Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 32
Текст из файла (страница 32)
увеличилась в ^ A i /Al = п/2 раз.Выясним, как зависитдифракционная картина отширины щели. Координаты максимумов и минимумов, как ирасстояние Fx/ъ между соседними максимумами, обратно пропорциональны ширинещели ъ , поэтому по мересужения щели максимумы иминимумы удаляются от центра экрана и кроме того становятся оолее размытыми дифракционная картина расРис.134тягивается. В конце концов первые минимумы уйдут в бесконечность(как видно из первойформулы в (Укі.іі), в которой следует положитьm = I и V = п/'г , это наступит при ь = X ), и интенсивность наэкране будет монотонно убывать от центра к периферии.
Наоборот, сувеличением ширины щеликоординаты максимумов и минимумов уменьшаются, максимумы становятся более узкимии яркими - дифракционнаякартина сжимаетсяи в пределе при ь -* оо стягивается в точку вцентре экрана, т.е., как и следовало ожидать, переходит в картину,согласующуюся с законами геометрической оптики.Заметим в заключение, что на практике вместо точечного источника обычно используют узкую светящуюся щель, параллельную той, накоторой происходит дифракция. Различные точки этой светящейся щели162дают дифракционные картины, смещенные по оси у , и в результатенаблюдаемая картина вытягивается вдоль оси у и представляет сооойчередование темных и светлых полос.§33.ДИФРАКЦИОННАЯ РЫ11ЕТКА В МОНОХРОМАТИЧЕСКОМ СВИ'ЕВозьмем теперь в качестве препятствия в схеме Фраунгофера д ифракционную решетку, т.е. непрозрачнуюпластинку сN одинаковыми параллельными равноотстоящими друг от друга щелями,ата схема в сечении плоскостью, перпендикулярной щелям решетки,представлена на рис.і35.
Здесь ь - ширина щели, а - ширина непрозрачного промежутка между соседними щелями, величину а = а + ь называют периодом, или постоянной, решетки.Выоирая ту же волновуюповерхность т , что и при рассмотрениидифракциина щели, и применяяпринцип ітойгенса - Френеля, замечаем,что теперь в каждой точке экрана для наблюдений собираются параллельные лучи, идущие от всех точек всех N щелѳй решетки. Как складываются колебания, приходящие от точек отдельнойщели, мы уже изучили, так что остается просуммировать колебания, приходящие в точкунаблюдения отразныхщелей. Этиколебания имеют одинаковые амплитуды, HO каждое последующее отстает отпредыдущего по фазе на некоторый угол ДФ , таккак оно проходит больший на величинуd зіп»путь, как видно из рис.135..
. . оРис.135По формуле (1 8 .2 ), связывающей разность фаз и разность хода, имеем(33.1 )следовательно, на векторной диаграмме колебания, приходящие от первой,..., ы-й щелиизобразятся векторами-амплитудами Xi, Хг.... Xnодинаковой длины, из которых каждый последуюіцийповернут по отноше163ниюк предыдущему на угол д« , зависящий от точки наолівденияи определяемыйформулой (33.1) (рис.іЗб,а). Модуль суммарного вектораtдает амплитуду результирующего колебания, а ее квадрат интенсивность в точке наОлвдения.A=NA^ГАРис.I36Интенсивность света будет иметь максимумы в тех точках экрана,в которые колебания от всех щелей приходят в одинаковыхфазах:ДФ = 2ті п(п = 0 , 1 , 2 , 3 ,(33.2)так что все векторына векторной диаграмме сонаправлены и присложениидают максимально возможную амплитуду результирующего колебания А = N-Aj (рис.136,б).
Это - главные максимумыдифракционнойкартины решетки. Подставляя выражение для д«из(ЗУ.2) в (33.1), получаем следующее условие главныхмаксимумов:d Sln^ = п X.(33.3)Порядок п главного максимума определяет его порядковый номер отцентра экрана, не считая центральныймаксимум (п = О).В точках экрана, в которых приходящие от щелей колебания присложении дают нуль, располагаются минимумы дифракционной картины.На векторной диаграмме им соответствуют такие взаимные расположениявекторов X j , прикоторых конец последнего вектора X nсовпадаетсначалом первого Xi (рис.136,в).
Можно показать, что это имеетместо при условииДФ = ^ 2гг(т ^ п N),(33.4)Im(33.5)которое сучетом (33.1 ) принимает видd з1п(й = ^п N).Существенно, что в этойформуле целое число ш не должно приниматьзначений, кратных N (т п N), ибо при ш = п N формулы (33.4) и(33.й) становятся условиями (33.2) и (33.3) главных максимумов.Справедливость условия минимумов (33.4),вывод которого мы опускаем,164иллюстрируется для конкретного случая решетки спятью щелями (N=5)рис. 137, на котором представлены векторные диаграммы для значенийm = 1,2,3,4 В формуле (33.4), Для других четверок значений т, некратных пяти (ю = в,7,8,9; 11 ,і;г,із,і4: и т.д.), векторы располагаются аналогично (при этомк д$ просто добавляется '^n, 4 п и т.д.).т=зДФ=425Г5т=4Рис.137чтоОы дать наглядное представление о дифракционной картине решетки, удооно воспользоваться (формулой (33.5), которая, как былоотмечено, определяет положение и минимумов (т ^ п ы) , и главныхмаксимумов (т = п N):f m " п (N - условие минимумов.(33.6)условие гл.
максимумов.I. m = п NПолагая в этойформуле последовательно m = о,I,констатируем,что главные максимумы и минимумы располагаются сростом угла #,т.е.по мере удаления от центра экрана, следующим ооразом (здесь и далеедо конца параграфа см. рис.138):„ I XN - I X XSin?! - 0;jj J ----,-jj-N+1 X3N-12N-1 X „X 2N+1 X’ N d'd ’ N d' ■■■’ N d ’N - i иинимумовN-I ии нимумовIN-I минимумов|гл .м ак с.гл .м ак с .гл .м акс.I п=0 )( п=1 )( п=2 )Таким ооразом, между соседними главными максимумами располагаютсяN-I минимумов, между которыми, естественно, в свою очередь окажутсямаксимумы (вторичные максимумы), однако их интенсивность малч посравнению с главными максимумами.A/fVІбЬРис.138О величине интенсивности света в главных максимумахможно судить по дифракционнойкартинекоторую создавала оыотдельная щель решетки.
В самом деле,в главных максимумах а = N A j ,откуда, возводя в квадрат и учитывая, что I ~ а^ и і j~ аj . находимIj. представленный на рис.138 график зависимостиI (sin») по существу определяет вид дичЕракционноа картины решеткиI(X) , поскольку при нѳоольших углах, как оыло показано на с.161,Sind ~ X. Такимооразом, яркими оказываются главные максимуш, расположенные в ооласти центрального максимума картины от одной щели,а главные максимумы, находящиеся волизиминимумов картшш от однойщели, относительно слаоы и могут вообще отсутствовать, если их положение совпадает сположением минимума картины от однойщели.Итак, дифракционная картина решетки в монохроматическом светепредставляет собой совокупность главных максимумов, между которымиинтенсивность практически равна нулю, существенно то, что с ростомчисла щелей (у хороших решеток спериодом d s іи”^мм при размерахрешетки порядка 10см N а іО^ ) ширина максимумов уменьшается,поскольку ограничивающие их сооеих сторон минимумы сближаются, этоважное свойство - узость главных максимумов -позволяет использоватьрешетки с большим числомщелей в качестве спектрального аппарата.§34.ДИФРАКЦИОННАЯ РШИ'КА КАК СПЕКТРАЛЬНЫЙ АІШАРАТСпектральным аппаратом называют устройство, позволяющее произвести спектральный анализ светового потока, в частности определитьдлины волн, входящие в его состав (качественный спектральный анализ).
Известнымпримеромприбора такого рода является призменныйспектрограф.166легко видеть, что дифракционная решетка в схеме Фраунгофераможет играть роль спектрального ашарата. действительно, если источник света немонохроматический, то на экране возникнет совокупность дифракционных картин, образованныхмонохроматическими волнами, входящими в состав излучения источника. Из формулы (33.3) следует, что каждой длине волны соответствует свое расположение максимумов, которые урешеток с (Зольшим числомщелей имеют вид весьмаузких линия, так что дифракционная картина Судетпредставлять собойспектральное разложение света, излучаемого источником.
На рис.139представлена дифракционная картина от источника, излучающего волныс длинами волн х^,. .<\^). Линии этой картины(главные максимумы) определяются условиями:л Sinf = nXj ,d sinf> = пХ^(34Л )d S infn\ k ‘B центре экрана (^=0) выполняется условие максимума для всех длинволн (п=0) -здесь располагается яркий центральныймаксимум. По мереудаления от центра располагаютсямаксимумы первого порядка (п=і),причем впорядке возрастаниядлины волны: чем больше х, тем большеугол г в формулах (34.1). Совокупность максюлумов первого порядкаОбразует спектрпервого порядка. Далее в той же последовательностирасполагаются максимумы второго порядка (п=;і), образуя спектр второго порядка, и т.д.•^2п=3Оп=2■^1-^2п=1п=1-^2п=2п=3Рис.1 39Начиная с некоторого порядка, спектры будут перекрываться (нарис.139 это происходит уже во второй порядке), что затрудняет спектральный анализ.
С этим обстоятельством, свойственным также и рядудругих приборов, связано введение специальной характеристики спектрального аппарата - д и с п е р с и о н н о йобласти.Дисперсионная область G - это тот максимальный интервал длин волнДХ , для которого спектр наблюдается обособленно, без перекрыванияCO спектром соседнего порядка. Выведем формулу для дисперсионнойобласти дифракционной решетки. Пусть источник света излучает волныс длинами волн, лежгішхми в интервале от X до Х+ДХ . Перекрываниеспектров в дифракционной картине начнет происходить в том порядкеп , когда дальний край спектра, определяемый условием максимумап-го порядка для максимальной длины волны Х+ДХd s l n f i = пІХ+ДХ),"догонит" ближний край спектра следующего, 1п+1)-го порядка, определяемый условием максимума Iп+1І-го порядка для минимальной длиныволны X интерваша d з1п(»2 = <п+1 )Х .
Приравнивая углы чя и ^2 ,167находим п(Х+ДХ) = ( п+1 >Хрѳшѳтки получаѳм формулуоткуда для дисперсионной области G = ДхG =134.2 )пТак как при использовании дифракционной решетки спѳктраільный анализобычно проводится в спектрах не выше третьего порядка, то дисперсионная область оказываются большой - порядка нескольких тысяч ешгстрѳм. В этом отношении дифракционная решетка превосходит многие другие спектральные аппараты высокого класса.Важным параметром спектрального аппарата, характеризующим степень растянутости спектра, является его дисперсия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
