Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Аквариум является примером физического (биологического) моделирования. В аквариуме можно моделировать водную экосистему — речную, озерную,морскую, заселить ее некоторыми видами фито- и зоопланктона, рыбами, поддерживать определенный состав воды, температуру, течения. И строго контролировать условия эксперимента. Какие компоненты естественной системы будутвоспроизведены, и с какой точностью, зависит от цели моделирования.Рис. 1.1. Леонардо да Винчи. Мона Лиза.Метод (средства) — краски, кисти, холст. Эмаль, если портрет будет сделанна медальоне, как это было принято в прошлые века.
Фотоаппарат и видеосъемка,электронные носители информации. Рекламный щит, если некто хочет, чтобы егодаму видели все, кто проезжает по оживленной магистрали. Обложка журналаили экран телевизора. Наконец, сам художник, фотограф или рекламное агентство в лице своих дизайнеров.Цель. При моделировании целью, как правило, является манипуляция с пространством и временем. Сохранить облик дамы во времени. Повесить портретРис.
1.3. Аквариум — модель водной экосистемы.4. Выделенные из листьев хлоропласты. На выделенных системах частоизучают процессы, происходящие в живой системе. В этом смысле фрагмент14Пóлинг Лайнус Карл(Pauling Linus Carl,1901–1994) — выдающийся американскийфизик, химик, биохимик,общественный деятель.Лауреат двух Нобелевских премий: по химии(1954) и премии мира(1962).ЛЕКЦИЯ 1является моделью целой живой системы.
Выделение болеепростой системы позволяет исследовать механизмы процессовна молекулярном уровне. При этом исключается регуляция состороны более высоких уровней организации, в данном случае, со стороны растительной клетки, листа, наконец, целогорастения. В большинстве случаев наблюдать процессы на молекулярном уровне в нативной (ненарушенной) системе непредставляется возможным.
Говорят, что изученные на выделенном хлоропласте первичные процессы фотосинтеза являются моделью первичных процессов фотосинтеза в живомлисте. К сожалению, метод фрагментирования приводит к тому, что «…живой ковер жизни распускается по ниточкам, каждая ниточка досконально изучается, но волшебный рисунокжизни оказывается утрачен» (Л. Полинг).Рис.
1.4. Хлоропласт — модель живого листа.5. Популяция дрозофилы является классическим объектом моделированиямикроэволюционного процесса и примером исключительно удачно найденноймодели. Еще более удобной моделью являются вирусы, которые можно размножать в пробирке (хотя не вполне ясно, справедливы ли эволюционные закономерности, установленные на вирусах, для законов эволюции высших животных).В лекции 11 мы увидим, что хорошей моделью микроэволюционных процессовявляются также микробные популяции в проточном культиваторе.Из приведенных примеров видно, что любая физическая (биологическая) модель обладает конкретными свойствами физического (биологического) объекта.В этом ее преимущества, но в этом и ее ограничения.ВВЕДЕНИЕ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ15Рис. 1.5. Дрозофила — модельный объект генетики.Компьютерные модели содержат «знания» об объекте в виде математических формул, таблиц, графиков, баз данных и знаний. Они позволяют изучатьповедение системы при изменении внутренних характеристик и внешних условий, проигрывать сценарии, решать задачу оптимизации.
Однако каждая компьютерная реализация соответствует конкретным, заданным параметрам системы.Наиболее общими и абстрактными являются математические модели.Математические модели описывают целый класс процессов или явлений,которые обладают сходными свойствами, или являются изоморфными. Начавшаябурно развиваться в конце 20 века наука — синергетика — показала, что сходными уравнениями описываются процессы самоорганизации самой разной природы: от образования скоплений галактик до образования пятен планктонав океане.Если удается сформулировать «хорошую» математическую модель, для ееисследования можно применить весь арсенал науки, накопленный за тысячелетия.
Недаром многие классики независимо высказывали одну и ту же мудруюмысль:«Область знания становится наукой, когда она выражает свои законы в видематематических соотношений».С этой точки зрения самая «научная» наука — физика. Она использует математику в качестве своего естественного языка. Все физические законы выражаются в виде математических формул или уравнений.В химию математика пришла в тридцатые годы ХХ века вместе с химической кинетикой и физической химией. Сейчас книги по химии, в особенности по химической кинетике, физической химии, квантовой химии полныматематическими символами и уравнениями.Чем более сложными являются объекты и процессы, которыми занимается наука, тем труднее найти математические абстракции, подходящие для описания этихобъектов и процессов. В биологию, геологию и другие «описательные» естественные науки математика пришла по-настоящему только во второй половине ХХ века.ЛЕКЦИЯ 116Фибоначчи, ЛеонардоизПизы(Fibonacci,Leonardo of Pisa, 1175–1250) — итальянский математик, родился в Пизе.Издавал книги по арифметике, алгебре и другимматематическим дисциплинам.
Первым предложил ввести в обиходизобретенные в Индиии принятые к тому времени в мусульманскоммире арабские цифры.ВВЕДЕНИЕ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В БИОЛОГИИПервые попытки математически описать биологическиепроцессы относятся к моделям популяционной динамики. Этаобласть математической биологии и в дальнейшем служиламатематическим полигоном, на котором «отрабатывались»математические модели в разных областях биологии: моделиэволюции, микробиологии, иммунологии и других областей,связанных с клеточными популяциями.Самая первая известная модель, сформулированнаяв биологической постановке, — знаменитый ряд Фибонáччи,который приводит в своем труде Леонардо из Пизы в XIII веке.Это ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, которые рождаются каждый месяц, если кролики начинаютразмножаться со второго месяца и каждый месяц дают потомство в виде пары кроликов.
Ряд представляет последовательность чисел (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...), каждоеиз которых равно сумме двух предыдущих.Риc. 1.6. Ряд Фибоначчи.Следующая известная истории модель — формула Мальтуса (1798), описывающая размножение популяции со скоростью, пропорциональной ее численности.В дискретном виде закон Мальтуса представляет собой геометрическую прогрессию. Для дискретных моментов времени tn зависимость между численностьюпопуляции в моменты времени tn и tn+1 выражается формулойNt +1 = qNtилиN t +1 = q n N 0 .17Этот закон, записанный в виде дифференциального уравнения, представляет собой модель экспоненциального ростапопуляции и хорошо описывает рост клеточных популяцийв отсутствие какого-либо лимитирования:dx= rx.dtРоберт МальтусЗдесь r — коэффициент, аналогичный коэффициенту q Томас(Thomas Robert Malthus,в дискретной модели, — константа собственной скорости 1766–1834) — английский священник, демороста популяции, отражающая ее генетический потенциал.граф и экономист.
АвторНа этих простейших моделях видно, насколько прими- теории, согласно которой неконтролируемыйтивны математические модели по сравнению с биологиче- рост народонаселенияскими объектами. К примеру, популяция — это совокупность должен привести к голоду на Земле.сложно организованных индивидуальных особей (организмов). В свою очередь, каждый организм состоит из органов, тканей и клеток,рождается, осуществляет процессы метаболизма, растет, двигается, размножается, стареет и умирает. И каждая живая клетка — сложная гетерогенная система, объем которой разграничен мембранами и содержит субклеточные органеллы, и так далее, вплоть до биомакромолекул, аминокислот, полипептидов и,наконец, атомов, из которых состоят эти «кирпичики» живой материи.
На всехуровнях живой материи мы встречаем сложную пространственно-временнуюорганизацию, гетерогенность, индивидуальность, подвижность, потоки массы,энергии и информации.Ясно, что для таких систем любая математика дает лишь грубое упрощенноеописание. Дело существенно продвинулось с использованием компьютеров, которые позволяют имитировать достаточно сложные системы, однако и здесьречь идет именно о моделях, т.
е. о некоторых идеальных копиях живых систем,отражающих лишь некоторые их свойства, причем схематически.Сейчас биологические журналы полны математическими формулами и результатами компьютерных симуляций. Имеются специальные журналы, посвященные теоретической биологии и биоинформатике. Модели являются инструментом изучения конкретных систем, и работы по моделированию печатаютв журналах, посвященных той области биологии, к которой относится объектмоделирования.
Это означает, что модель должна быть интересна, полезнаи понятна специалистам-биологам. В то же время она должна быть, естественно, профессионально сделана с точки зрения математики.Наиболее успешные модели сделаны в содружестве специалистов-математиков (или физиков) и биологов, хорошо знающих объект моделирования. Приэтом наиболее трудная часть совместной работы — это формализация знаний обобъекте (как правило, в виде схем) на языке, который может затем быть переформулирован в математическую или компьютерную модель.ЛЕКЦИЯ 118Классификация моделейУсловно все математические модели биологических систем можно разделитьна качественные (базовые), регрессионные и имитационные.Качественные (базовые) модели. Для понимания законов взаимодействияэлементов системы, основных закономерностей, лежащих в основе наблюдаемыхв системе процессов, необходимо построить относительно простую модель, воспроизводящую основные черты динамического поведения системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
