Е.Г. Скляренко - Курс лекций по классической дифференциальной геометрии (1117977), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В доказательствеследующей теоремы будем использовать введённые выше обозначения.Теорема 3.1 (Менье). Все кривые на поверхности с соприкасающейся плоскостью (A0 , ε1 , ε2 ) имеют одинаковую кривизну в точке A0 . Чтобы не путать индексы переменных со степенями, в этом доказательстве обозначим криволинейныекоординаты буквамиu и v вместо u1 и u2 . Пусть поверхность задана уравнением r = r(u, v). Возьмем кривуюr = r u(t), v(t) с заданной соприкасающейся плоскостью, и пусть t — натуральный параметр. Вектор ε1 длянее — это первый вектор базиса Френе, т. е.ε1 = ṙ =∂r∂ru̇ +v̇.∂u∂v(11)Вектор ε2 — это второй вектор базиса Френе, следовательноkε2 = ε̇1 =∂2r∂2r∂2r 2u̇ + 2u̇v̇ + 2 v̇ 2 + üm1 + v̈m2 .2∂u∂u∂v∂v(12)Умножим вектор kε2 скалярно на ~n и учтём, что (mi , ~n) = 0.
Получим следующее выражение: 2 2 2∂ r∂ r∂ r2(kε2 , ~n) = k cos θ =,~nu̇+2,~nu̇v̇+,~nv̇ 2 .∂u2∂u∂v∂v 2(13)Коэффициенты при производных не зависят от кривой, cos θ тоже одинаковый для все кривых с данной соприкасающейся плоскостью, величины u̇ и v̇ являются координатами зафиксированного нами вектора ε1 , следовательно, тоже постоянны. Следовательно, кривизна одинакова для всех кривых с данной соприкасающейсяплоскостью. Определение.
Кривизна при нормальном сечении называется нормальной кривизной и обозначается kn .Из теореме Менье следует, что кривизна произвольного сечения определяется по формулеknkθ = cosθ , а радиусы кривизны связаны соотношением Rθ = Rn cos θ, где Rn — радиус нормального сечения. Центры кривизны для разных углов θ лежат на окружности S c диаметром Rn ,перпендикулярном вектору ε1 . Действительно, если плоскость повернуть на угол θ, то центркривизны будет на расстоянии Rθ = Rn cos θ от точки A0 , т. е. попадёт на окружность S.Итак, мы получили формулу для кривизны нормального сечения: 1 2 1 2 2 2 2dudu dudu∂ rkn = l11+ 2l12+ l22, lij :=, ~n .dsds dsds∂ui ∂ujТаким образом, kn - это квадратичная функция отdu1dsиdu2ds .θRnRθ(14)Но так как ds = |dr| = |v|dt, тоduidui dtu̇i==.dsdt ds|v|14A0(15)Следовательно, кривизна равнаkn =lij u̇i u̇jlij u̇i u̇jlij dui duj==.2ij|v|gij u̇ u̇gij dui duj(16)Определение.
Квадратичная функция lij dui duj , определенная на касательном пространстве, называетсявторой квадратичной формой поверхности.n io∂uОсуществим замену координат (u1 , u2 ) → (v 1 , v 2 ) c матрицей перехода J = ∂v. Пусть в новом базисеj′квадратичная форма имеет коэффициенты lαβ , тогда′lαβ=∂2r,~n,∂v α ∂v β∂r∂r ∂ui∂2r∂ 2 r ∂ui ∂uj∂ 2 ui=⇒=+ mi α β .αiααβijαβ∂v∂u ∂v∂v ∂v∂u ∂u ∂v ∂v∂v ∂vСледовательно,′lαβ= lij∂ui ∂uj⇔ L′ = J t LJ.∂v α ∂v β(17)(18)Значит, выражение lij dui duj действительно является квадратичной формой.
Её матрицу будем обозначать буквой L. Итак, мы получили, что нормальная кривизна равна отношению второй и первой квадратичных форм.3.4. Главные направления и главные кривизныТеперь будем вращать плоскость нормального сечения вокруг вектора ~n на угол ϕ. При этом мы будемполучать нормальные кривизны kn = kn (ϕ). Эта непрерывная функция периодична с периодом π и имеетмаксимальное и минимальное значения.Определение.
Максимальное и минимальное значение нормальной кривизны kn называются главнымикривизнами. Их направления называются главными направлениями.Теорема 3.2. В любой точке поверхности существует ровно две главных кривизны и ровно два главныхнаправления (или все направления главные). Главные направления ортогональны. Выберем на поверхности ортонормированный базис (v 1 , v 2 ).
В нём первая квадратичная форма имеет вид22l dv i dv jdv 1 + dv 2 , следовательно, кривизна равна kn = (dv1ij)2 +(dv2 )2 . Первая квадратичная форма положительноопределена, а потому существует ортонормированный базис (w1 , w2 ), в которомkn =λ1 dw122+ λ2 dw22(dw1 ) + (dw2 )2= λ1 cos2 ϕ + λ2 sin2 ϕ = λ1 + (λ2 − λ1 ) sin2 ϕ.(19)Следовательно, kn заключено между λ1 и λ2 — это и есть главные кривизны (они единственны).
Направленияw1 и w2 являются главными направлениями, откуда следует второе утверждение теоремы. Формула (19) называется формулой Эйлера.Определение. Точки поверхности классифицируются при помощи главных кривизн следующим образом:1◦ Если λ1 = λ2 , то точка поверхности называется сферической.2◦ Если λ1 6= λ2 и λ1 λ2 > 0, то точка поверхности называется эллиптической.3◦ Если λ1 λ2 < 0, то точка поверхности называется гиперболической.4◦ Если λ1 = λ2 = 0, то точка поверхности называется точкой уплощения.Определение. Гауссовой кривизной называется произведение главных кривизн K := λ1 λ2 . Средней кривизной называется сумма (иногда полусумма) главных кривизн.3.5.
Вычисление главных кривизн и направленийТеорема 3.3. Главные кривизны λ1 , λ2 являются корнями уравнения det(L − λG) = 0.Для ортонормированных координатных векторов m1 , m2 эта теорема уже была доказана в линейной алгебре:e − λE , где Le —в этом случае числа λ1 , λ2 являются корнями характеристического многочлена p(λ) = det Lматрица второй квадратичной формы в «хорошем» базисе.Пусть теперь наши координаты u1 и u2 не ортонормированны, а v 1 и v 2 — ортонормированные координаты.Пусть J — матрица перехода от ортонормированного базиса к нашему (матрица Якоби). Тогдаe − λE J = L − λG ⇒ p(λ) = det(L − λG) = det(L − λG) .Jt Ldet(J t J)det G15(20)Это означает, что корни характеристического многочлена в ортонормированном базисе (а они и есть главныекривизны) совпадают с корнями уравнения det(L − λG) = 0, что и требовалось. Следствие 3.1.
Поскольку произведение корней характеристического многочлена p(λ) равно отношениюполучаем формулу для гауссовой кривизны:det Ldet G ,K = λ1 λ2 =det L.det G(21) du10Теорема 3.4. Главные направления удовлетворяют равенству (L − λi G)=.du20 Будем действовать аналогично предыдущей теореме. Пусть u1 , u2 — координаты на поверхности. Еслибы они были ортонормированны, тов этом случае мы из линейной алгебры знаем, что главные направления1du0e − λi E)удовлетворяют равенству (L=.du20Пусть теперь координаты u1 и u2 произвольны, а v 1 и v 2 — ортонормированные 1 1 координаты. Пусть J —dvduматрица перехода от ортонормированных координат к нашим.
Тогда=J. Тогда равенство, котоdv 2du2 1 e − λi E J du2 = 0 . Домножим обе частирому удовлетворяют главные направления, перепишется в виде: Ldu 1 0 1du0du0e − λi E Jравенства на J t слева, получим J t L=, то есть (L − λi G)=.du20du20Зная коэффициенты матриц G и L, можно найти главные кривизны и направления. Вспомним, чему равныкоэффициенты квадратичных форм: 2DE∂ r∂2 r 2,[m,m]m,m,ij1212ij∂u∂u∂u∂u∂ rpgij = (mi , mj ), lij ==, ~n =.(22)[m1 , m2 ]∂ui ∂uj|G|Рассмотрим случай, когда поверхность задана уравнением z = f (x, y).
Тогдаf· xxL= qfxy1 + fx2 + fy21fxy,fyy|L| =2fxx fyy − fxy.1 + fx2 + fy2(23)Если главными направлениями являются оси Ox и Oy, то L = diag(fxx , fyy ), λi = lii , K = fxx fyy .4. Многообразия в Rn4.1. Криволинейные координаты в n-мерном пространствеВозьмем некоторую область U ⊂ Rn , имеем взаимно-однозначное соответствие между точками области инаборами координат: A → (x1 , . . . , xn ).Определение. Рассмотрим два экземпляра пространства (Rn , U ) и (Rn , V ), в которых выбраны области Uи V .
Будем говорить, что отображение f : U → V есть непрерывная замена координат, если оно биективно иf, f −1 — непрерывные функции.Пусть в двух пересекающихся областях заданы координаты u1 , . . . , un и v 1 , . . . , v n . На пересечении этихобластей мы получаем выражение этих координат друг через друга: ui = ui (v 1 , . .
. , v n ) и v j = v j (u1 , . . . , un ),причем эти функции гладкие. Действительно, т. к. существуют гладкие биекции (u1 , . . . , un ) ↔ (x1 , . . . , xn ) и(v 1 , . . . , v n ) ↔ (x1 , . . . , xn ), то и их композиция будет гладкой и биективной.Заметим, что задание криволинейных координат равносильно заданию диффеоморфизма между некоторойобластью Q и областью изменения параметров.4.2.
Понятие многообразияОпределение. Фигура в Rn называется k-мерным многообразием 2 (или k-поверхностью), если её можнолокально (в окрестности точки A0 ) параметризовать так, чтобы были выполнены следующие свойства:2 Если говорить более точно, то это определение вложенного в Rn гладкого подмногообразия. На самом деле, многообразиеразмерности k — это просто хаусдорфово топологическое пространство, локально гомеоморфное некоторой области в Rk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
