . . . .5.4. Преобразования в пространствах Rn и Rnq5.5. Геометрия на сфере и гиперболоиде . . . .5.6. Группы движений S2 и L2 . . . . . . . . . .5.7. Модель Клейна плоскости Лобачевского .5.8. Метрики на S2 и L2 . .
. . . . . . . . . . .5.9. Стереографическая проекция S2 и L2 . . .5.10. Метрика поверхности вращения . . . . . .5.11. Конформно-евклидовы метрики . . . . . .5.12. Конформно эквивалентные метрики . . . .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................19192021222324242525262728Дифференцирование векторных полей6.1.
Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Дифференцирование векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D6.3. Свойства операторов ∇ и dtв аффинном пространстве . . . . . . . . . .6.4. Оператор ∇ на многообразии (ковариантное дифференцирование) . . .6.5. Символы Кристоффеля и их свойства .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6. Тождества Кристоффеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.7. Геодезическая кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.8. Геодезические линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.9. Дифференциальные уравнения для геодезических . . . . . . . .
. . . . .6.10. Полугеодезические координаты на двумерной поверхности в R3 . . . .6.11. Продолжаемость геодезических . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.12. Параллельный перенос на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.13. Параллельный перенос по замкнутому контуру. Формула Гаусса–Бонне...................................................................................................................................................................................................2828292930303132323333343536........................2.................................................................6.14. Сферическое (гауссово) отображение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.15. Комплексные структуры на поверхностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.Прилажение3838403ПредисловиеДанное издание представляет собой улучшенный вариант лекций по дифференциальной геометрии, прочтённых автором курса в 2002 году и переведённых в электронный (MS Word) формат VILenin’ым.
В отличие отпервого издания, материал курса разбивается не по лекциям (тем более что в 2004 году это разбиение сильноизменилось), а по тематическим признакам. Основная цель, которая была поставлена при наборе этого текста, — это полная ликвидация ошибок в предыдущем издании. На данный момент их исправлено уже довольномного, причём зачастую это были не опечатки, возникающие иногда вне зависимости от нашего сознания, а весьма крупные неточности математического характера. Тут прежде всего хочется выразить благодарность проф.В. М. Мануйлову и некоторым студентам МехМата — М. Потериной, К. Никитину, В. Кубаеву, Ю. Малыхину иЮ. Притыкину — за поиск ошибок и помощь в уточнении доказательств ряда теорем, а также Ю.
Кудряшовуза советы по оформлению, TEX-ификации и прочим аспектам типографского набора.В этой редакции Сергеем Шашковым (sh57@yandex.ru) внесены значительные изменения.Конечно, сей документ ещё далёк от совершенства, поэтому не нужно воспринимать всё, что здесь написано(особенно в шестой главе про теорему об экспоненциальном отображении), как истину в последней инстанции.Читайте внимательно и старайтесь отличать обычные опечатки от по-настоящему неверных утверждений. Нов целом по сравнению с VILenin’ским опусом здесь лажи должно быть поменьше.
Остаётся надеяться, чтокогда-нибудь удастся изничтожить её целиком и полностью, хотя проще, наверное, написать свой курс дифференциальной геометрии.Последняя компиляция: 17 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.41. Введение.
Основные понятия1.1. Гладкие кривыеГладкая кривая — одно из основных понятий нашего курса. Прежде, чем дать определение, рассмотримпрямую r(t) = r0 + ~v t, где ~v 6= 0. Можно было бы определить кривую, например, так: гладкая кривая — этокривая, заданная системойx = x(t),(1)y = y(t),z = z(t),где x(t), y(t), z(t) — гладкие функции. Однако такое определение не годится: рассмотрим плоскую кривую, заданную уравнениями r(t) = t2 , t5 . Мы видим, что в точке t = 0 эта кривая не гладкая.Определение. Фигура γ ⊂ Rn является гладкой кривой, если для любой точки на кривой найдётся такаяокрестность этой точки, в которой γ можно задать гладкой функцией r : (−ε, ε) → Rn , и v = ṙ 6= 0 при t ∈ (−ε, ε).В примере, написанном выше, имеем ṙ = (2t, 5t4 ) и ṙ(0) = 0, следовательно, кривая не гладкая.Замечание.
Гладкость кривой не зависит от системы координат, в которой она задана. Наше определениекорректно, потому что в нём мы использовали только гладкость функции и то, что вектор скорости не равеннулю, а эти понятия от системы координат не зависят.Определение. Вектор скорости кривой ṙ(t) называется касательным вектором.Посмотрим, что изменится, если мы в уравнении кривой сделаем замену переменной t = t(τ ) и зададимкривую функцией r = r(τ ).Теорема 1.1.
Если параметризовать гладкую кривую r = r(t) параметром τ , то t = t(τ ) и τ = τ (t) —гладкие функции. В определении гладкой кривой мы имеем, что вектор v = ṙ(t) 6= 0, и без ограничения общности можносчитать, что ẋ(t) 6= 0. Значит, по теореме об обратной функции существует гладкая функция t = t(x). Посколькупо определению гладкой кривой x = x(τ ) также гладкая функция, то и их композиция t = t(x) = t(x(τ )) = t(τ )тоже будет гладкой функцией. По симметричным соображениям τ = τ (t) также будет гладкой. Покажем, чтоt′τ 6= 0. В самом деле, если бы это было так, то ẋ(t) = ẋ(t(τ ))t′τ = 0, а это противоречит условию ẋ(t) 6= 0.
Потеореме о производной обратной функции t′τ = τ1′ . tСледствие 1.1. Пусть v — касательный вектор кривой r = r(t). Тогда касательный вектор при параметре τ будет равен ve(t) = ṙ(t) = ṙ(t(τ ))t′τ , т. е. будет коллинеарен вектору v.Определение. Касательная прямая к кривой r = r(t) в точке t0 — это прямая l(t) = r(t0 ) + ṙ(t0 )t.В силу следствия, касательная прямая не зависит от выбора параметризации, т.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
